2024年北京大学强基计划数学试题 · 参考解答

按来源二十题编号。各题依当前题面独立推导；“下确界”与“最小值”、严格区间端点分别处理。

答案速览

题号	答案	题号	答案
1	$1$	11	$49999$
2	$(3-3\sqrt5)/16$	12	$3570$，第四个选项
3	$16687$	13	下确界 $-1$，无最小值
4	$4$	14	$[4,2+\sqrt{13}]$
5	$25$	15	$AD^2>2DC\cdot DB$
6	$2$	16	$5$
7	$3$	17	$\pi/5$
8	$4$	18	$21/2$
9	$4$	19	$B=C,\ \sin(A/2)=(\sqrt{33}-1)/8$
10	$9\sqrt3/32$	20	$2024(2023+\sqrt2)$

逐题解析

第 1 题

题目

求 $\displaystyle\sum_{i=1}^{2024}\left\lfloor\frac{19^i}{20}\right\rfloor$ 除以 $7$ 的余数。

解答

$19^i$ 除以 $20$ 的余数在奇数项为 $19$，偶数项为 $1$。故所求和为

$$Y=\frac{\sum_{i=1}^{2024}19^i-20240}{20}.$$

模 $7$ 时 $20$ 可逆，$19\equiv5$，幂的周期为 $6$，每六项之和模 $7$ 为零。$2024\equiv2\pmod6$，所以幂和模 $7$ 为 $5+25\equiv2$，而 $20240\equiv3$，得到 $20Y\equiv-1\equiv6$，故 $Y\equiv1\pmod7$。

第 2 题

题目

计算 $\sin^36^\circ-\sin^3114^\circ+\sin^3126^\circ$。

解答

由 $\sin114^\circ=\sin(120^\circ-6^\circ)$、$\sin126^\circ=\sin(120^\circ+6^\circ)$，有 $\sin6^\circ-\sin114^\circ+\sin126^\circ=0$。应用 $\sin^3t=(3\sin t-\sin3t)/4$，原式为

$$-\frac14(\sin18^\circ-\sin342^\circ+\sin378^\circ) =-\frac34\sin18^\circ=\frac{3-3\sqrt5}{16}.$$

第 3 题

题目

求 $1,2,3,4,5,6,7,8$ 的排列中，不出现相邻片段 $12,23,34,45,56,67,78$ 的排列个数。

解答

对七个禁止片段作容斥。指定其中 $k$ 个片段出现时，将每条连续链收缩成一个块，恰剩 $8-k$ 个块，排列数为 $(8-k)!$。故

$$\sum_{k=0}^7(-1)^k\binom7k(8-k)! =40320-35280+15120-4200+840-126+14-1=16687.$$

第 4 题

题目

数列 $1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,\ldots$，求第 $2024$ 项除以 $5$ 的余数。

解答

前 $m$ 个数值组共 $m(m+1)/2$ 项。$63\cdot64/2=2016<2024\le64\cdot65/2$，因此第 $2024$ 项为 $64$，除以 $5$ 余 $4$。

第 5 题

题目

求四元组 $(a_1,a_2,a_3,a_4)$ 的个数，其中 $a_i\in\{1,2,3\}$ 且 $10<a_1a_2a_3a_4<20$。

解答

乘积只能为 $12,16,18$，分别对应多重集 $\{1,2,2,3\},\{2,2,2,2\},\{1,2,3,3\}$。其排列数为 $12,1,12$，合计 $25$。

第 6 题

题目

求 $(0,2\pi]$ 上方程 $2^{\cos x}=\sin x$ 的解的个数。

解答

右边为正，且左边不大于 $1$，所以 $x\in[\pi/2,\pi)$。令 $t=\cos x\in(-1,0]$，等式等价于 $H(t)=\frac12\ln(1-t^2)-t\ln2=0$。$H''(t)=-(1+t^2)/(1-t^2)^2<0$，$H(0)=0$、$H'(0)=-\ln2<0$、$H(t)\to-\infty$ 当 $t\to-1^+$。严格凹性及导数单调说明区间内另有且仅有一个根，连同 $t=0$ 共两根。

第 7 题

题目

求实数域上方程 $x(e^{x^4-1}-1)+(e^x-1)(x^4-1)=0$ 的解的个数。

解答

由于 $e^u-1$ 与 $u$ 同号，当 $x(x^4-1)\ne0$ 时，两个加数 $x(e^{x^4-1}-1)$ 和 $(e^x-1)(x^4-1)$ 同号且非零，不能抵消。因此只能 $x=0,1,-1$，三者代入均成立。

