2020年北京大学强基计划数学试题 · 参考解答

逐题对照校内历史汇编原扫描页。第 5 题恢复“过点 C 作圆的切线”，删去第 16 题跨页重复选项。第 10 题按现有来源中点在正方体上的通常含义处理，包含上表面。

答案速览

D（ $\sqrt2-1/2$ ）；2. C；3. A；4. A；5. C；6. C；7. B；8. A；9. B；10. D（ $\sqrt2$ ）；11. A；12. B；13. C；14. D（ $1/4042$ ）；15. D（ $(2+2\sqrt{10})/\sqrt3$ ）；16. D（无穷多个）；17. A；18. B；19. B；20. D。

逐题解析

第 1 题

题目

已知正数 $x,y,z,w$ 满足 $x\geqslant y\geqslant w$ ， $x+y\leqslant2(w+z)$ ，则 $\dfrac wx+\dfrac zy$ 的最小值为（　）

A. $\dfrac34$
B. $\dfrac78$
C. $1$
D. 其他

解答

齐次化令 $y=1,x=t\ge1$ ， $0<w\le1$ ，则 $z\ge(t+1)/2-w$ 。所以

\frac wx+z\ge\frac{t+1}{2}+w\left(\frac1t-1\right)\ge\frac{t-1}{2}+\frac1t\ge\sqrt2-\frac12.

最后一步用均值不等式。取 $t=\sqrt2,w=1,z=(\sqrt2-1)/2$ 等号成立，选 D。

第 2 题

题目

从正整数 $(2019\times2020)^{2021}$ 的约数中选出若干个，使其中任意两个数的乘积都不是完全平方数，则至多能选出（　）个。

A. $16$
B. $31$
C. $32$
D. 其他

解答

$2019\cdot2020=2^2\cdot3\cdot5\cdot101\cdot673$ 。每个约数对应五个素因子的指数奇偶向量；两数乘积为平方当且仅当这两个向量相同。因此每类至多选一个，共 $2^5=32$ 类，且每类都可选一个无平方因子的约数达到上界，选 C。

第 3 题

题目

数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$ ， $a_2=4$ ，且对 $n\geqslant2$ 有 $a_n^2-a_{n-1}a_{n+1}=2^{n-1}$ ，则 $a_{2020}$ 的个位数字为（　）

A. $8$
B. $4$
C. $2$
D. 其他

解答

设 $u_n=((2+\sqrt2)^n-(2-\sqrt2)^n)/(2\sqrt2)$ ，直接计算有 $u_1=1,u_2=4$ ， $u_n^2-u_{n-1}u_{n+1}=2^{n-1}$ 。且所有 $u_n>0$ ，原递推每一步均唯一确定，故 $a_n=u_n$ ，从而 $a_{n+2}=4a_{n+1}-2a_n$ 。

用该整数递推模 $10$ 计算， $a_{2020}\equiv8\pmod{10}$ ，选 A。可复算方法是从 $(1,4)$ 出发，连续将状态 $(r,s)$ 替换为 $(s,4s-2r\bmod10)$ ，执行 $2018$ 次后第二项为 $8$ ；整个过程仅涉及个位数，不需计算巨大项。

第 4 题

题目

已知 $a,b,c,d$ 是方程 $x^4+2x^3+3x^2+4x+5=0$ 的四个根，则

\frac{a-1}{a+2}+\frac{b-1}{b+2}+\frac{c-1}{c+2}+\frac{d-1}{d+2}

的值为（　）

A. $-\dfrac43$
B. $-\dfrac23$
C. $\dfrac23$
D. 其他

解答

设 $P(t)=t^4+2t^3+3t^2+4t+5$ 。由 $P(-2)=9,P'(-2)=-16$ 及对数导数公式，

\sum\frac1{a+2}=-\frac{P'(-2)}{P(-2)}=\frac{16}{9}.

