来源：校内《北大强基真题》PDF 第 40—41 页（印刷第 39—40 页）。原稿缺第 6 题；现以明确标记的教学补编填入，恢复完整 1—21 编号。第 2 题明确整数参数及“不同整点”计数；第 16 题明确球面、点光源和平面屏幕模型。
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题号
答案
题号
答案
1
B，5 \sqrt5 5
12
( − 1 + 3 i ) / 2 ± 3 ( 1 + 3 i ) / 2 (-1+3i)/2\pm\sqrt3(1+3i)/2 ( − 1 + 3 i ) /2 ± 3 ( 1 + 3 i ) /2
2
B，12 12 12
13
15 / 4 15/4 15/4
3
A，19980 19980 19980
14
( − ∞ , − 1 ] (-\infty,-1] ( − ∞ , − 1 ] [ 1 , ∞ ) [1,\infty) [ 1 , ∞ )
4
A，1 / 2 ± 3 i / 2 1/2\pm\sqrt3 i/2 1/2 ± 3 i /2
15
( 1 + 21 ) / 2 (1+\sqrt{21})/2 ( 1 + 21 ) /2
5
A，1 1 1
16
切锥与屏幕的交线为二次曲线
6
C，18 18 18
17
5 \sqrt5 5
7
B，1 1 1 x = 2 x=2 x = 2
18
34 \sqrt{34} 34
8
B，3 / 8 \sqrt3/8 3 /8
19
1 / 6 − π 2 / 12 1/\sqrt6-\pi\sqrt2/12 1/ 6 − π 2 /12
9
6 6 6 20
a b / 6 ab/6 ab /6
10
n + 1 \sqrt{n+1} n + 1 21
严格大于四
11
7 / 36 7/36 7/36
逐题解析
第 1 题
题目
已知两点 A ( 0 , − 1 ) , B ( 0 , 2 ) A(0,-1),B(0,2) A ( 0 , − 1 ) , B ( 0 , 2 ) P P P y = x y=x y = x ∣ P B ∣ − ∣ P A ∣ \lvert PB\rvert-\lvert PA\rvert ∣ P B ∣ − ∣ P A ∣
A. 3 3 3
B. 5 \sqrt5 5
C. 3 \sqrt3 3
D. 都不对
解答
将 B B B y = x y=x y = x B ′ = ( 2 , 0 ) B'=(2,0) B ′ = ( 2 , 0 ) P P P P B = P B ′ PB=PB' P B = P B ′ P B − P A ≤ A B ′ = 5 PB-PA\le AB'=\sqrt5 P B − P A ≤ A B ′ = 5 A B ′ AB' A B ′ y = x y=x y = x P = ( − 2 , − 2 ) P=(-2,-2) P = ( − 2 , − 2 ) P , A , B ′ P,A,B' P , A , B ′
第 2 题
题目
【教学补订：明确整数参数与整点计数】当 m m m y = x 2 y=x^2 y = x 2 y = 12 − m x y=12-mx y = 12 − m x
A. 11 11 11
B. 12 12 12
C. 13 13 13
D. 14 14 14
解答
整点横坐标 t t t t 2 + m t = 12 t^2+mt=12 t 2 + m t = 12 t t t m = 12 / t − t m=12/t-t m = 12/ t − t 题面校注： 此处数的是整点，不是参数。相应不同整数 m m m m m m
第 3 题
题目
用 1 , 2 , 3 , 4 , 5 1,2,3,4,5 1 , 2 , 3 , 4 , 5
A. 19980 19980 19980
B. 29970 29970 29970
C. 39960 39960 39960
D. 都不对
解答
共有 5 ⋅ 4 ⋅ 3 = 60 5\cdot4\cdot3=60 5 ⋅ 4 ⋅ 3 = 60 4 ⋅ 3 = 12 4\cdot3=12 4 ⋅ 3 = 12 ( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 ) ⋅ 12 ⋅ 111 = 19980 (1+2+3+4+5)\cdot12\cdot111=19980 ( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 ) ⋅ 12 ⋅ 111 = 19980
第 4 题
题目
已知复数 z z z ∣ z ∣ = 1 \lvert z\rvert=1 ∣ z ∣ = 1 z 17 + z = 1 z^{17}+z=1 z 17 + z = 1 z z z
