2025年北京大学强基计划数学试题 · 参考解答

按现存来源二十题编号。第 8 题据原图恢复为求 $a^6$；第 13 题补明两解不模 $2\pi$ 同余；第 16 题明确二元集含两个不同元素。第 7 题修正参考答案对圆周扫掠区域的误判。

答案速览

题号	答案	题号	答案
1	$(-1,5/4]$	11	$\sqrt5/2$
2	$4\pi$	12	无穷多组
3	$\sqrt3+\sqrt{30}/2$	13	$12/5$
4	$(-1,\sqrt5]$	14	$1/2$
5	$2$	15	$(4^{2025}+2^{2025})/2$
6	$14259$	16	$(4^{2025}-3^{2025}-2^{2025}+1)/2$
7	$2\pi+8\sqrt2+4$	17	$18214$
8	$9$	18	$-7\pi/15+2k\pi,\ k\in\mathbb Z$
9	$3\sqrt2/2$	19	$(3/4,1)\cup(1,3)\cup(3,3+\sqrt6)$
10	$13/5$	20	$4/3$

逐题解析

第 1 题

题目

已知 $x^2-y^2=1$，求 $\dfrac1{x^2}-\dfrac yx$ 的取值范围。

解答

令 $t=y/x$，由 $x^2-y^2=1$ 得 $t\in(-1,1)$ 且 $1/x^2=1-t^2$。反之每个这样的 $t$ 均可实现。原式为 $1-t-t^2=5/4-(t+1/2)^2$，最大值为 $5/4$，下确界为 $-1$ 且不取到，值域为 $(-1,5/4]$。

第 2 题

题目

求椭圆 $x^2-2xy+2y^2=4$ 的面积。

解答

令 $u=x-y,v=y$，则椭圆内部变为 $u^2+v^2\le4$，变换行列式为 $1$，保持面积。所求为半径 $2$ 的圆面积 $4\pi$。

第 3 题

题目

求 $\sqrt{3-2x}+\sqrt{3x}$ 的最大值与最小值之和。

解答

定义域为 $[0,3/2]$。令 $u=\sqrt{3-2x},v=\sqrt{3x}$，则 $3u^2+2v^2=9$。柯西不等式给出 $(u+v)^2\le9(1/3+1/2)=15/2$，在 $v=3u/2$，即 $x=9/10$ 时取等。又原函数为凹函数，其最小值在端点取得；两个端点值为 $\sqrt3,3/\sqrt2$。故所求为 $\sqrt3+\sqrt{30}/2$。

第 4 题

题目

求 $\sqrt{x^2-2x+10}-\sqrt{x^2-4x+5}$ 的值域。

解答

取 $P=(x,0),A=(1,3),B=(2,1)$，原式为 $PA-PB\le AB=\sqrt5$。当 $x=5/2$ 时 $P,B,A$ 依次共线，取到上界。记两个根式为 $u,v$，则

$$(u+1)^2-v^2=2x+6+2u>2x+6+2|x-1|\ge8>0,$$

所以 $u-v>-1$。当 $x\to-\infty$ 时差趋于 $-1$。原式连续，故值域为 $(-1,\sqrt5]$。

第 5 题

题目

求满足 $\overline{ab}=a^2+b^3$ 的两位数的个数。

解答

等式化为 $a(10-a)=b^3-b$。左端至多为 $25$，所以 $b\le3$。$b=0,1$ 时右端为零，不可；$b=2$ 时右端为 $6$，无整数 $a$；$b=3$ 时右端为 $24$，解得 $a=4,6$。因此恰有 $43,63$ 两个数。

第 6 题

题目

已知 $P(x)=x^3+bx^2+cx+d$，且 $P(1)=2025$、$P(2)=4050$，求 $P(5)-P(-2)$。

解答

$P(2)-P(1)=7+3b+c=2025$，故 $3b+c=2018$。于是 $P(5)-P(-2)=133+21b+7c=133+7\cdot2018=14259$。

第 7 题

题目

已知复数 $z_1$ 在线段端点 $2$ 与 $2i$ 之间运动，$|z_2|=1$，求 $z_1+2z_2$ 在复平面上扫过的面积。

解答

答案校注： $|z_2|=1$ 表示圆周，不是圆盘。源参考所给 $4\pi+8\sqrt2$ 是圆盘沿线段平移的面积，漏扣了圆周扫不到的中心区域。

设线段端点为 $A=(2,0),B=(0,2)$，长 $L=2\sqrt2$，平移圆周半径为 $r=2$。点 $P$ 被扫到，当且仅当它到线段上点的距离的最小值不大于 $2$、最大值不小于 $2$。距离随线段参数连续，最大值在端点取得，因此扫掠区域等于线段的半径 $2$ 邻域，去掉两端点半径 $2$ 开圆盘的交集。边界不影响面积。