所求为 $4-3\cdot16/9=-4/3$ ，选 A。

第 5 题

题目

等边三角形 $ABC$ 的边长为 $1$ 。过点 $C$ 作以 $AB$ 为直径的圆的切线，交直线 $AB$ 的延长线于点 $D$ ，且 $AD>BD$ ，则 $\triangle BCD$ 的面积为（　）

A. $\dfrac{6\sqrt2-3\sqrt3}{16}$
B. $\dfrac{4\sqrt2-3\sqrt3}{16}$
C. $\dfrac{3\sqrt2-2\sqrt3}{16}$
D. 其他

解答

置 $A=(0,0),B=(1,0),C=(1/2,\sqrt3/2)$ 。圆心为 $O=(1/2,0)$ 、半径为 $1/2$ 。设 $D=(1/2+t,0)$ ， $AD>BD$ 确定 $t>0$ 。由 $O$ 到切线 $CD$ 的距离为 $1/2$ ，

\frac{(\sqrt3/2)t}{\sqrt{t^2+3/4}}=\frac12,

故 $t=\sqrt6/4$ 。于是

[BCD]=\frac12\left(\frac{\sqrt6}{4}-\frac12\right)\frac{\sqrt3}{2}=\frac{3\sqrt2-2\sqrt3}{16},

选 C。

第 6 题

题目

已知 $x,y,z$ 均不等于 $\left(k+\dfrac12\right)\pi$ （ $k\in\mathbb Z$ ），且 $\sin(y+z-x)$ 、 $\sin(x+z-y)$ 、 $\sin(x+y-z)$ 成等差数列，则下列一定成等差数列的是（　）

A. $\sin x,\sin y,\sin z$
B. $\cos x,\cos y,\cos z$
C. $\tan x,\tan y,\tan z$
D. 其他

解答

等差条件经和差化积变为 $\sin y\cos(z-x)=\sin(x+z-y)$ ，移项得

2\sin y\cos x\cos z=\cos y\sin(x+z).

三余弦均非零，约去后得 $2\tan y=\tan x+\tan z$ ，选 C。

第 7 题

题目

方程 $19x+93y=4xy$ 的整数解有（　）组。

A. $4$
B. $8$
C. $16$
D. 其他

解答

原式等价于 $(4x-93)(4y-19)=1767=3\cdot19\cdot31$ 。令首因子为 $u$ ，则要求 $u\equiv3\pmod4$ ；此时另一因子自动模 $4$ 余 $1$ ，可恢复整数 $x,y$ 。

共有 $16$ 个带符号约数；每对 $d,-d$ 中恰一个模 $4$ 余 $3$ ，故有 $8$ 组整数解，选 B。

第 8 题

题目

从圆 $x^2+y^2=4$ 上任一点向椭圆 $C:\dfrac{x^2}{2}+y^2=1$ 引两条切线，连接两个切点所得弦称为切点弦。椭圆 $C$ 内部不与任何切点弦相交的区域面积为（　）

A. $\dfrac\pi2$
B. $\dfrac\pi3$
C. $\dfrac\pi4$
D. 其他

解答

圆上点 $(u,v)$ 的切点弦所在直线为 $ux/2+vy=1$ ，其中 $u^2+v^2=4$ 。对固定 $(x,y)$ ，左式在该圆上取遍 $[-2\sqrt{x^2/4+y^2},2\sqrt{x^2/4+y^2}]$ 。所以点不在任何切点弦上，当且仅当 $x^2+4y^2<1$ ；该小椭圆包含在原椭圆内，面积为 $\pi/2$ ，选 A。

第 9 题

题目

对任意正数 $x,y$ ，不等式 $5x+12\sqrt{xy}\leqslant a(x+y)$ 恒成立，则实数 $a$ 的最小值为（　）

A. $8$
B. $9$
C. $10$
D. 其他

解答

$9(x+y)-(5x+12\sqrt{xy})=(2\sqrt x-3\sqrt y)^2\ge0$ ，且 $x:y=9:4$ 时等号成立。故 $a$ 最小为 $9$ ，选 B。

第 10 题

题目

点 $P$ 在单位正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 的表面上运动，则 $PA_1+PC_1$ 的最小值为（　）