A. 1 2 ± 3 2 i \dfrac12\pm\dfrac{\sqrt3}{2}i 2 1 ± 2 3 i
B. 3 2 ± 1 2 i \dfrac{\sqrt3}{2}\pm\dfrac12i 2 3 ± 2 1 i
C. 2 2 ± 2 2 i \dfrac{\sqrt2}{2}\pm\dfrac{\sqrt2}{2}i 2 2 ± 2 2 i
D. 都不对
解答
∣ 1 − z ∣ = ∣ z 17 ∣ = 1 |1-z|=|z^{17}|=1 ∣1 − z ∣ = ∣ z 17 ∣ = 1 ∣ z ∣ = 1 |z|=1 ∣ z ∣ = 1 Re z = 1 / 2 \operatorname{Re}z=1/2 Re z = 1/2 e ± i π / 3 e^{\pm i\pi/3} e ± iπ /3 17 ≡ − 1 ( m o d 6 ) 17\equiv-1\pmod6 17 ≡ − 1 ( mod 6 ) z 17 = z ˉ z^{17}=\bar z z 17 = z ˉ z 17 + z = 1 z^{17}+z=1 z 17 + z = 1
第 5 题
题目
y = sin x + 2019 y=\sin x+2019 y = sin x + 2019 y = 1 2 x y=\dfrac12x y = 2 1 x
A. 1 1 1
B. 2 2 2
C. 3 3 3
D. 都不对
解答
方程化为 sin x = ( x − 4038 ) / 2 \sin x=(x-4038)/2 sin x = ( x − 4038 ) /2 [ 4036 , 4040 ] [4036,4040] [ 4036 , 4040 ] G ( x ) = sin x − ( x − 4038 ) / 2 G(x)=\sin x-(x-4038)/2 G ( x ) = sin x − ( x − 4038 ) /2 G > 0 G>0 G > 0 G < 0 G<0 G < 0 1284 π 1284\pi 1284 π ( 2.19 , 2.20 ) (2.19,2.20) ( 2.19 , 2.20 ) ( 6.19 , 6.20 ) (6.19,6.20) ( 6.19 , 6.20 ) 3.1415926 < π < 3.1415927 3.1415926<\pi<3.1415927 3.1415926 < π < 3.1415927 G ′ ( x ) = cos x − 1 / 2 G'(x)=\cos x-1/2 G ′ ( x ) = cos x − 1/2 5 π / 3 5\pi/3 5 π /3
第 6 题
题目
【原第 6 题缺失，教学补编】实数 x , y , z x,y,z x , y , z x + y + z = 0 x+y+z=0 x + y + z = 0 x 2 + y 2 + z 2 = 6 x^2+y^2+z^2=6 x 2 + y 2 + z 2 = 6 x 4 + y 4 + z 4 x^4+y^4+z^4 x 4 + y 4 + z 4
A. 9 9 9
B. 12 12 12
C. 18 18 18
D. 36 36 36
解答
由平方得 x y + y z + z x = − 3 xy+yz+zx=-3 x y + y z + z x = − 3 x + y + z = 0 x+y+z=0 x + y + z = 0
x 2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 x 2 = ( x y + y z + z x ) 2 − 2 x y z ( x + y + z ) = 9. x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2
=(xy+yz+zx)^2-2xyz(x+y+z)=9. x 2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 x 2 = ( x y + y z + z x ) 2 − 2 x y z ( x + y + z ) = 9. 所以 x 4 + y 4 + z 4 = ( x 2 + y 2 + z 2 ) 2 − 2 ⋅ 9 = 18 x^4+y^4+z^4=(x^2+y^2+z^2)^2-2\cdot9=18 x 4 + y 4 + z 4 = ( x 2 + y 2 + z 2 ) 2 − 2 ⋅ 9 = 18
第 7 题
题目
已知 0 < a < 1 0<a<1 0 < a < 1 ( 2 a 1 + a 2 ) x + ( 1 − a 2 1 + a 2 ) x = 1 \left(\dfrac{2a}{1+a^2}\right)^x+\left(\dfrac{1-a^2}{1+a^2}\right)^x=1 ( 1 + a 2 2 a ) x + ( 1 + a 2 1 − a 2 ) x = 1 x x x
