2021年北京大学强基计划数学试题 · 参考解答

已视觉核对校内《2021北大强基计划数学真题.pdf》25 页题目及参考解析，并独立复算。第 6 题保留正式题面闭区间 $[0,1]$，必须计入不动点 $1$；第 7 题按正式题面“总共 n 个数字”计数，不混用来源解析中不同的下标约定。第 5、14、16 题已明确歧义条件。

答案速览

1. $\pi/4$；2. 无穷多；3. $2$；4. $5$；5. $20101$；6. $2^{2021}$；7. $82$；8. $3$；9. $\sqrt{31}$；10. $48619$；11. $1$；12. $0$；13. $2$；14. $67/105$；15. $3449$；16. $1$ 或 $4$；17. $5$；18. $24$；19. $85$；20. $417+240\sqrt3$。

逐题解析

第 1 题

题目

已知 $O$ 为 $\triangle ABC$ 的外心，且 $O,B,C$ 不共线。直线 $AB,AC$ 与 $\triangle OBC$ 的外接圆分别再次交于 $D\ne B,E\ne C$。若 $DE=OA$，求 $\angle OBC$。

解答

取 $O=(0,0),B=(h,k),C=(h,-k),A=(u,v)$，令外接圆半径为 $R$。则 $h^2+k^2=u^2+v^2=R^2$，且 $hk\ne0$。圆 $OBC$ 的方程为 $x^2+y^2-(R^2/h)x=0$，故点 $A$ 的幂为 $K=R^2(1-u/h)$。

由割线定理与相似三角形（或以 A 为中心的反演距离公式），

$$DE=\frac{|K|\,BC}{AB\cdot AC}.$$

直接展开得 $AB^2AC^2=4R^2(u-h)^2$；又 $A$ 不等于 $B,C$，故 $u\ne h$。代入 $BC=2|k|$，得到 $DE=R|k/h|$。由 $DE=R$ 得 $|h|=|k|$，而 $\cos\angle OBC=|k|/R=1/\sqrt2$，故所求为 $\pi/4$。

第 2 题

题目

求方程 $y^3+f^4=d^5$ 的正整数解 $(y,f,d)$ 的组数。

解答

对每个整数 $k\ge0$，取

$$y=2^{20k+8},\qquad f=2^{15k+6},\qquad d=2^{12k+5}.$$

则 $y^3=f^4=2^{60k+24}$，两者之和为 $2^{60k+25}=d^5$，因此有无穷多组正整数解。

第 3 题

题目

若实数 $a,b,c,d$ 满足 $ab+bc+cd+da=1$，求 $a^2+2b^2+3c^2+4d^2$ 的最小值。

解答

令 $s=a+c,t=b+d$，则 $st=1$。加权柯西不等式给出

$$a^2+3c^2\ge\frac34s^2,\qquad 2b^2+4d^2\ge\frac43t^2.$$

两项相加至少为 $2|st|=2$。取 $a:b:c:d=3:2:1:1$，并令 $c=d=1/\sqrt{12}$，满足约束且取等号，故最小值为 $2$。

第 4 题

题目

已知 $Y=\displaystyle\sum_{i=0}^{2021}\left\lfloor\frac{2^i}{7}\right\rfloor$，求 $Y$ 的个位数字。

解答

$2^i$ 除以 $7$ 的余数以 $1,2,4$ 为周期。共有 $2022=3\cdot674$ 项，所以

$$Y=\frac{2^{2022}-1}{7}-674=\sum_{j=0}^{673}8^j-674.$$

模 $10$ 时，$8^j$ 从 $j=1$ 起循环为 $8,4,2,6$。故 $Y\equiv1+168(8+4+2+6)+8-674\equiv5\pmod{10}$。

