2021年北京大学暑期学堂数学试卷 · 参考解答

按当前正式题面独立求解；本地未发现该场独立来源扫描件。第 12 题排除分母为零的点。第 14 题按现有两个不同根式逐字求解，不能未经来源证据改成另一道估计题。

答案速览

1. $6$；2. 以定圆圆心和定点为焦点、长轴长等于定圆半径的椭圆；3. $869/27$；4. $1$；5. $(1-\sqrt{10})/4$；6. $\sqrt6$；7. $2021(1-i)/2$；8. $2026$；9. $000$；10. $18$；11. $3\sqrt3$；12. $0$；13. $1$；14. $2$；15. $(1/4,1/3]$；16. D；17. $\beta<\gamma$；18. $2$；19. $(\sqrt6+\sqrt2)/2$；20. $(2^{2021}+2^{674})/3-1$。

逐题解析

第 1 题

题目

函数 $f(x)=3x\ln x+x^3-ax+5$ 在 $(0,+\infty)$ 上非负，求 $a$ 的最大值。

解答

因 $x>0$，条件等价于 $a\le g(x)=3\ln x+x^2+5/x$ 恒成立。导数

$$g'(x)=\frac{2x^3+3x-5}{x^2}=\frac{(x-1)(2x^2+2x+5)}{x^2}$$

在 $x=1$ 前负后正，所以 $\min g=g(1)=6$，即 $a$ 最大为 $6$。

第 2 题

题目

平面内有定圆 $C$ 和动圆 $\Gamma$。动圆 $\Gamma$ 与定圆 $C$ 内切，且恒过 $C$ 内不为圆心的一定点，求 $\Gamma$ 的圆心轨迹。

解答

记定圆圆心为 $O$、半径为 $R$，固定内点为 $P\ne O$，动圆圆心为 $X$、半径为 $r$。过 $P$ 给出 $XP=r$，内切给出 $OX+r=R$，所以 $OX+XP=R$。

由于 $0<OP<R$，这是一个非退化椭圆，焦点为 $O,P$，长轴长为 $R$。反之椭圆上的每个 $X$ 都有 $XP>0$ 且 $OX+XP=R$，因此确实对应一个所需内切圆，无须删点。

第 3 题

题目

已知 $2x-5y\le-6$，$3x+6y\le25$，求 $9x+y$ 的最大值。

解答

将第一个不等式乘 $17/9$，第二个乘 $47/27$ 后相加，恰得

$$9x+y\le-6\cdot\frac{17}{9}+25\cdot\frac{47}{27}=\frac{869}{27}.$$

两边界交点 $(x,y)=(89/27,68/27)$ 满足约束并取到等号，所以最大值为 $869/27$。

第 4 题

题目

已知 $0<x<y<\dfrac\pi2$，且满足 $\sin(\cos x)=x$，$\cos(\sin y)=y$，求有序数对 $(x,y)$ 的组数。

解答

$\sin(\cos x)$ 在 $(0,\pi/2)$ 严格递减，而 $x$ 严格递增，端点符号相反，故第一个方程恰有一个解 $x$。令 $y=\cos x$，则 $x=\sin y$，所以 $\cos(\sin y)=\cos x=y$，且 $0<x=\sin y<y<\pi/2$。

第二个方程左边也在 $(0,\pi/2)$ 严格递减，故其解唯一，所求有序对恰为一组。

第 5 题

题目

已知 $x^2+4y^2=1$，求 $(x+2y)(x-y)$ 的最小值。

解答

令 $u=x,v=2y$，则 $u^2+v^2=1$，目标为 $u^2+uv/2-v^2/2$。相应对称矩阵

$$\begin{pmatrix}1&1/4\\1/4&-1/2\end{pmatrix}$$

的特征值为 $(1\pm\sqrt{10})/4$。单位圆上的二次型最小值是较小特征值，且相应单位特征向量取到，故答案为 $(1-\sqrt{10})/4$。

第 6 题

题目

若 $4x^2+2xy+y^2-2ax-ay+2\ge0$ 对任意 $x,y\in\mathbb R$ 恒成立，求 $a$ 的最大值。

解答

配方可写为

$$4x^2+2xy+y^2-2ax-ay+2 =3\left(x-\frac a6\right)^2+\left(x+y-\frac a2\right)^2+2-\frac{a^2}{3}.$$

两个平方可以同时为零，因此恒非负当且仅当 $a^2\le6$，最大 $a=\sqrt6$。

第 7 题

题目

复数 $x_1,x_2,\ldots,x_{2021}$ 是方程 $x^{2021}=1$ 的 $2021$ 个相异根，求 $\displaystyle\sum_{j=1}^{2021}\frac1{1+ix_j}$。

解答

对 $N$ 次单位根 $\omega_j$，恒等式 $\prod_j(1-t\omega_j)=1-t^N$ 的对数导数给出 $\sum_j1/(1-t\omega_j)=N/(1-t^N)$。取 $N=2021,t=-i$，因 $(-i)^{2021}=-i$，所求为 $2021/(1+i)=2021(1-i)/2$。

