2023年北京大学强基计划数学试题 · 参考解答

与校订教学版二十题对应。第 8 题补“凸”，第 12 题据参考解法恢复上半圆并明确端点，第 13 题明确无序计数。不是原卷逐字复原。

答案速览

题号	答案	题号	答案
1	D	11	$40425$
2	$0$	12	$2\sqrt{170}-2\sqrt{85}$
3	B，$2$	13	$52$
4	$42$	14	$1518$
5	$\sqrt2/2$	15	$4^{2022}$
6	$179$	16	$0$
7	$1$	17	$701$
8	$246$	18	$3$
9	$(2/3,1)$	19	$13$
10	$2$	20	$50$

逐题解析

第 1 题

题目

定义有理复数为实部、虚部均为有理数的复数，无理复数为实部、虚部均为无理数的复数，半有理复数为实部、虚部一有理一无理的复数。若三角形三个顶点对应的复数均为半有理复数，则重心对应的复数是：A. 只能是有理复数或半有理复数；B. 只能是无理复数或半有理复数；C. 只能是半有理复数；D. 以上都不对。

解答

重心是三个顶点坐标的算术平均。以下三组三角形顶点都是半有理复数，重心却分别为有理、半有理、无理复数：

$$(\sqrt2,0),(\sqrt2,1),(-2\sqrt2,2);$$ $$(\sqrt2,0),(\sqrt2,1),(\sqrt2+1,2);$$ $$(\sqrt2,0),(0,\sqrt2),(1,\sqrt2).$$

三组均不共线，故三种情况均可能，选 D。

第 2 题

题目

方程 $1+\cos x+i\sin x-\cos2x-i\sin2x+\cos3x+i\sin3x=0$ 在 $[0,2\pi]$ 上有多少个解？

解答

令 $z=e^{ix}$。原式为 $z^3-z^2+z+1=0$。取共轭再乘 $z^3$，由于 $\bar z=1/z$，得到 $z^3+z^2-z+1=0$。两式相减得 $2z(z-1)=0$。但 $z\ne0$ 且 $z=1$ 不满足原方程，故无解。

第 3 题

题目

数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=\frac52$，$a_{n+1}=a_n^2-2$，求 $\lfloor a_{2023}\rfloor$ 除以 $7$ 的余数。A. $1$；B. $2$；C. $4$；D. 以上都不对。

解答

归纳可得 $a_n=2^{2^{n-1}}+2^{-2^{n-1}}$，所以 $\lfloor a_{2023}\rfloor=2^{2^{2022}}$。模 $7$ 时 $2$ 的幂周期为 $3$，且 $2^{2022}\equiv1\pmod3$，故余数为 $2$。

第 4 题

题目

$U=\{1,2,\ldots,10\}$，求 $U$ 中元素两两互素的三元子集个数。

解答

按子集最大元素 $m$ 分类，检查从 $\{1,\ldots,m-1\}$ 中选出的两个数彼此互素，且都与 $m$ 互素。$m=3,4,\ldots,10$ 的个数依次为

$$1,\ 1,\ 5,\ 1,\ 11,\ 6,\ 12,\ 5.$$

例如 $m=9$ 时可选数为 $1,2,4,5,7,8$，十五对中只有 $\{2,4\},\{2,8\},\{4,8\}$ 不互素，故有十二对。各类相加为 $42$。

第 5 题

题目

函数 $f(x)=\min\{\sin x,\cos x,-\frac1\pi x+1\}$ 在 $[0,\pi]$ 上的最大值是多少？

解答

$\min(\sin x,\cos x)\le\sqrt2/2$。在 $x=\pi/4$ 处，前两项均为 $\sqrt2/2$，第三项为 $3/4>\sqrt2/2$，因此最大值恰为 $\sqrt2/2$。

第 6 题

题目

$U=\{1,2,\ldots,366\}$，其中互不相交且各元素之和为 $17$ 的倍数的二元子集最多有多少个？

解答

$366=21\cdot17+9$。余数 $0$ 类有 $21$ 个数，余数 $1$ 至 $9$ 各有 $22$ 个，余数 $10$ 至 $16$ 各有 $21$ 个。 余数零类内部可配十对；余数 $r$ 与 $17-r$ 必须相配，$r=1,\ldots,7$ 各配二十一对，$r=8$ 可配二十二对。故上界且可达为 $10+7\cdot21+22=179$。