A. $\sqrt{2+\sqrt2}$
B. $\sqrt{2+2\sqrt2}$
C. $2-\dfrac{\sqrt2}{2}$
D. 其他

解答

三角不等式给出 $PA_1+PC_1\ge A_1C_1=\sqrt2$ 。取 $P$ 在上表面对角线 $A_1C_1$ 上即可取到，故最小值 $\sqrt2$ ，选 D。不能擅自增加“只能在某一棱上”的限制。

第 11 题

题目

数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$ ， $a_2=9$ ， $a_{n+2}=4a_{n+1}-3a_n-20$ ，其前 $n$ 项和为 $S_n$ ，则数列 $\{S_n\}$ 的最大值为（　）

A. $28$
B. $35$
C. $47$
D. 其他

解答

令 $d_n=a_n-a_{n-1}$ ，则 $d_2=8,d_{n+1}=3d_n-20$ ，因此 $d_n=10-2\cdot3^{n-2}$ 。前五项为 $1,9,13,5,-39$ ，且 $n\ge4$ 后差值持续为负并减小。因此部分和到 $S_4$ 为止递增，以后递减，最大为 $S_4=28$ ，选 A。

第 12 题

题目

直线 $y=3x+m$ 与椭圆 $\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{16}=1$ 交于 $A,B$ 两点， $O$ 为坐标原点，则 $\triangle OAB$ 面积的最大值为（　）

A. $8$
B. $10$
C. $12$
D. 其他

解答

作线性变换 $x=5u,y=4v$ ，椭圆变为单位圆，面积乘以 $20$ 。单位圆内，以圆心及弦两端为顶点的三角形面积至多 $1/2$ ，当两端半径垂直时取到。固定弦方向并调整截距，仍可取到这种弦。故最大面积为 $20/2=10$ ，选 B。

第 13 题

题目

对于正整数 $n\geqslant3$ ，若存在 $1\leqslant k\leqslant n-1$ ，使得 $\binom n{k-1}$ 、 $\binom nk$ 、 $\binom n{k+1}$ 成等差数列，则称 $n$ 为理想数。不超过 $2020$ 的理想数共有（　）个。

A. $40$
B. $41$
C. $42$
D. 其他

解答

约去 $\binom nk$ 后，等差条件为

\frac{k}{n-k+1}+\frac{n-k}{k+1}=2,

整理得 $(n-2k)^2=n+2$ 。令 $j=|n-2k|$ ，则 $n=j^2-2$ ，而 $n\ge3$ 要求 $j\ge3$ ；反之任意整数 $j\ge3$ 都能取整数 $k=(j^2-2-j)/2$ 满足 $1\le k\le n-1$ 。由 $j^2-2\le2020$ 得 $3\le j\le44$ ，共 $42$ 个，选 C。

第 14 题

题目

在 $\triangle ABC$ 中， $\angle A=150^\circ$ 。点 $D_1,D_2,\ldots,D_{2020}$ 将边 $BC$ 等分为 $2021$ 份。令

\alpha_1=\angle BAD_1,\quad \alpha_2=\angle D_1AD_2,\quad\ldots,\quad \alpha_{2020}=\angle D_{2019}AD_{2020},\quad \alpha_{2021}=\angle D_{2020}AC,

则

\frac{\sin\alpha_1\sin\alpha_3\cdots\sin\alpha_{2021}} {\sin\alpha_2\sin\alpha_4\cdots\sin\alpha_{2020}}

的值为（　）

A. $\dfrac1{1010}$
B. $\dfrac1{2020}$
C. $\dfrac1{2021}$
D. 其他

解答

记 $D_0=B,D_{2021}=C,r_i=AD_i$ ，高为 $h$ ，每段长为 $s=BC/2021$ 。面积公式给出 $\sin\alpha_i=hs/(r_{i-1}r_i)$ 。奇数项乘积除以偶数项乘积，中间各 $r_i$ 全部约去，剩

\frac{hs}{AB\cdot AC}=\frac{\sin150^\circ}{2021}=\frac1{4042},

选 D。

第 15 题

题目

$\sqrt{3+2\sqrt3\cos\theta+\cos^2\theta}+\sqrt{5-2\sqrt3\cos\theta+\cos^2\theta+4\sin^2\theta}$ 的最大值为（　）