A. 0 0 0
B. 1 1 1
C. 2 2 2
D. 无穷个
解答
两底数 u = 2 a / ( 1 + a 2 ) , v = ( 1 − a 2 ) / ( 1 + a 2 ) u=2a/(1+a^2),v=(1-a^2)/(1+a^2) u = 2 a / ( 1 + a 2 ) , v = ( 1 − a 2 ) / ( 1 + a 2 ) ( 0 , 1 ) (0,1) ( 0 , 1 ) u 2 + v 2 = 1 u^2+v^2=1 u 2 + v 2 = 1 x = 2 x=2 x = 2 u x + v x u^x+v^x u x + v x
第 8 题
题目
求 cos 10 ∘ cos 50 ∘ cos 70 ∘ \cos10^\circ\cos50^\circ\cos70^\circ cos 1 0 ∘ cos 5 0 ∘ cos 7 0 ∘
A. 3 4 \dfrac{\sqrt3}{4} 4 3
B. 3 8 \dfrac{\sqrt3}{8} 8 3
C. 3 16 \dfrac{\sqrt3}{16} 16 3
D. 都不对
解答
用 4 cos t cos ( 60 ∘ − t ) cos ( 60 ∘ + t ) = cos 3 t 4\cos t\cos(60^\circ-t)\cos(60^\circ+t)=\cos3t 4 cos t cos ( 6 0 ∘ − t ) cos ( 6 0 ∘ + t ) = cos 3 t t = 10 ∘ t=10^\circ t = 1 0 ∘ cos 30 ∘ / 4 = 3 / 8 \cos30^\circ/4=\sqrt3/8 cos 3 0 ∘ /4 = 3 /8
第 9 题
题目
已知一个长方体的体积为 1 1 1
解答
设棱长 a , b , c > 0 a,b,c>0 a , b , c > 0 a b c = 1 abc=1 ab c = 1 2 ( a b + b c + c a ) ≥ 6 ( a b c ) 2 3 = 6 2(ab+bc+ca)\ge6\sqrt[3]{(abc)^2}=6 2 ( ab + b c + c a ) ≥ 6 3 ( ab c ) 2 = 6
第 10 题
题目
已知 z n = ( 1 + i ) ( 1 + i 2 ) ( 1 + i 3 ) ⋯ ( 1 + i n ) z_n=(1+i)\left(1+\dfrac{i}{\sqrt2}\right)\left(1+\dfrac{i}{\sqrt3}\right)\cdots\left(1+\dfrac{i}{\sqrt n}\right) z n = ( 1 + i ) ( 1 + 2 i ) ( 1 + 3 i ) ⋯ ( 1 + n i ) ∣ z n ∣ \lvert z_n\rvert ∣ z n ∣
解答
模的乘法性给
∣ z n ∣ 2 = ∏ k = 1 n ( 1 + 1 k ) = n + 1 , |z_n|^2=\prod_{k=1}^n\left(1+\frac1k\right)=n+1, ∣ z n ∣ 2 = k = 1 ∏ n ( 1 + k 1 ) = n + 1 , 故 ∣ z n ∣ = n + 1 |z_n|=\sqrt{n+1} ∣ z n ∣ = n + 1
第 11 题
题目
独立掷两次均匀六面骰子，点数分别记为 m , n m,n m , n x 2 + m x + n = 0 x^2+mx+n=0 x 2 + m x + n = 0
解答
整数根若存在，两根均为负整数，设为 − r , − s -r,-s − r , − s r , s > 0 , m = r + s , n = r s r,s>0,m=r+s,n=rs r , s > 0 , m = r + s , n = r s 1 ≤ m , n ≤ 6 1\le m,n\le6 1 ≤ m , n ≤ 6
( 1 , 1 ) , ( 1 , 2 ) , ( 1 , 3 ) , ( 1 , 4 ) , ( 1 , 5 ) , ( 2 , 2 ) , ( 2 , 3 ) . (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,2),(2,3). ( 1 , 1 ) , ( 1 , 2 ) , ( 1 , 3 ) , ( 1 , 4 ) , ( 1 , 5 ) , ( 2 , 2 ) , ( 2 , 3 ) . 对应七个不同有序骰子结果 ( m , n ) (m,n) ( m , n ) 1 / 36 1/36 1/36 7 / 36 7/36 7/36
