2021年北京大学寒假学堂数学试卷 · 参考解答

本卷按现存正式题面独立推导，本地未发现该场独立扫描来源。第 9 题补明 O、F 含义并排除无法唯一确定交点的顶点情形；第 15 题按“范围包括”的原问法作答，不把它偷换成所有非凸多边形的完整分类。

答案速览

1. $72$；2. $3$；3. $1$；4. $32$；5. $4$；6. $2022$；7. $(0,8100]$；8. $-2$；9. $3/25$；10. $\sqrt{6/7}$；11. $420\cdot8!\cdot(4!)^2$；12. $2021/2020$；13. B 型多；14. $0$；15. A；16. $9\sqrt3$；17. $(1+\sqrt2+\sqrt3)^2$；18. $1$；19. 一周期的正弦（余弦）曲线；20. $\{6k+r:k\in\mathbb Z,r=0,1,2,3\}$。

逐题解析

第 1 题

题目

$\dfrac{100!}{12^{50}}$ 化简为最简分数 $\dfrac mn$，求 $n$。

解答

勒让德公式给出 $v_2(100!)=50+25+12+6+3+1=97$，$v_3(100!)=33+11+3+1=48$。分母 $12^{50}=2^{100}3^{50}$，约分后只剩 $2^3 3^2=72$。

第 2 题

题目

在 $\triangle ABC$ 中，$\angle C=\dfrac\pi2$，$AC\ne BC$。直线 $AB$ 上一点 $D$ 满足 $CD^2=AD\cdot BD$，这样的点 $D$ 有多少个？

解答

令 $C=(0,0),A=(a,0),B=(0,b)$，$a,b>0,a\ne b$，并设 $D=(a(1-t),bt)$。记 $L^2=a^2+b^2$，题设等价于

$$a^2(1-t)^2+b^2t^2=L^2|t(t-1)|.$$

当 $0\le t\le1$，整理为 $2L^2t^2-(3a^2+b^2)t+a^2=0$，两根为 $1/2,a^2/L^2$，都在区间内且不相同。

当 $t<0$ 或 $t>1$，化为 $a^2+(b^2-a^2)t=0$，唯一根 $t=a^2/(a^2-b^2)$，恰在该外部范围。故直线上共有三个点，不能仅数线段内的两个。

第 3 题

题目

已知函数 $f(x)=\max\left\{1-x,\dfrac13x+1,x^2\right\}$，求 $f(x)$ 的最小值。

解答

若 $x\le0$，则 $1-x\ge1$；若 $x\ge0$，则 $x/3+1\ge1$。因此 $f(x)\ge1$ 恒成立，且 $x=0$ 时三个候选值为 $1,1,0$，取到最小值 $1$。

第 4 题

题目

正整数 $m,n$ 满足 $m^3+n^3+99mn=33^3$，求有序数对 $(m,n)$ 的组数。

解答

用立方和因式分解，原式等价于

$$(m+n-33)(m^2+n^2+33^2-mn+33m+33n)=0.$$

第二因子严格为正，所以 $m+n=33$。正整数有序对共 $32$ 组。

第 5 题

题目

若存在正整数 $n$，使得 $3^m\mid(1!+2!+\cdots+n!)$，求正整数 $m$ 的最大值。

解答

前八个阶乘部分和为

$$1,3,9,33,153,873,5913,46233.$$

其中 $5913=3^4\cdot73$，其余各项的 $3$ 进赋值分别为 $0,1,2,1,2,2,2$，不超过 $2$。从 $9!$ 起每个阶乘都被 $27$ 整除，故此后部分和模 $27$ 恒等于 $46233\equiv9$，赋值恒为 $2$。所以最大指数为 $4$，在 $n=7$ 时达到。

第 6 题

题目

方程 $|\sin \pi x|=\dfrac{2x}{2021}$ 有多少个解？

解答

所有解位于 $[0,2021/2]=[0,1010.5]$。对每个完整的单位区间 $[k,k+1]$，$0\le k\le1009$，函数 $|\sin\pi x|-2x/2021$ 在内部严格凹，中点为正，两端为负（第一段左端为零）。因此每段恰有两个解，第一段包含零，其余边界无重复，共 $2020$ 个。