A. $\sqrt{2+\sqrt3}$
B. $2\sqrt{2+\sqrt3}$
C. $\sqrt2+2\sqrt3$
D. 其他

解答

令 $t=\cos\theta\in[-1,1]$ 。第一根式为 $\sqrt3+t$ ，第二根式为 $\sqrt{9-2\sqrt3t-3t^2}$ 。再令 $u=t+1/\sqrt3$ ，原式成为

\frac2{\sqrt3}+u+\sqrt{10-3u^2}\le\frac2{\sqrt3}+\sqrt{\frac{40}{3}}=\frac{2+2\sqrt{10}}{\sqrt3}.

不等式由柯西不等式得到，等号在 $u=\sqrt{5/6}$ ，即 $t=\sqrt{5/6}-1/\sqrt3\in[-1,1]$ 时成立。选 D。

第 16 题

题目

方程

\sqrt{x+5-4\sqrt{x+1}}+\sqrt{x+2-2\sqrt{x+1}}=1

的实数根的个数为（　）

A. $1$
B. $2$
C. $3$
D. 其他

解答

令 $t=\sqrt{x+1}\ge0$ ，方程化为 $|t-2|+|t-1|=1$ ，恰在 $1\le t\le2$ 成立，所以解集为 $[0,3]$ ，有无穷多个根，选 D。

第 17 题

题目

凸五边形 $ABCDE$ 的对角线 $CE$ 分别与对角线 $BD$ 和 $AD$ 交于点 $F$ 和 $G$ 。已知 $BF:FD=5:4$ ， $AG:GD=1:1$ ， $CF:FG:GE=2:2:3$ ， $S_{\triangle CFD}$ 和 $S_{\triangle ABE}$ 分别为 $\triangle CFD$ 和 $\triangle ABE$ 的面积，则 $S_{\triangle CFD}:S_{\triangle ABE}$ 的值等于（　）

A. $8:15$
B. $2:3$
C. $11:23$
D. 前三个答案都不对

解答

面积比在非退化仿射变换下不变。取 $C=(0,0),F=(2,0),G=(4,0),E=(7,0),D=(u,v)$ ，其中 $v\ne0$ 。由中点条件得 $A=(8-u,-v)$ ，由 $BF:FD=5:4$ 得 $B=(9/2-5u/4,-5v/4)$ 。

行列式面积公式给出 $[CFD]=|v|$ ， $[ABE]=15|v|/8$ ，所以比为 $8:15$ ，选 A。

第 18 题

题目

设 $p,q$ 均为不超过 $100$ 的正整数，则有有理根的多项式 $f(x)=x^5+px+q$ 的个数为（　）

A. $99$
B. $133$
C. $150$
D. 前三个答案都不对

解答

有理根定理说明根必须为整数，因所有系数为正，实根为负。写成 $-t$ ，则 $q=t^5+pt\le100$ ，故 $t=1$ 或 $2$ 。 $t=1$ 时 $q=p+1$ ，有 $99$ 对； $t=2$ 时 $q=32+2p$ ，有 $34$ 对。

又 $f'(x)=5x^4+p>0$ ，同一多项式只有一个实根，不会重复计数，故总数 $133$ ，选 B。

第 19 题

题目

满足对任意 $n\geqslant1$ 有 $a_{n+1}=2^n-3a_n$ 且严格递增的数列 $\{a_n\}$ 的个数为（　）

A. $0$
B. $1$
C. 无穷多个
D. 前三个答案都不对

解答

通解为 $a_n=2^n/5+C(-3)^{n-1}$ 。若 $C\ne0$ ，差 $a_{n+1}-a_n=2^n/5-4C(-3)^{n-1}$ 随奇偶交替，在某一奇偶子列最终为负，不可能严格递增。只有 $C=0$ 时满足条件，故恰一个数列，选 B。

第 20 题

题目

设函数 $f(x,y,z)=\dfrac{x}{x+y}+\dfrac{y}{y+z}+\dfrac{z}{z+x}$ ，其中 $x,y,z$ 均为正实数，则有（　）