第 5 题

题目

平面上有 $100$ 条二次曲线（允许退化为两条直线），这些曲线最多把平面分成多少个连通区域？

解答

允许退化时，第 $k$ 条曲线至多增加 $4(k-1)+3=4k-1$ 个区域：若退化为两直线，可以分别新增至多 $2(k-1)+1$ 与 $2(k-1)+2$ 个区域；非退化圆锥曲线与此前曲线至多有 $4(k-1)$ 个交点，最多两条非闭分支，新增数不超过 $4(k-1)+2$，也不超上述上界。公共分支、重合或切点只会减少新增数。

总数至多 $1+\sum_{k=1}^{100}(4k-1)=20101$。取一般位置的 $200$ 条直线，每两条不平行、无三线共点，再两两组合成 $100$ 条退化二次曲线，达到此上界。

第 6 题

题目

已知 $x_0\in[0,1]$，数列满足：若 $x_{n-1}<\frac12$，则 $x_n=2x_{n-1}$；若 $x_{n-1}\ge\frac12$，则 $x_n=2x_{n-1}-1$。若 $x_0=x_{2021}$，求可能的 $x_0$ 个数。

解答

对 $0\le x_0<1$，递推就是倍增取小数部分，故 $x_{2021}=\{2^{2021}x_0\}$。不动条件等价于 $(2^{2021}-1)x_0$ 为整数，给出

$$x_0=\frac{j}{2^{2021}-1},\qquad j=0,1,\ldots,2^{2021}-2,$$

共 $2^{2021}-1$ 个。另外题面允许 $x_0=1$，此时每一步均为 $2\cdot1-1=1$，也是解。所以总数为 $2^{2021}$。只写 $2^{2021}-1$ 会漏掉右端点。

第 7 题

题目

设 $y_n=\underbrace{122\cdots21}_{n\text{ 个数字}}$，若 $10^9-1\mid y_n$，求 $n$ 的最小值。

解答

总位数为 $n\ge2$ 时，$y_n=11(10^{n-1}-1)/9$。令 $M=10^9-1$，由于 $\gcd(11,9M)=1$，$M\mid y_n$ 等价于 $9M\mid10^{n-1}-1$。

首先 $M\mid10^{n-1}-1$ 当且仅当 $9\mid n-1$：用恒等式 $\gcd(10^a-1,10^b-1)=10^{\gcd(a,b)}-1$ 即得。写 $n-1=9r$，商为 $1+10^9+\cdots+10^{9(r-1)}\equiv r\pmod9$，所以还须 $9\mid r$。最小为 $r=9,n=82$。

位数核验：$11$ 乘一个 $81$ 位的全 $1$ 数，得到 $82$ 位的 $122\cdots21$，其中恰有 $80$ 个数字 $2$。这也解释了某些版本以中间 $2$ 的个数为下标时答案写成 $80$。

第 8 题

题目

已知 $a,b,c$ 是三个不全相等的实数，且 $a=ab+c$、$b=bc+a$、$c=ca+b$，求 $a+b+c$。

解答

若任一数为零，原式迫使三者全零，违背不全相等，所以 $abc\ne0$。三式相加得 $ab+bc+ca=0$；将 $a(1-b)=c,b(1-c)=a,c(1-a)=b$ 相乘，得 $(1-a)(1-b)(1-c)=1$，即 $abc=-(a+b+c)$。

将原三式分别乘以 $c,a,b$ 再相加，得 $ab+bc+ca=3abc+a^2+b^2+c^2$。置 $s=a+b+c$，上述等式化为 $0=-3s+s^2$。因 $s=-abc\ne0$，所以 $s=3$。

第 9 题

题目

在 $\triangle ABC$ 中，$AD$ 为 $\angle A$ 的平分线。过 $A$ 作 $AD$ 的垂线 $AH$，过 $C$ 作 $CE\parallel AD$ 交 $AH$ 于 $E$。若 $BE$ 与 $AD$ 交于 $F$，且 $AB=6,AC=8,BC=7$，求 $CF$。

解答

以 $A$ 为原点、角平分线为横轴，记 $\theta=A/2$，$c=\cos\theta,s=\sin\theta$。取 $B=(6c,6s),C=(8c,-8s)$，则 $E=(0,-8s)$，$BE$ 与横轴交于 $F=(24c/7,0)$。