最后半段 $[1010,1010.5]$ 左端为负，右端为零，而右端导数为 $-2/2021<0$，所以右端左邻域函数为正。严格凹性保证内部恰再有一个根，加上右端根共两个。因此总数为 $2022$。

第 7 题

题目

边长为 $100$ 的正方形内作两条平行于一边的直线，再作两条平行于相邻边的直线，将正方形分成 $9$ 个矩形。若中间矩形面积为 $100$，求四个角上的矩形面积之和的取值范围。

解答

记中央矩形宽、高为 $u,v$，则 $uv=100,0<u,v<100$。四角面积和为 $(100-u)(100-v)=10100-100(u+v)$。

由 $u\in(1,100),v=100/u$ 得 $u+v\in[20,101)$：最小值在 $u=v=10$，上确界在区间两端趋近。故面积范围为 $(0,8100]$。

第 8 题

题目

实数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_{n+1}=a_n^2-2$。若存在正实数 $m$ 使得 $|a_n|\le m$ 恒成立，求 $a_{2021}$ 的最小值。

解答

若某项大于 $2$，之后 $a_{n+1}-a_n=(a_n-2)(a_n+1)>0$，若有有限极限只能为 $2$ 或 $-1$，与递增且大于 $2$ 矛盾，所以无界；若某项小于 $-2$，下一项就大于 $2$。故有界数列的所有项均在 $[-2,2]$ 中。

取 $a_1=2\cos(\pi/2^{2020})$，则 $a_n=2\cos(2^{n-1}\pi/2^{2020})$，全程有界且 $a_{2021}=-2$。因此最小值为 $-2$。

第 9 题

题目

设 $O$ 为原点，$F$ 为抛物线 $y^2=2x$ 的焦点。过抛物线上异于顶点的一点 $P$ 作切线 $l$，过 $O$ 作 $l$ 的垂线交直线 $PF$ 于 $Q$。若 $|OQ|=\dfrac35$，求 $\triangle OFQ$ 的面积。

解答

设 $P=(t^2/2,t)$，$t\ne0$，焦点 $F=(1/2,0)$。切线法向量为 $(1,-t)$，所以 $Q=\lambda(1,-t)$。令其落在直线 $PF$ 上，解得 $\lambda=1/(1+t^2)$，从而 $OQ=1/\sqrt{1+t^2}=3/5$，故 $|t|=4/3$。

于是 $|y_Q|=|t|/(1+t^2)=12/25$，面积为 $\frac12\cdot OF\cdot|y_Q|=\frac12\cdot\frac12\cdot\frac{12}{25}=3/25$。

第 10 题

题目

$H$ 是 $\triangle ABC$ 的垂心，且 $2\overrightarrow{HA}+3\overrightarrow{HB}+4\overrightarrow{HC}=\vec0$。求 $\triangle ABC$ 最大内角的正弦值。

解答

以 $H$ 为原点，令顶点向量为 $u,v,w$。垂心条件给出 $u\cdot v=v\cdot w=w\cdot u=h$，而 $2u+3v+4w=0$ 分别点乘三向量得到 $|u|^2=-7h/2,|v|^2=-2h,|w|^2=-5h/4$。非退化三角形有 $h<0$。

因此三边平方成 $BC^2:CA^2:AB^2=21:27:30$，最大角为 $C$，且

$$\cos C=\frac{21+27-30}{2\sqrt{21\cdot27}}=\frac1{\sqrt7}.$$

所以其正弦为 $\sqrt{6/7}$。

第 11 题

题目

甲校 $8$ 人、乙校 $4$ 人、丙校 $4$ 人，共 $16$ 人排队，同校不相邻的排法有多少种？

解答

先只区分学校。把八个乙、丙位置排成一个由四 B、四 C 构成的序列，有 $\binom84=70$ 种。八个 A 要互不相邻，必须占据这八个位置所形成的九个空隙中的八个，恰漏一个空隙。