A. $f$ 既有最大值也有最小值
B. $f$ 有最大值但无最小值
C. $f$ 有最小值但无最大值
D. 前三个答案都不对

解答

各项分别大于 $x/(x+y+z),y/(x+y+z),z/(x+y+z)$ ，故 $f>1$ 。反向的三个分式也大于 $1$ ，且两组和为 $3$ ，故 $f<2$ 。

取 $(x,y,z)=(1,t,t^2)$ 并令 $t\to0^+$ ， $f\to2$ ；反向排序则 $f\to1$ 。两端均不能取到，故既无最大值也无最小值，选 D。

答案速览

D（ $\sqrt2-1/2$ ）；2. C；3. A；4. A；5. C；6. C；7. B；8. A；9. B；10. D（ $\sqrt2$ ）；11. A；12. B；13. C；14. D（ $1/4042$ ）；15. D（ $(2+2\sqrt{10})/\sqrt3$ ）；16. D（无穷多个）；17. A；18. B；19. B；20. D。

逐题解析

第 1 题

题目

已知正数 $x,y,z,w$ 满足 $x\geqslant y\geqslant w$ ， $x+y\leqslant2(w+z)$ ，则 $\dfrac wx+\dfrac zy$ 的最小值为（　）

A. $\dfrac34$
B. $\dfrac78$
C. $1$
D. 其他

解答

齐次化令 $y=1,x=t\ge1$ ， $0<w\le1$ ，则 $z\ge(t+1)/2-w$ 。所以

\frac wx+z\ge\frac{t+1}{2}+w\left(\frac1t-1\right)\ge\frac{t-1}{2}+\frac1t\ge\sqrt2-\frac12.

最后一步用均值不等式。取 $t=\sqrt2,w=1,z=(\sqrt2-1)/2$ 等号成立，选 D。

第 2 题

题目

从正整数 $(2019\times2020)^{2021}$ 的约数中选出若干个，使其中任意两个数的乘积都不是完全平方数，则至多能选出（　）个。

A. $16$
B. $31$
C. $32$
D. 其他

解答

第 3 题

题目

数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$ ， $a_2=4$ ，且对 $n\geqslant2$ 有 $a_n^2-a_{n-1}a_{n+1}=2^{n-1}$ ，则 $a_{2020}$ 的个位数字为（　）

A. $8$
B. $4$
C. $2$
D. 其他

解答

第 4 题

题目

已知 $a,b,c,d$ 是方程 $x^4+2x^3+3x^2+4x+5=0$ 的四个根，则

\frac{a-1}{a+2}+\frac{b-1}{b+2}+\frac{c-1}{c+2}+\frac{d-1}{d+2}

的值为（　）

A. $-\dfrac43$
B. $-\dfrac23$
C. $\dfrac23$
D. 其他

解答

设 $P(t)=t^4+2t^3+3t^2+4t+5$ 。由 $P(-2)=9,P'(-2)=-16$ 及对数导数公式，

\sum\frac1{a+2}=-\frac{P'(-2)}{P(-2)}=\frac{16}{9}.

所求为 $4-3\cdot16/9=-4/3$ ，选 A。

第 5 题

题目

等边三角形 $ABC$ 的边长为 $1$ 。过点 $C$ 作以 $AB$ 为直径的圆的切线，交直线 $AB$ 的延长线于点 $D$ ，且 $AD>BD$ ，则 $\triangle BCD$ 的面积为（　）

A. $\dfrac{6\sqrt2-3\sqrt3}{16}$
B. $\dfrac{4\sqrt2-3\sqrt3}{16}$
C. $\dfrac{3\sqrt2-2\sqrt3}{16}$
D. 其他

解答

置 $A=(0,0),B=(1,0),C=(1/2,\sqrt3/2)$ 。圆心为 $O=(1/2,0)$ 、半径为 $1/2$ 。设 $D=(1/2+t,0)$ ， $AD>BD$ 确定 $t>0$ 。由 $O$ 到切线 $CD$ 的距离为 $1/2$ ，