邻域面积为 $4\pi+4L=4\pi+8\sqrt2$。两圆交叠透镜的圆心角各为 $\pi/2$，面积为

$$2\left(\frac12\cdot2^2\cdot\frac\pi2-\frac12\cdot2^2\right)=2\pi-4.$$

相减得到 $2\pi+8\sqrt2+4$。

第 8 题

题目

已知正实数 $a$ 满足 $a^{a^3}=3$，求 $a^6$。

解答

转写校注： 原图所求为 $a^6$，不是 $a^{a^6}$。按实指数的正底数约定，$a>0$；由于结果为 $3>1$，有 $a>1$。令 $t=a^3>1$，条件化为 $t^t=27$。函数 $t\ln t$ 在 $t>1$ 上严格递增，且 $t=3$ 满足条件，故 $a^3=3,a^6=9$。

第 9 题

题目

已知 $2x^2+y^2=1$，求 $x+2y$ 的最大值。

解答

柯西不等式给出

$$x+2y=\frac1{\sqrt2}(\sqrt2x)+2y \le\sqrt{\frac12+4}\sqrt{2x^2+y^2}=\frac{3\sqrt2}{2}.$$

在 $x=\sqrt2/6,y=2\sqrt2/3$ 时取等。

第 10 题

题目

已知 $|2\vec a-\vec b|=|\vec a+2\vec b|=1$，求 $|3\vec a+4\vec b|$ 的最大值。

解答

记 $\boldsymbol u=2\boldsymbol a-\boldsymbol b,\boldsymbol v=\boldsymbol a+2\boldsymbol b$，则二者均为单位向量，且 $3\boldsymbol a+4\boldsymbol b=(2\boldsymbol u+11\boldsymbol v)/5$。三角不等式给出上界 $13/5$；取 $\boldsymbol u=\boldsymbol v$ 并反解 $\boldsymbol a,\boldsymbol b$ 即可实现。

第 11 题

题目

求 $\displaystyle\frac{xy+2yz}{x^2+y^2+z^2}$ 的最大值。

解答

分母非零。由 $|x+2z|\le\sqrt5\sqrt{x^2+z^2}$ 及 $2|y|\sqrt{x^2+z^2}\le x^2+y^2+z^2$，有

$$xy+2yz\le\frac{\sqrt5}{2}(x^2+y^2+z^2).$$

取 $(x,y,z)=(1,\sqrt5,2)$ 同时取等，最大值为 $\sqrt5/2$。

第 12 题

题目

【明确实数范围】使方程 $x^{2025}=2025-ax=2026-bx$ 有实数解的实数有序对 $(a,b)$ 有多少组？

解答

题面校注： 题目未给整数限制，教学版明确按实数参数与实数解理解。$x=0$ 不成立，而任意 $x\ne0$ 都给出

$$a=\frac{2025-x^{2025}}x,\qquad b=\frac{2026-x^{2025}}x.$$

由 $b-a=1/x$ 可反求唯一 $x$，所以不同非零实数 $x$ 对应不同有序对，有无穷多组（事实上不可数）。

第 13 题

题目

【补全不同解条件】若 $\alpha,\beta$ 是方程 $3\cos x+2\sin x=c$ 的两个实数解，且 $\alpha-\beta\notin2\pi\mathbb Z$，求 $\tan(\alpha+\beta)$。

解答

题面校注： 仅有原来的 $\alpha+\beta\ne k\pi$ 不能排除两解相差 $2\pi$；例如取 $\beta=\alpha+2\pi$ 就不能确定所求。补为 $\alpha-\beta\notin2\pi\mathbb Z$ 后，

$$3(\cos\alpha-\cos\beta)+2(\sin\alpha-\sin\beta)=0$$

化为 $\sin((\alpha-\beta)/2)[-3\sin((\alpha+\beta)/2)+2\cos((\alpha+\beta)/2)]=0$。第一因子不为零，故半和的正切为 $2/3$，从而 $\tan(\alpha+\beta)=\frac{2(2/3)}{1-(2/3)^2}=12/5$。

第 14 题

题目

计算 $\displaystyle\sum_{i=1}^{1012}(-1)^{i+1}\cos\frac{i\pi}{2025}$。

解答

令 $t=\pi/2025,N=1012$。对各项使用 $2\cos(t/2)\cos(it)=\cos((i-1/2)t)+\cos((i+1/2)t)$，交错相加后中间项抵消，得到

$$2\cos(t/2)\sum_{i=1}^N(-1)^{i+1}\cos(it) =\cos(t/2)-\cos((N+1/2)t)=\cos(t/2).$$