若漏首尾空隙之一，有 $2\cdot70=140$ 种，所有 B、C 均被 A 隔开。若漏七个内部空隙之一，空隙两侧必须异校；每个固定空隙有 $2\binom63=40$ 种乙丙排列，共 $280$ 种。因此学校序列共 $420$ 种。

再给每校学生分别标号，答案为 $420\cdot8!\cdot4!\cdot4!$。

第 12 题

题目

已知 $a_0=1+2021^{-1}$，$a_n=(1+2021^{-2^n})a_{n-1}$，求 $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}a_n$。

解答

令 $r=1/2021$。利用反复平方差，

$$a_n=\prod_{j=0}^{n}(1+r^{2^j})=\frac{1-r^{2^{n+1}}}{1-r}.$$

因 $0<r<1$，极限为 $1/(1-r)=2021/2020$。

第 13 题

题目

若一个 $2020$ 位数可以写成两个 $1010$ 位数的积，则称为 A 型，否则称为 B 型。A 型数多还是 B 型数多？

解答

共有 $N=9\cdot10^{1009}$ 个 $1010$ 位正整数，所以不计乘积是否足够位数，两个数的无序配对（允许相同）至多有 $N(N+1)/2$ 种。故 A 型数不超过这个数。

所有 $2020$ 位数共 $9\cdot10^{2019}$ 个，且

$$\frac{N(N+1)}2<\frac{(9\cdot10^{1009})(10^{1010})}2=\frac{9\cdot10^{2019}}2.$$

因此 A 型不到一半，B 型严格更多。

第 14 题

题目

$f(x)$ 是常数项不为 $0$ 的整系数多项式，$a_1=0$，$a_{n+1}=f(a_n)$。求 $a_2,a_4,\ldots,a_{2020}$ 中有多少项为 $0$。

解答

若 $f(f(0))=0$，则 $0,f(0),0,f(0),\ldots$ 交替，所有偶数下标项均为非零 $f(0)$，所以这种情况下所列偶数项中零的个数为 $0$。

事实上无论 $f$ 如何，所列偶数项都不会为零。证明如下：整数系数多项式满足 $u-v\mid f(u)-f(v)$。若轨道首次回到零，设最小周期为 $r$，沿此周期各相邻差的绝对值依次整除下一项，绕一周后必全相等。于是周期点位于一条等距整数链上，每步向左或向右走相同距离；有限无重复闭合轨道在直线上只能长为 $2$（若某点为最大值，其前后邻点必相同），而 $r=1$ 因 $f(0)\ne0$ 被排除。

因此一旦有零再次出现，只能在奇数下标 $a_1,a_3,a_5,\ldots$ 出现；若从不回到零，当然也没有偶数项为零。综上答案恒为 $0$。

第 15 题

题目

若存在 $n$ 边形可分成有限个平行四边形，则 $n$ 的取值范围包括（　）。

• A. 大于等于 $4$ 的偶数；
• B. 大于等于 $5$ 的奇数；
• C. 大于等于 $4$ 的整数；
• D. 以上答案均不正确。

解答

选 A。每个偶数 $n=2r\ge4$ 都可实现：取 $r$ 条互不平行的线段的闵可夫斯基和，得到一个凸 $2r$ 边形；它可以分成平行四边形。其构造可归纳：加入一条新方向线段时，保留旧多边形，并沿朝该方向的边界链逐边扫出一个平行四边形，恰铺满新增条带，内部互不重叠。

为排除 B、C，只需证明五边形不可能。沿每个小平行四边形逆时针看边，同一方向的有向边长总和为零；汇总所有小块后，内部边抵消，外边界上每个无向方向的正、反向总长度必须相等。因此每个边方向至少出现两次。五边形至多有两个边方向；但只有两个边方向且相邻边不共线的简单多边形，两方向沿边界必交替，边数应为偶数，矛盾。