第 8 题

题目

数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1=1,a_2=2,a_3=3$，且当 $n\ge3$ 时，$a_{n+1}=\prod_{i=1}^n a_i-1$。记

$$S_n=\sum_{i=1}^n a_i^2-\prod_{i=1}^n a_i,$$

求 $S_{2021}$。

解答

记 $P_n=\prod_{i=1}^na_i$。对于 $n\ge4$，有 $P_{n-1}=a_n+1$，所以 $P_n=a_n(a_n+1)$，进而

$$S_n-S_{n-1}=a_n^2-P_n+P_{n-1}=1.$$

又 $S_3=1+4+9-6=8$，所以 $S_{2021}=8+(2021-3)=2026$。

第 9 题

题目

求和式 $\displaystyle\sum_{i=1}^{999999}i^{2021}$ 的计算结果最后三位数字。

解答

把 $i$ 与 $10^6-i$ 配对，因指数 $2021$ 为奇数，两项和模 $1000$ 为零。唯一自配的 $i=500000$ 的幂也被 $1000$ 整除。故末三位为 $000$。

第 10 题

题目

实数 $50(7+4\sqrt3)^{2021}$ 的十进制小数表示中，个位数字与十位数字之和是多少？

解答

令 $\alpha=7+4\sqrt3,\beta=7-4\sqrt3$，则 $U_n=\alpha^n+\beta^n$ 满足 $U_0=2,U_1=14,U_{n+2}=14U_{n+1}-U_n$，所以均为偶整数。于是 $50U_{2021}$ 是 $100$ 的倍数。

同时 $0<50\beta^{2021}<1$，故 $50\alpha^{2021}=50U_{2021}-50\beta^{2021}$ 的整数部分比该百倍数小 $1$，末两位均为 $9$，所求为 $18$。

第 11 题

题目

设 $p\in\mathbb R$，方程 $z^3+pz+8i=0$ 的三个根在复平面构成一个等边三角形的三个顶点，求该等边三角形的面积。

解答

三根之和为零，等边三角形的中心因此在原点。其根可以写为 $r\eta,r\eta\omega,r\eta\omega^2$，其中 $\omega^3=1,\omega\ne1$；两两乘积之和为零，所以 $p=0$。根的模由 $z^3=-8i$ 得 $r=2$。边长为 $2\sqrt3$，面积为 $3\sqrt3$。

第 12 题

题目

已知

$$\frac{(2x+1)^{4042}}{(x+1)^{2021}} =\sum_{i=0}^{2021}a_ix^i+\frac1{(x+1)^{2021}}\sum_{j=0}^{2020}b_jx^j$$

对任意实数 $x\ne-1$ 均成立，求 $a_{2020}$。

解答

先乘以 $(x+1)^{2021}$，得到多项式恒等式。比较 $x^{4042}$ 系数，得 $a_{2021}=2^{4042}$；再比较 $x^{4041}$ 系数，得

$$4042\cdot2^{4041}=2021a_{2021}+a_{2020},$$

故 $a_{2020}=0$。余式次数至多 $2020$，不影响上述两个最高次系数。

第 13 题

题目

已知 $x,y,z,w$ 满足

$$(1+\sqrt2+\sqrt3+\sqrt6)(x+\sqrt2y+\sqrt3z+\sqrt6w)=2021,$$

求有理数对 $(x,y,z,w)$ 的对数。

解答

因为 $1+\sqrt2+\sqrt3+\sqrt6=(1+\sqrt2)(1+\sqrt3)$，其倒数为 $(1-\sqrt2-\sqrt3+\sqrt6)/2$。又 $1,\sqrt2,\sqrt3,\sqrt6$ 在有理数域上线性无关（依次对两种根号变号并相加相减可逐个分离系数），所以唯一解为

$$(x,y,z,w)=\frac{2021}{2}(1,-1,-1,1).$$

故有一组。

第 14 题

题目

用 $[x]$ 表示实数 $x$ 的整数部分，用 $\{x\}$ 表示实数 $x$ 的小数部分。求不等式

$$1-[\sqrt{n^2+1}+n]\cdot\{\sqrt{n^2-1}+n\}<10^{-6}$$

的最小整数解。

解答

两个根式要求整数 $|n|\ge1$。若 $n\le-1$，则 $0<\sqrt{n^2+1}+n<1$，整数部分为零，左式为 $1$，不满足。$n=1$ 时小数部分 $\{\sqrt{n^2-1}+n\}=0$，同样不满足。

$n=2$ 时，两个相关部分分别为 $\lfloor\sqrt5+2\rfloor=4$ 与 $\{\sqrt3+2\}=\sqrt3-1$，故左式为 $5-4\sqrt3<0<10^{-6}$，满足。因此最小整数解为 $2$。此答案针对当前题面；若把两个根式改成相同根式，会变为另一道题，不能混用。