最后一个余弦为 $\cos(\pi/2)=0$，所以和为 $1/2$。

第 15 题

题目

各位数字均由 $2,4,6,8$ 组成，且含偶数个数字 $2$ 的 $2025$ 位数有多少个？

解答

以 $E,O$ 分别表示偶数个、奇数个数字 $2$ 的个数，则 $E+O=4^{2025}$。每位中三个数字贡献正号、数字 $2$ 贡献负号，因此 $E-O=(3-1)^{2025}=2^{2025}$。解得 $E=(4^{2025}+2^{2025})/2$，其中包含零个数字 $2$。

第 16 题

题目

设 $S=\{1,2,\ldots,2025\}$。满足 $A,B\subseteq S$、$A\ne B$ 且 $A\cap B\ne\varnothing$ 的二元集 $\{A,B\}$ 有多少个？（交换 $A,B$ 不另计。）

解答

题面校注： “二元集”要求 $A\ne B$ 且不计顺序；这与有序对计数不同。每个元素有四种归属，共 $4^{2025}$ 个有序对；不相交时只有三种归属，共 $3^{2025}$ 个。再排除 $A=B\ne\varnothing$ 的 $2^{2025}-1$ 个有序对，余下交换配成两两不同的对，故答案为 $(4^{2025}-3^{2025}-2^{2025}+1)/2$。

第 17 题

题目

计算 $\displaystyle\sum_{i=1}^{2025}\lfloor\log_2 i\rfloor$。

解答

对 $k=0,\ldots,9$，从 $2^k$ 到 $2^{k+1}-1$ 共 $2^k$ 项取值为 $k$；从 $1024$ 到 $2025$ 共 $1002$ 项取值为 $10$。所以

$$\sum_{i=1}^{2025}\lfloor\log_2i\rfloor =\sum_{k=0}^9k2^k+10020=8194+10020=18214.$$

其中有限和可由错位相减得 $\sum_{k=0}^{m}k2^k=(m-1)2^{m+1}+2$。

第 18 题

题目

方程 $z^6+z^4+z^3+z^2+1=0$ 的所有正虚部根之积为 $P$，求 $\arg(P)$。

解答

$z\ne0$，除以 $z^3$ 并令 $t=z+z^{-1}$，原式变为 $t^3-2t+1=(t-1)(t^2+t-1)=0$。三个 $t$ 值分别为 $2\cos(\pi/3),2\cos(2\pi/5),2\cos(4\pi/5)$，均在 $(-2,2)$ 内。各自对应单位圆上一对共轭根，正虚部根分别为 $e^{i\pi/3},e^{2i\pi/5},e^{4i\pi/5}$。故 $P=e^{23i\pi/15}$，辐角为 $-7\pi/15+2k\pi$；主辐角为 $-7\pi/15$。

第 19 题

题目

方程 $x^3+ax^2-(1-a)^2=0$ 有三个不同实根 $x_1,x_2,x_3$，且 $\displaystyle\frac{x_1}{x_2x_3}+\frac{x_2}{x_1x_3}+\frac{x_3}{x_1x_2}>\frac32$，求 $a$ 的取值范围。

解答

设多项式为 $F$。$a<0$ 时局部极大值为 $F(0)=-(a-1)^2<0$，不可能有三个实根；$a=0$ 时严格递增。$a>0$ 时驻点为 $-2a/3,0$，分别是极大与极小点。三个不同实根要求

$$F(0)=-(a-1)^2<0,\qquad F(-2a/3)=\frac{4a^3}{27}-(a-1)^2 =\frac{(a-3)^2(4a-3)}{27}>0.$$

所以 $a>3/4$ 且 $a\ne1,3$。韦达定理给出根之积 $(a-1)^2$、平方和 $a^2$，故附加条件等价于 $a^2/(a-1)^2>3/2$，即 $3-\sqrt6<a<3+\sqrt6$。取交集即答案。

第 20 题

题目

在 $\triangle ABC$ 中，$D$ 在 $BC$ 上，$AD$ 平分 $\angle BAC$，且 $AB=AD=2$、$BD=1$，求 $CD$。

解答

记 $CD=t>0$。角平分线定理给出 $AC=2t$。角平分线长公式（亦可由 Stewart 定理推出）为 $AD^2=AB\cdot AC-BD\cdot CD$，所以 $4=4t-t=3t$，即 $t=4/3$。三边 $2,8/3,7/3$ 满足三角形不等式，构型可实现。