所以“所有偶数至少 4 均包括在可行范围内”成立，而“包括所有奇数至少 5”或“包括所有整数至少 4”均因五边形失败而不成立。本题问的是包括关系，并不需要额外断言所有非凸奇数边形一概不可能。

第 16 题

题目

圆内接四边形 $ABCD$ 中，$\angle ABD=\angle CBD=30^\circ$，$BD=6$，求四边形 $ABCD$ 的面积。

解答

由相等圆周角得 $AD=CD$，且 $\angle ABC=60^\circ$。设外接圆半径为 $R$，则 $AD=CD=R$，$AC=2R\sin60^\circ=\sqrt3R$。

托勒密定理给出 $AB\cdot CD+BC\cdot AD=AC\cdot BD$，所以 $AB+BC=6\sqrt3$。两三角形 $ABD,CBD$ 面积之和为 $\frac12BD(AB+BC)\sin30^\circ=9\sqrt3$。

第 17 题

题目

在锐角 $\triangle ABC$ 中，求 $\tan A\tan B+2\tan B\tan C+3\tan C\tan A$ 的最小值。

解答

令 $u=\tan A\tan B,v=\tan B\tan C,w=\tan C\tan A$，则由正切和公式有 $1/u+1/v+1/w=1$。柯西不等式给出

$$u+2v+3w\ge(1+\sqrt2+\sqrt3)^2.$$

等号要求 $u=S,v=S/\sqrt2,w=S/\sqrt3$，其中 $S=1+\sqrt2+\sqrt3$。这些正数满足倒数和为 $1$，令三个正切分别为 $\sqrt{uw/v},\sqrt{uv/w},\sqrt{vw/u}$，其反正切之和为 $\pi$（正切和公式且三角之和在 $(0,3\pi/2)$），确实给出锐角三角形。因此该下界能取到。

第 18 题

题目

复数 $z$ 满足 $z^{111}=1$，且 $z+z^{10}-z^{11}=z^{-1}+z^{-10}-z^{-11}$。满足条件的 $z$ 有多少个？

解答

写 $z=e^{i\theta}$，$\theta=2\pi k/111$，$0\le k\le110$。第二条件等价于虚部为零，即

$$\sin\theta+\sin10\theta-\sin11\theta =4\sin(\theta/2)\sin5\theta\sin(11\theta/2)=0.$$

分别要求 $111\mid k$、$111\mid10k$ 或 $111\mid11k$。由于 $111$ 与 $10,11$ 均互素，只能 $k=0$，故仅 $z=1$ 一个解。

第 19 题

题目

一平面截一圆柱，截面为椭圆且与底面仅有一个交点，求沿柱面展开的交线形状。

解答

设圆柱半径为 $R$，底面为 $z=0$，适当旋转横坐标后截平面为 $z=h+tx$。它与底面圆盘只有一个交点意味着 $h=|t|R$；非退化椭圆情形有 $t\ne0$。

柱面可参数化为 $x=R\cos\theta,y=R\sin\theta$。沿母线剪开展平后，横坐标为弧长 $s=R\theta$，纵坐标为高度，因此交线成为

$$z=|t|R+tR\cos(s/R),\qquad0\le s\le2\pi R.$$

即一周期的余弦曲线（平移横坐标后也可写成正弦曲线），最低点与底边相切。

第 20 题

题目

$f(x)=\lfloor x\rfloor+\lfloor2x\rfloor+\lfloor3x\rfloor$，求 $f(x)$ 的值域。

解答

令 $x=k+t$，$k\in\mathbb Z,0\le t<1$，则 $f(x)=6k+\lfloor2t\rfloor+\lfloor3t\rfloor$。将单位区间按 $0,1/3,1/2,2/3,1$ 分开，后两项的和依次为 $0,1,2,3$，每个都取到。

故值域为 $\{6k+r:k\in\mathbb Z,r\in\{0,1,2,3\}\}$。