第 8 题

题目

求实数域上方程 $x^2-13\lfloor x\rfloor+11=0$ 的解的个数。

解答

令 $n=\lfloor x\rfloor$，有 $x^2=13n-11$，故 $n\ge1$ 且 $x>0$。条件为 $n\le\sqrt{13n-11}<n+1$，等价于

$$n^2-13n+11\le0,\qquad n^2-11n+12>0.$$

前者给整数 $1\le n\le12$，后者在此范围仅允许 $n=1,10,11,12$。各对应一个根，共四根。

第 9 题

题目

在体积为 $1$ 的正方体内任取一点，过该点作三个分别平行于正方体面的平面，将正方体分成 $8$ 个长方体。求其中体积不大于 $1/8$ 的长方体个数的最小值。

解答

设分割比例为 $x,y,z\in[0,1]$。把八个长方体配成四组相对块，每组两体积之积为 $x(1-x)y(1-y)z(1-z)\le1/64$，因此每组至少一个体积不大于 $1/8$，总数至少为四。取 $x=y=z=3/5$，体积为 $(3/5)^3$ 的一块及 $(3/5)^2(2/5)$ 的三块均大于 $1/8$，其余四块小于 $1/8$，所以下界可达。

第 10 题

题目

在离心率为 $\sqrt3/2$ 的椭圆中，$F_1,F_2$ 为焦点，$P$ 为椭圆上一点，且 $\angle F_1PF_2=\pi/3$，$|PF_1|-|PF_2|=3$，求 $S_{\triangle PF_1F_2}$。

解答

记两焦距为 $u,v$、椭圆长半轴为 $a$，则 $u+v=2a,u-v=3$，焦距 $2c=\sqrt3a$。在焦点三角形中用余弦定理：

$$3a^2=u^2+v^2-uv=\frac{(u+v)^2+3(u-v)^2}{4} =a^2+\frac{27}{4}.$$

得 $a^2=27/8$，$uv=a^2-9/4=9/8$，面积为 $uv\sin(\pi/3)/2=9\sqrt3/32$。

第 11 题

题目

用 $S(n)$ 表示正整数 $n$ 的数码和，求满足 $S(n+1)$ 与 $S(n)$ 均为 $5$ 的倍数的最小正整数 $n$。

解答

设 $n$ 末尾连续有 $t$ 个 $9$，则 $S(n+1)-S(n)=1-9t$，故 $t\equiv4\pmod5$。最少须四个末尾 $9$。四位数 $9999$ 的数码和为 $36$，不合题意；最小前缀须使其数码和模 $5$ 为 $4$，最小为 $4$，得到 $n=49999$。更多末尾 $9$ 的数更大；$S(49999)=40,S(50000)=5$，验证成立。

第 12 题

题目

称正整数 $n$ 为好数，如果它各位数字互不相同，且对所有满足 $\left\lfloor n/10^m\right\rfloor>0$ 的正整数 $m$，均有 $\left\lfloor n/10^m\right\rfloor\mid n$。判断最大好数所在区间：$(0,1000)$、$(1000,2000)$、$(2000,3000)$ 或以上均不对。

解答

若 $n\ge100$，记 $n=10q+d$，由 $q\mid n$ 得 $q\mid d$；因 $q\ge10,0\le d\le9$，必须 $d=0$。若 $n\ge10000$，令 $r=\lfloor n/100\rfloor\ge100$，则 $n=100r+10e$，由 $r\mid n$ 迫使 $e=0$，与数字互异矛盾。故只需考虑四位数 $n=1000a+100b+10c$，其中 $a,b,c$ 非零且互异。必要充分条件为

$$10a+b\mid10c,\qquad a\mid10(10b+c).$$

依 $c=1,\ldots,9$ 枚举 $10c$ 的两位数约数，再排除含 $0$ 或重复数字者，得到全部四位好数

$$1260,1470,1530,1560,1590,1680,1890,3570.$$

其中最大的 $3570$ 能被 $357,35,3$ 整除，故最大好数为 $3570$，选第四项。

第 13 题

题目

在 $\triangle ABC$ 中，求 $\cos A\cos B\cos C$ 的最小值或下确界。

解答

非退化三角形三个余弦均严格介于 $-1,1$，所以其乘积严格大于 $-1$。令 $A=B=\varepsilon,C=\pi-2\varepsilon$，当 $\varepsilon\to0^+$ 时乘积趋于 $-1$。因此下确界为 $-1$，没有最小值。

第 14 题

题目

在 $\triangle ABC$ 中，若 $BC$ 边上的高为 $a/3$，求 $\dfrac{(b+c)^2}{bc}$ 的范围。

解答

面积条件给出 $bc\sin A=a^2/3$，结合余弦定理得

$$\frac{(b+c)^2}{bc}=2+2\cos A+3\sin A\le2+\sqrt{13}.$$

又由 $b/c+c/b\ge2$ 得下界 $4$，在 $b=c$ 时取得。为确认上界可实现，缩放取 $B=(0,0),C=(3,0),A=(t,1)$；随 $t$ 从 $3/2$ 变化到无穷，$\angle A$ 连续地从 $2\arctan(3/2)$ 变到 $0$，经过满足 $\tan A=3/2$ 的锐角，恰能达到上界。连续性保证所有中间值也可取，故值域为 $[4,2+\sqrt{13}]$。