\frac{(\sqrt3/2)t}{\sqrt{t^2+3/4}}=\frac12,

故 $t=\sqrt6/4$ 。于是

[BCD]=\frac12\left(\frac{\sqrt6}{4}-\frac12\right)\frac{\sqrt3}{2}=\frac{3\sqrt2-2\sqrt3}{16},

选 C。

第 6 题

题目

已知 $x,y,z$ 均不等于 $\left(k+\dfrac12\right)\pi$ （ $k\in\mathbb Z$ ），且 $\sin(y+z-x)$ 、 $\sin(x+z-y)$ 、 $\sin(x+y-z)$ 成等差数列，则下列一定成等差数列的是（　）

A. $\sin x,\sin y,\sin z$
B. $\cos x,\cos y,\cos z$
C. $\tan x,\tan y,\tan z$
D. 其他

解答

等差条件经和差化积变为 $\sin y\cos(z-x)=\sin(x+z-y)$ ，移项得

2\sin y\cos x\cos z=\cos y\sin(x+z).

三余弦均非零，约去后得 $2\tan y=\tan x+\tan z$ ，选 C。

第 7 题

题目

方程 $19x+93y=4xy$ 的整数解有（　）组。

A. $4$
B. $8$
C. $16$
D. 其他

解答

原式等价于 $(4x-93)(4y-19)=1767=3\cdot19\cdot31$ 。令首因子为 $u$ ，则要求 $u\equiv3\pmod4$ ；此时另一因子自动模 $4$ 余 $1$ ，可恢复整数 $x,y$ 。

共有 $16$ 个带符号约数；每对 $d,-d$ 中恰一个模 $4$ 余 $3$ ，故有 $8$ 组整数解，选 B。

第 8 题

题目

从圆 $x^2+y^2=4$ 上任一点向椭圆 $C:\dfrac{x^2}{2}+y^2=1$ 引两条切线，连接两个切点所得弦称为切点弦。椭圆 $C$ 内部不与任何切点弦相交的区域面积为（　）

A. $\dfrac\pi2$
B. $\dfrac\pi3$
C. $\dfrac\pi4$
D. 其他

解答

第 9 题

题目

对任意正数 $x,y$ ，不等式 $5x+12\sqrt{xy}\leqslant a(x+y)$ 恒成立，则实数 $a$ 的最小值为（　）

A. $8$
B. $9$
C. $10$
D. 其他

解答

$9(x+y)-(5x+12\sqrt{xy})=(2\sqrt x-3\sqrt y)^2\ge0$ ，且 $x:y=9:4$ 时等号成立。故 $a$ 最小为 $9$ ，选 B。

第 10 题

题目

点 $P$ 在单位正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 的表面上运动，则 $PA_1+PC_1$ 的最小值为（　）

A. $\sqrt{2+\sqrt2}$
B. $\sqrt{2+2\sqrt2}$
C. $2-\dfrac{\sqrt2}{2}$
D. 其他

解答

第 11 题

题目

数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$ ， $a_2=9$ ， $a_{n+2}=4a_{n+1}-3a_n-20$ ，其前 $n$ 项和为 $S_n$ ，则数列 $\{S_n\}$ 的最大值为（　）

A. $28$
B. $35$
C. $47$
D. 其他

解答

第 12 题

题目

直线 $y=3x+m$ 与椭圆 $\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{16}=1$ 交于 $A,B$ 两点， $O$ 为坐标原点，则 $\triangle OAB$ 面积的最大值为（　）

A. $8$
B. $10$
C. $12$
D. 其他

解答

第 13 题

题目

A. $40$
B. $41$
C. $42$
D. 其他

解答

约去 $\binom nk$ 后，等差条件为

\frac{k}{n-k+1}+\frac{n-k}{k+1}=2,

第 14 题

题目

在 $\triangle ABC$ 中， $\angle A=150^\circ$ 。点 $D_1,D_2,\ldots,D_{2020}$ 将边 $BC$ 等分为 $2021$ 份。令

\alpha_1=\angle BAD_1,\quad \alpha_2=\angle D_1AD_2,\quad\ldots,\quad \alpha_{2020}=\angle D_{2019}AD_{2020},\quad \alpha_{2021}=\angle D_{2020}AC,