余弦定理给出 $\cos A=(6^2+8^2-7^2)/(2\cdot6\cdot8)=17/32$，所以 $c^2=49/64,s^2=15/64$。于是 $CF^2=(32c/7)^2+(8s)^2=16+15=31$，即 $CF=\sqrt{31}$。

第 10 题

题目

若一个十位数的各位数字之和为 $81$，称其为“筑梦数”。求筑梦数的个数。

解答

将各位数字 $d_i$ 换成 $e_i=9-d_i$，得到十个非负整数之和为 $9$。总解数为 $\binom{18}{9}=48620$，但最高位不能为零，因此须剔除唯一的 $e_1=9,e_2=\cdots=e_{10}=0$。故有 $48619$ 个。

第 11 题

题目

设 $a_n$ 是与 $\sqrt{n/2}$ 的差的绝对值最小的整数，$b_n$ 是与 $\sqrt{2n}$ 的差的绝对值最小的整数。记 $\{1/a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，$\{1/b_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$，求 $2T_{100}-S_{100}$。

解答

最近整数不会出现二义性，因为两个根式均不可能为半整数。$a_n=k$ 等价于 $2k^2-2k+1\le n\le2k^2+2k$，每个完整组有 $4k$ 项；$b_n=k$ 等价于 $(k^2-k)/2+1\le n\le(k^2+k)/2$，每组有 $k$ 项。

故 $S_{100}=\sum_{k=1}^6(4k)/k+16/7=24+16/7$，$T_{100}=\sum_{k=1}^{13}k/k+9/14=13+9/14$，从而 $2T_{100}-S_{100}=1$。

第 12 题

题目

求满足 $n\le2021$ 且 $n^5-5n^3+4n+7$ 为完全平方数的正整数 $n$ 的个数。

解答

$n^5-5n^3+4n+7=n(n^2-1)(n^2-4)+7$。若 $n$ 为奇数，$n^2-1$ 被 $8$ 整除；若 $n$ 为偶数，$n^2-4$ 被 $4$ 整除。因此该式恒模 $4$ 余 $3$，不可能为完全平方，个数为零。

第 13 题

题目

求方程 $x^2-2xy+3y^2-4x+5=0$ 的整数解组数。

解答

配方得到 $(x-y-2)^2+2(y-1)^2=1$。整数条件迫使 $y=1$，进而 $x-y-2=\pm1$，故 $(x,y)=(2,1),(4,1)$，共两组。

第 14 题

题目

现有一一对应的 $7$ 把钥匙和 $7$ 把锁，将钥匙与锁等概率随机一一配对，各试开一次。求指定的三把钥匙 $D_1,D_2,D_3$ 均不能打开所配锁的概率。

解答

在 $7!$ 种等可能一一配对中，指定任一钥匙成功的方案数为 $6!$，指定任两把成功为 $5!$，三把均成功为 $4!$。容斥得所求概率

$$\frac{7!-3\cdot6!+3\cdot5!-4!}{7!}=\frac{67}{105}.$$

第 15 题

题目

正整数 $m,n$ 均不大于 $2021$，且 $\dfrac m{n+1}<\sqrt2<\dfrac{m+1}{n}$，求数组 $(m,n)$ 的个数。

解答

不等式等价于 $m\in I_n=(\sqrt2n-1,\sqrt2(n+1))$。相邻两个区间重叠部分长度为 $1$ 且端点非整数，恰含一个整数；相隔至少两个下标的区间不相交。

当 $n\ge1430$，下端已经大于 $2021$；前 $1429$ 个区间的并集覆盖所有 $m=1,\ldots,2021$。其中 $1428$ 个相邻重叠区间各多计一次，故总数 $2021+1428=3449$。

第 16 题

题目

有三个给定的、两两不同且均过原点的平面。再过原点作平面 $\alpha$，使其与前三个平面的夹角（取 $[0,\pi/2]$ 中的角）均相等，求这样的 $\alpha$ 的个数。