第 7 题

题目

方程 $24x^5-15x^4+40x^3-30x^2+120x+1=0$ 有多少个实根？

解答

多项式导数为

$$60(2x^4-x^3+2x^2-x+2) =60\{x^2(2x^2-x+1)+(x^2-x+2)\}>0.$$

函数严格递增，且两端极限为负、正无穷，所以恰有一个实根。

第 8 题

题目

凸十边形内任意三条对角线不在其内部交于同一点。所有对角线把十边形划分为多少个区域？

解答

凸十边形有 $10(10-3)/2=35$ 条对角线。每选四个顶点恰给出一个内部交点，且三线不共点，交点共 $\binom{10}4=210$ 个。逐条加入对角线，每条贡献“一加其已有内部交点数”个区域，因此总数为 $1+35+210=246$。

第 9 题

题目

一个三角形的一条高为 $2$，另一条高为 $4$，求其内切圆半径的取值范围。

解答

两条高分别对应边 $a,b$，则 $2a=4b$，即 $a=2b$，面积为 $2b$。记第三边 $c=tb$，三角不等式给 $1<t<3$。内切圆半径

$$r=\frac{2S}{a+b+c}=\frac4{3+t},$$

故 $2/3<r<1$。反之，任取 $t\in(1,3)$，将边长比 $2:1:t$ 的三角形按比例缩放，使对应于边 $b$ 的高为 $4$，即符合题设，故区间内每一点可达。

第 10 题

题目

$R(n)$ 表示正整数 $n$ 除以 $2,3,4,5,6,7,8,9,10$ 的余数之和。满足 $R(n)=R(n+1)$ 的两位数 $n$ 有多少个？

解答

令 $m=n+1$。由各个余数的变化，

$$R(n+1)-R(n)=9-\sum_{\substack{2\le d\le10\\d\mid m}}d.$$

所列约数和应为 $9$。约数 $6,8,9,10$ 的出现，连同它们的其他约数，都会使和超过 $9$；$4$ 必带 $2$，再补 $3$ 又会带来 $6$；$5$ 也不能与其余允许的约数组合成 $9$。故只能出现 $2,7$。 $11\le m\le100$ 中，$14$ 的倍数为 $14,28,42,56,70,84,98$，排除含其他所列约数者，只剩 $14,98$，所以 $n=13,97$，共两个。

第 11 题

题目

正整数 $a<b<c<d\le101$，且 $101\mid a+b+c+d$，求有序数组 $(a,b,c,d)$ 的个数。

解答

将 $\{1,\ldots,101\}$ 看成模 $101$ 的剩余类，给四元子集整体加一。每个轨道有 $101$ 个子集：若非零平移固定该子集，由 $101$ 为质数，它便须包含全部剩余类，矛盾。 每平移一次，元素和增加 $4$；$4$ 在模 $101$ 下可逆，故每条轨道恰有一个子集的和为零。升序排列与子集一一对应，所求为

$$\binom{101}4/101=40425.$$

第 12 题

题目

【条件补订】点 $C\in\{(x,y)\mid x^2+y^2=1, y\ge0\}$，$A(-1,0),B(1,0)$，且 $C\ne A$。点 $D$ 在射线 $AC$ 上，$C$ 在线段 $AD$ 上，$|CD|=3|BC|$（$C=B$ 时约定 $D=B$）。求 $D$ 到 $E(4,5)$ 距离的最大值与最小值之积。