则

\frac{\sin\alpha_1\sin\alpha_3\cdots\sin\alpha_{2021}} {\sin\alpha_2\sin\alpha_4\cdots\sin\alpha_{2020}}

的值为（　）

A. $\dfrac1{1010}$
B. $\dfrac1{2020}$
C. $\dfrac1{2021}$
D. 其他

解答

\frac{hs}{AB\cdot AC}=\frac{\sin150^\circ}{2021}=\frac1{4042},

选 D。

第 15 题

题目

$\sqrt{3+2\sqrt3\cos\theta+\cos^2\theta}+\sqrt{5-2\sqrt3\cos\theta+\cos^2\theta+4\sin^2\theta}$ 的最大值为（　）

A. $\sqrt{2+\sqrt3}$
B. $2\sqrt{2+\sqrt3}$
C. $\sqrt2+2\sqrt3$
D. 其他

解答

令 $t=\cos\theta\in[-1,1]$ 。第一根式为 $\sqrt3+t$ ，第二根式为 $\sqrt{9-2\sqrt3t-3t^2}$ 。再令 $u=t+1/\sqrt3$ ，原式成为

\frac2{\sqrt3}+u+\sqrt{10-3u^2}\le\frac2{\sqrt3}+\sqrt{\frac{40}{3}}=\frac{2+2\sqrt{10}}{\sqrt3}.

不等式由柯西不等式得到，等号在 $u=\sqrt{5/6}$ ，即 $t=\sqrt{5/6}-1/\sqrt3\in[-1,1]$ 时成立。选 D。

第 16 题

题目

方程

\sqrt{x+5-4\sqrt{x+1}}+\sqrt{x+2-2\sqrt{x+1}}=1

的实数根的个数为（　）

A. $1$
B. $2$
C. $3$
D. 其他

解答

令 $t=\sqrt{x+1}\ge0$ ，方程化为 $|t-2|+|t-1|=1$ ，恰在 $1\le t\le2$ 成立，所以解集为 $[0,3]$ ，有无穷多个根，选 D。

第 17 题

题目

A. $8:15$
B. $2:3$
C. $11:23$
D. 前三个答案都不对

解答

面积比在非退化仿射变换下不变。取 $C=(0,0),F=(2,0),G=(4,0),E=(7,0),D=(u,v)$ ，其中 $v\ne0$ 。由中点条件得 $A=(8-u,-v)$ ，由 $BF:FD=5:4$ 得 $B=(9/2-5u/4,-5v/4)$ 。

行列式面积公式给出 $[CFD]=|v|$ ， $[ABE]=15|v|/8$ ，所以比为 $8:15$ ，选 A。

第 18 题

题目

设 $p,q$ 均为不超过 $100$ 的正整数，则有有理根的多项式 $f(x)=x^5+px+q$ 的个数为（　）

A. $99$
B. $133$
C. $150$
D. 前三个答案都不对

解答

又 $f'(x)=5x^4+p>0$ ，同一多项式只有一个实根，不会重复计数，故总数 $133$ ，选 B。

第 19 题

题目

满足对任意 $n\geqslant1$ 有 $a_{n+1}=2^n-3a_n$ 且严格递增的数列 $\{a_n\}$ 的个数为（　）

A. $0$
B. $1$
C. 无穷多个
D. 前三个答案都不对

解答

第 20 题

题目

设函数 $f(x,y,z)=\dfrac{x}{x+y}+\dfrac{y}{y+z}+\dfrac{z}{z+x}$ ，其中 $x,y,z$ 均为正实数，则有（　）

A. $f$ 既有最大值也有最小值
B. $f$ 有最大值但无最小值
C. $f$ 有最小值但无最大值
D. 前三个答案都不对

解答

各项分别大于 $x/(x+y+z),y/(x+y+z),z/(x+y+z)$ ，故 $f>1$ 。反向的三个分式也大于 $1$ ，且两组和为 $3$ ，故 $f<2$ 。

取 $(x,y,z)=(1,t,t^2)$ 并令 $t\to0^+$ ， $f\to2$ ；反向排序则 $f\to1$ 。两端均不能取到，故既无最大值也无最小值，选 D。