第 15 题

题目

在 $\triangle ABC$ 中，若 $a=2,b=\sqrt2,c=2\sqrt2$，点 $D$ 在 $BC$ 上，比较 $AD^2$ 与 $2DC\cdot DB$ 的大小。

解答

令 $BD=t,DC=2-t$，其中 $0\le t\le2$。Stewart 定理给出

$$AD^2=\frac{8(2-t)+2t}{2}-t(2-t)=8-5t+t^2.$$

所以 $AD^2-2DC\cdot DB=3t^2-9t+8=3(t-3/2)^2+5/4>0$。

第 16 题

题目

在 $\triangle ABC$ 中，$O$ 为形外一点，满足 $\angle BOC=2\angle BAC$，线段 $OC$ 与 $AB$ 交于 $D$，且 $OB=OC=3,OD=2$，求 $BD\cdot AD$。

解答

由于 $OC$ 与 $AB$ 在线段内部相交，$A,O$ 必在 $BC$ 同侧。又 $OB=OC$ 且 $\angle BOC=2\angle BAC$，由圆周角所对应的同侧圆弧可知 $A$ 在以 $O$ 为心、半径 $3$ 的圆上：以 $BC$ 为弦，指定锐圆周角及其所在侧唯一确定相应弧。故 $O$ 为三角形外心。点 $D$ 在圆内，由相交弦定理（或圆幂）

$$BD\cdot AD=3^2-OD^2=9-4=5.$$

第 17 题

题目

在 $\triangle ABC$ 中，$D$ 在 $BC$ 上，$AD$ 平分 $\angle BAC$，且 $\triangle ADC$ 的内心与 $\triangle ABC$ 的外心重合，求 $\angle C$。

解答

记重合的中心为 $O$。$CO$ 平分 $\angle ACB$，且 $OA=OB=OC$，故等腰三角形 $OCA,OCB$ 的底角相等，进而由 SAS 得 $CA=CB$，即 $A=B$。又 $AO$ 平分 $\angle CAD$，而 $AD$ 平分 $\angle BAC$，所以 $\angle OAC=A/4$；$\angle OCA=C/2$。由 $OA=OC$ 得 $A/4=C/2$，即 $A=2C$。结合 $A=B$ 得 $5C=\pi$，故 $C=\pi/5$。

第 18 题

题目

在 $\triangle ABC$ 中，$D$ 在 $BC$ 上，$AD$ 平分 $\angle BAC$，$AB=AD=3,CD=2$，求 $\triangle ABC$ 的周长。

解答

令 $BD=x,AC=y$。角平分线定理给出 $xy=6$，角平分线长公式给出 $9=3y-2x$。代入 $y=6/x$ 得 $2x^2+9x-18=0$，唯一正根 $x=3/2$，故 $y=4$。三边为 $3,4,7/2$，周长为 $21/2$，且满足三角形不等式。

第 19 题

题目

在 $\triangle ABC$ 中，求 $2\sin A+\sin B+\sin C$ 取得最大值的条件。

解答

和差化积给出 $\sin B+\sin C=2\cos(A/2)\cos((B-C)/2)\le2\cos(A/2)$，等号当且仅当 $B=C$。令 $u=A/2\in(0,\pi/2)$，只需求 $2\sin2u+2\cos u$ 的最大值。其导数为 $4\cos2u-2\sin u=-8\sin^2u-2\sin u+4$，在 $\sin u=(\sqrt{33}-1)/8$ 处由正变负，得到唯一最大点。所求条件为 $B=C$ 且 $A=2\arcsin((\sqrt{33}-1)/8)$。

第 20 题

题目

对实数 $x$，以 $\lfloor x\rfloor$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，$\{x\}=x-\lfloor x\rfloor$。已知 $a_1=\sqrt2$，$a_{n+1}=\lfloor a_n\rfloor+\dfrac1{\{a_n\}}$，求 $\displaystyle\sum_{k=1}^{2024}a_k$。

解答

由 $1/(\sqrt2-1)=\sqrt2+1$，归纳得 $a_n=2(n-1)+\sqrt2$，每项小数部分均为 $\sqrt2-1$，递推始终有定义。因此

$$\sum_{k=1}^{2024}a_k=2024\sqrt2+2\frac{2023\cdot2024}{2} =2024(2023+\sqrt2).$$