解答

取三个单位法向量 $u_1,u_2,u_3$。所求平面的法向量 $v\ne0$ 须满足 $|v\cdot u_1|=|v\cdot u_2|=|v\cdot u_3|$。

若三个法向量线性无关，则对每个符号组合 $(1,\varepsilon_2,\varepsilon_3)$，线性方程 $v\cdot u_i=(1,\varepsilon_2,\varepsilon_3)_i$ 有唯一解。四种符号给出四条不同法向量直线，故有四个平面。

若法向量张成二维空间 $W$，将 $v$ 投影到 $W$ 得 $w$。若 $w\ne0$，二维单位圆上满足 $|w\cdot u|$ 为某固定值的方向至多有两条无向直线，不能同时包含三个不同的给定平面法向方向。因此 $w=0$，即 $v\perp W$，恰有一个平面。互异条件排除了秩为一的情形。

第 17 题

题目

若 $a,b,c$ 为非负实数，且 $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=25$，求 $a+b+c$ 的最小值。

解答

非负性给出 $(a+b+c)^2\ge a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=25$，故和至少为 $5$。在 $(a,b,c)=(5,0,0)$ 及其排列处达到，最小值为 $5$。

第 18 题

题目

数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=2,a_{n+1}=2^{a_n}$；数列 $\{b_n\}$ 满足 $b_1=5,b_{n+1}=5^{b_n}$。若正整数 $m$ 满足 $b_m>a_{25}$，求 $m$ 的最小值。

解答

先归纳得 $b_n>a_{n+1}$：初始 $5>4$，且 $5^{b_n}>2^{a_{n+1}}$ 保持不等式。再归纳得 $a_{n+2}>3b_n$：初始 $16>15$；若成立，则

$$a_{n+3}=2^{a_{n+2}}>8^{b_n}=(8/5)^{b_n}b_{n+1}>3b_{n+1},$$

因为 $b_n\ge5$，$(8/5)^5>3$。所以 $b_{23}<a_{25}<b_{24}$。数列 $b_n$ 严格递增，所求最小值为 $24$。

第 19 题

题目

若 $x_1,x_2,\ldots,x_7$ 为非负整数，求方程 $x_1+x_2+\cdots+x_7=x_1x_2\cdots x_7$ 的解组数。

解答

若有一项为零，则必须全零，给出一组。其余均为正数，不妨排序 $x_1\le\cdots\le x_7$。由积等于和且和不超过 $7x_7$，得 $x_1\cdots x_6\le7$，故前四项必为 $1$，且 $x_5\le2$。

若 $x_5=1$，则 $(x_6-1)(x_7-1)=6$，得到 $(x_6,x_7)=(2,7),(3,4)$。若 $x_5=2$，由 $2x_6\le7$ 得 $x_6=2$ 或 $3$，代入分别要求 $3x_7=8$ 或 $5x_7=9$，均无整数解。

每个非零类型有 $7!/5!=42$ 种有序排列，加上全零，合计 $85$。

第 20 题

题目

已知 $a,b,c\in\mathbb R^+$，且 $(a+b-c)(1/a+1/b-1/c)=3$。求 $(a^4+b^4+c^4)(1/a^4+1/b^4+1/c^4)$ 的最小值。

解答

原条件整理为 $c/(ab)+1/c=(a^2+b^2)/(ab(a+b))$。齐次化令 $ab=1$，则 $c+1/c=(a^2+b^2)/(a+b)\ge2$，所以令 $s=a+b>0$，有 $s^2-2\ge2s$，即 $s\ge1+\sqrt3$。

令 $A=a^4+b^4=(s^2-2)^2-2\ge14+8\sqrt3$。因 $ab=1$，所求为

$$(A+c^4)(A+c^{-4})=A^2+A(c^4+c^{-4})+1\ge(A+1)^2\ge417+240\sqrt3.$$

取 $c=1,ab=1,a+b=1+\sqrt3$，两个正数 $a,b$ 存在且满足原条件，所有等号同时成立。