解答

令 $C=(\cos\theta,\sin\theta)$，$0\le\theta<\pi$。由 $BC=2\sin(\theta/2)$ 及射线 $AC$ 的单位方向 $(\cos(\theta/2),\sin(\theta/2))$，

$$D=(\cos\theta+3\sin\theta,\ 3+\sin\theta-3\cos\theta).$$

因此

$$DE^2=30+4\cos\theta-28\sin\theta.$$

最大值为 $34$：$\cos\theta\le1,\sin\theta\ge0$，在 $\theta=0$ 取等。最小值为 $30-20\sqrt2$，对应 $(\cos\theta,\sin\theta)=(-1,7)/\sqrt{50}$，属于允许区间。故距离的最小值为 $2\sqrt5-\sqrt{10}$，所求积为

$$\sqrt{34}(2\sqrt5-\sqrt{10})=2\sqrt{170}-2\sqrt{85}.$$

端点约定不可省略，否则“延长”可能排除 $C=B$，导致只有上确界而无最大值。

第 13 题

题目

三个互不相等的正整数最大公约数为 $20$、最小公倍数为 $20000$，求这样的无序三元组个数。

解答

三个数除以 $20$ 后，其最大公约数为 $1$，最小公倍数为 $1000=2^3 5^3$。对任一素因子，三个指数取自 $\{0,1,2,3\}$，且最小值零、最大值三，按容斥有 $4^3-2\cdot3^3+2^3=18$ 种有序安排。两个素因子的选择独立，共 $18^2=324$ 种。 指定前两个数相等，则每种素因子的三个指数只能为 $(0,0,3)$ 或 $(3,3,0)$，有四种。三组相等事件互不重叠（全相等不可能），排除十二种，再除以 $3!$，得 $(324-12)/6=52$。

第 14 题

题目

由 $\left\lfloor\frac{1^2}{2023}\right\rfloor,\left\lfloor\frac{2^2}{2023}\right\rfloor,\ldots,\left\lfloor\frac{2023^2}{2023}\right\rfloor$ 构成的集合有多少个元素？

解答

当 $1\le k\le1011$ 时，相邻平方除以 $2023$ 的增量小于 $1$，所以取整值不跳号，从 $0$ 覆盖到 $\lfloor1011^2/2023\rfloor=505$，共 $506$ 个。$k=1012$ 时取整为 $506$；此后平方差均超过 $2023$，取整值严格递增，另有 $2023-1012+1=1012$ 个。总计 $1518$。

第 15 题

题目

设 $S=\{(-1,0),(1,0),(0,1),(0,-1)\}$。甲虫第 $1$ 天在原点；第 $n+1$ 天从第 $n$ 天位置出发，沿向量 $\frac1{4^n}\boldsymbol v$ 移动，其中 $\boldsymbol v\in S$。$S_n$ 表示第 $n$ 天可能位置的个数，求 $S_{2023}$。

解答

共有 $2022$ 步，每步四种选择。不同选择序列不会到达同一点：若首次不同发生在第 $j$ 步，当步位移差的模至少为 $\sqrt2\,4^{-j}$，之后所有步位移差之和的模至多

$$2\sum_{k=j+1}^\infty4^{-k}=\frac23\,4^{-j}<\sqrt2\,4^{-j}.$$

因此无法抵消，位置数为 $4^{2022}$。

第 16 题

题目

方程 $x\lfloor x\rfloor=6$ 有多少个解？

解答

设 $n=\lfloor x\rfloor\ne0$，则 $x=6/n$。$n>0$ 时，$n\le6/n<n+1$ 要求 $n^2\le6<n(n+1)$，而 $n\le2$ 时右边不超过六，$n\ge3$ 时左边超过六，矛盾。 $n=-m<0$ 时，$-m\le-6/m<-m+1$ 要求 $m(m-1)<6\le m^2$；$m\le2$ 或 $m\ge3$ 都不能成立。因此没有解。

第 17 题

题目

正整数 $x,y,z$ 满足 $\frac{x(y+1)}{x-1},\frac{y(z+1)}{y-1},\frac{z(x+1)}{z-1}$ 均为正整数，求 $xyz$ 的最大值与最小值之和。

解答

分母非零且分式为正，故 $x,y,z\ge2$。利用相邻整数互素，条件等价于

$$x-1\mid y+1,\qquad y-1\mid z+1,\qquad z-1\mid x+1.$$

显然最小乘积为 $8$，在 $(2,2,2)$ 取得。

若有两个变量相等，可循环重排使 $x=y=t$，于是 $t-1\mid t+1$，故 $t=2,3$。再检查另两个整除条件，得 $(2,2,2),(2,2,4),(3,3,3),(3,3,5)$ 及其循环排列，乘积至多 $45$。