第 15 题

题目

已知 $a,b,c$ 为三角形三边长，求 $\dfrac{ab+bc+ca}{(a+b+c)^2}$ 的取值范围。

解答

令周长为 $s$。三角形条件给出 $a,b,c<s/2$，故 $a^2+b^2+c^2<s^2/2$，于是 $ab+bc+ca>s^2/4$。另一方面 $a^2+b^2+c^2\ge s^2/3$，故 $ab+bc+ca\le s^2/3$，等号在等边三角形成立。

取 $(a,b,c)=(1,1,t)$，$0<t\le1$，比值从趋近 $1/4$ 连续严格增加到 $1/3$，故取值范围恰为 $(1/4,1/3]$。

第 16 题

题目

设 $\dfrac1{2021}$ 有 $m$ 种方式分为三个正整数的倒数之和，有 $n$ 种方式分为三个正奇数的倒数之和，则（　）。

• A. $m=n=1$；
• B. $m\le6,n\ge1$；
• C. $m=3,n=1$；
• D. 以上均不正确。

解答

记 $N=2021=43\cdot47$。对 $d\mid4N^2$ 且 $1\le d\le2N$，有

$$\frac1N=\frac1{2N}+\frac1{2N+d}+\frac1{2N(2N+d)/d}.$$

取 $d=1,2,43,47,86,94,2021$，得到七种不同的无序分解：后两分母已按大小排列，其中较小者随 $d$ 严格增加。因此 $m\ge7$，排除 A、B、C，选 D。此外 $1/N=1/(3N)+1/(3N)+1/(3N)$ 是全奇数分母分解，故 $n\ge1$。

第 17 题

题目

已知 $\alpha,\beta\in(0,\dfrac\pi2)$，$\alpha+\beta+\gamma=\pi$，且 $\sin\alpha=\alpha\sin\beta$，求 $\beta$ 与 $\gamma$ 的大小关系。

解答

由 $2\sin(\alpha/2)<\alpha$，有

$$\sin\beta=\frac{\sin\alpha}{\alpha}<\cos\frac\alpha2=\sin\frac{\pi-\alpha}{2}.$$

两角都在 $(0,\pi/2)$，正弦严格递增，所以 $\beta<(\pi-\alpha)/2$，即 $\beta<\pi-\alpha-\beta=\gamma$。

第 18 题

题目

方程 $\sqrt x+\sqrt y=2+\sqrt{x+y}$ 的整数解有多少组？

解答

令 $s=x+y$。平方得到 $\sqrt{xy}=2+2\sqrt s$，再平方说明 $8\sqrt s=xy-4s-4$ 为整数，故 $\sqrt s=k$ 是非负整数。于是 $\sqrt x+\sqrt y=k+2$ 为整数；由 $\sqrt x=((k+2)^2+x-y)/(2(k+2))$ 可知 $\sqrt x$ 为有理数，因 $x$ 为整数它必为整数，$\sqrt y$ 同理。

令 $u=\sqrt x,v=\sqrt y$，则 $u+v=k+2,u^2+v^2=k^2$，推出 $(u-2)(v-2)=2$。非负整数因子检查后，仅 $(u,v)=(3,4),(4,3)$ 满足原式；负因子给出的 $(1,0),(0,1)$ 不满足 $k=u+v-2\ge0$。因此 $(x,y)=(9,16),(16,9)$，共两组。

第 19 题

题目

实数 $x,y$ 满足 $(4x^3-3x)^2+(4y^3-3y)^2=1$，求 $x+y$ 的最大值。

解答

记 $T(t)=4t^3-3t$。条件蕴含 $|T(x)|,|T(y)|\le1$，所以 $x,y\in[-1,1]$。若其中一个非正，则 $x+y\le1$，不可能超过待取的值。因此只需考虑 $x,y>0$。

$T$ 在非负半轴为凸函数，故

$$2T\left(\frac{x+y}{2}\right)\le T(x)+T(y)\le\sqrt{2(T(x)^2+T(y)^2)}=\sqrt2.$$

若均值不超过 $\sqrt3/2$，和已经小于 $2\cos(\pi/12)$；否则利用 $T$ 在 $[\sqrt3/2,1]$ 严格递增及 $T(\cos(\pi/12))=\cos(\pi/4)$，同样得 $x+y\le2\cos(\pi/12)$。

取 $x=y=\cos(\pi/12)$ 达到等号，最大值为 $(\sqrt6+\sqrt2)/2$。

第 20 题

题目

集合 $\{1,2,\ldots,2021\}$ 的非空子集中，元素和为 $3$ 的倍数的集合有多少个？

解答

令 $\omega$ 为三次单位根且 $\omega\ne1$。用单位根筛选，所有（含空集）元素和被 $3$ 整除的子集数为

$$\frac13\left(2^{2021}+\prod_{j=1}^{2021}(1+\omega^j)+\prod_{j=1}^{2021}(1+\omega^{2j})\right).$$

三个余数类的元素个数分别为 $673,674,674$，且 $(1+\omega)(1+\omega^2)=1$，所以后两个乘积均为 $2^{673}$。扣去空集，所求为 $(2^{2021}+2^{674})/3-1$。