若三者互异，循环重排使 $z$ 最大。由 $z-1\mid x+1\le z$，得 $x=z-2$。又 $z-3\mid y+1\le z$。若商至少二，则 $z\le6$；逐一检查 $z=4,5,6$，商至少二的情形均不满足 $y-1\mid z+1$。因此商只能为一，$y=z-4$，从而 $z\ge6$，且

$$z-5\mid z+1,\qquad z-5\mid6.$$

故 $z=6,7,8,11$，对应 $(x,y,z)=(4,2,6),(5,3,7),(6,4,8),(9,7,11)$，都成立。最大乘积为 $9\cdot7\cdot11=693$，所求为 $701$。

第 18 题

题目

已知 $a<b<c<d$，$x,y,z,t$ 是 $a,b,c,d$ 的一个排列。式子 $(x-y)^2+(y-z)^2+(z-t)^2+(t-x)^2$ 能得到多少个不同的值？

解答

一个四边形循环的四条边，是六对数中去掉一组完美匹配所得。三种被去掉的平方和为

$$M_1=(a-b)^2+(c-d)^2,\quad M_2=(a-c)^2+(b-d)^2,\quad M_3=(a-d)^2+(b-c)^2.$$

$M_2-M_1=2(c-b)(d-a)>0$，$M_3-M_2=2(b-a)(d-c)>0$，所以三种匹配和互异，相应的原式也恰有三个不同值。

第 19 题

题目

正整数 $x_1<x_2<\cdots<x_9$ 且 $x_1+\cdots+x_9=220$。在 $x_1+\cdots+x_5$ 取最大值时，求 $x_9-x_1$ 的最大值。

解答

记 $S=x_1+\cdots+x_5,t=x_5$。严格递增给

$$S\le5t-10,\qquad x_6+\cdots+x_9\ge4t+10.$$

若 $S\ge111$，则 $t\ge25$，后四项之和至少 $110$，总和超过 $220$，矛盾。所以 $S\le110$。 当 $S=110$，上述两式给 $24\le t\le25$。

$t=24$ 时，前五项只能为 $20,21,22,23,24$，后四项和为 $110$，所以 $x_9\le110-25-26-27=32$，差至多十二。 $t=25$ 时，后四项只能为 $26,27,28,29$，前四项和为 $85$，所以 $x_1\ge85-22-23-24=16$，差至多十三。取

$$(16,22,23,24,25,26,27,28,29)$$

同时达到 $S=110$ 及差十三，答案为 $13$。这也直接否定来源参考答案中的 $9$。

第 20 题

题目

$50$ 支队伍进行排球单循环比赛，胜一局积 $1$ 分、负一局积 $0$ 分。任取 $27$ 支队伍，都能找到一支全胜其余 $26$ 支队伍的队和一支全负于其余 $26$ 支队伍的队。求这 $50$ 支队伍最少有多少种不同积分。

解答

把胜负画成有向完全图，胜者指向负者。先证明：若一个至少二十七个顶点的有向完全图，其每二十七个顶点中都有全胜者，则整个图有全胜者。

取出度最大的顶点 $v$，出度为 $d$。某二十七点子图已有全胜者，故 $d\ge26$。若 $u$ 胜 $v$，且 $v$ 的某个胜出邻点 $w$ 胜 $u$，则选 $v,u$ 及 $v$ 的二十五个胜出邻点（包括 $w$），这二十七点中：$v$ 负于 $u$，$u$ 负于 $w$，其余均负于 $v$，不存在全胜者，矛盾。因此 $u$ 必胜 $v$ 的全部 $d$ 个胜出邻点，还胜 $v$，出度至少 $d+1$，又矛盾。故 $v$ 全胜。

在五十队中反复应用此结论，移去二十四个全胜者，余下二十六队。已移去者均胜所有剩余者。对剩余任意 $m\ge3$ 队，补入 $27-m$ 个已移去者，得到二十七队；其中的全负者不能是补入者，只能是剩余队之一。因此剩余图及其每个至少三点子图均有全负者，可继续逐一移去全负者，最后两队也有胜负次序。 整个图因而是严格全序，积分恰为 $0,1,\ldots,49$，共有五十种；全序赛果确实满足题设。