第 12 题
题目
已知 z 1 = 1 + i , z 2 = − 2 + 2 i z_1=1+i,z_2=-2+2i z 1 = 1 + i , z 2 = − 2 + 2 i z 1 z 2 z 3 z_1z_2z_3 z 1 z 2 z 3 z 3 = z_3= z 3 =
解答
等边三角形第三个顶点是两已知顶点的中点加、减其差向量旋转九十度后的 3 / 2 \sqrt3/2 3 /2
z 3 = z 1 + z 2 2 ± 3 2 i ( z 2 − z 1 ) = − 1 + 3 i 2 ± 3 2 ( 1 + 3 i ) . z_3=\frac{z_1+z_2}{2}\pm\frac{\sqrt3}{2}i(z_2-z_1)
=\frac{-1+3i}{2}\pm\frac{\sqrt3}{2}(1+3i). z 3 = 2 z 1 + z 2 ± 2 3 i ( z 2 − z 1 ) = 2 − 1 + 3 i ± 2 3 ( 1 + 3 i ) . 两种符号对应两侧的正三角形。
第 13 题
题目
已知 A ( − 3 , 0 ) , B ( 0 , 3 ) A(-3,0),B(0,3) A ( − 3 , 0 ) , B ( 0 , 3 ) P P P y 2 = 2 x y^2=2x y 2 = 2 x △ A B P \triangle ABP △ A B P
解答
写 P = ( y 2 / 2 , y ) P=(y^2/2,y) P = ( y 2 /2 , y )
1 2 ∣ det ( ( 3 , 3 ) , ( y 2 / 2 + 3 , y ) ) ∣ = 3 2 ( y 2 2 − y + 3 ) = 3 4 ( y − 1 ) 2 + 15 4 . \frac12|\det((3,3),(y^2/2+3,y))|
=\frac32\left(\frac{y^2}{2}-y+3\right)
=\frac34(y-1)^2+\frac{15}4. 2 1 ∣ det (( 3 , 3 ) , ( y 2 /2 + 3 , y )) ∣ = 2 3 ( 2 y 2 − y + 3 ) = 4 3 ( y − 1 ) 2 + 4 15 . 故最小为 15 / 4 15/4 15/4 P = ( 1 / 2 , 1 ) P=(1/2,1) P = ( 1/2 , 1 )
第 14 题
题目
求 y = ( x − 1 ) 2 x 2 + 1 y=\dfrac{(x-1)^2}{x^2+1} y = x 2 + 1 ( x − 1 ) 2
解答
导数为 2 ( x 2 − 1 ) / ( x 2 + 1 ) 2 2(x^2-1)/(x^2+1)^2 2 ( x 2 − 1 ) / ( x 2 + 1 ) 2 x < − 1 x<-1 x < − 1 x > 1 x>1 x > 1 − 1 < x < 1 -1<x<1 − 1 < x < 1 ( − ∞ , − 1 ] (-\infty,-1] ( − ∞ , − 1 ] [ 1 , ∞ ) [1,\infty) [ 1 , ∞ ) ( − ∞ , − 1 ) , ( 1 , ∞ ) (-\infty,-1),(1,\infty) ( − ∞ , − 1 ) , ( 1 , ∞ )
第 15 题
题目
已知 f ( x ) = 5 + 5 + 5 + 5 + x f(x)=\sqrt{5+\sqrt{5+\sqrt{5+\sqrt{5+x}}}} f ( x ) = 5 + 5 + 5 + 5 + x f ( x ) f(x) f ( x )
解答
f f f ( u , v ) (u,v) ( u , v ) f ( u ) = v , f ( v ) = u f(u)=v,f(v)=u f ( u ) = v , f ( v ) = u u < v u<v u < v u > v u>v u > v u = v u=v u = v g ( t ) = 5 + t g(t)=\sqrt{5+t} g ( t ) = 5 + t f = g ∘ 4 f=g^{\circ4} f = g ∘ 4 g ( u ) > u g(u)>u g ( u ) > u u u u g ( u ) < u g(u)<u g ( u ) < u u u u g ( u ) = u g(u)=u g ( u ) = u u 2 − u − 5 = 0 u^2-u-5=0 u 2 − u − 5 = 0 ( 1 + 21 ) / 2 (1+\sqrt{21})/2 ( 1 + 21 ) /2
第 16 题
题目
【明确理想模型】将篮球视为球面，点光源位于球外，在不经过光源的平面屏幕上观察影子。求证：影子轮廓位于一条二次曲线上（允许退化情形）。
解答
以光源为原点，球心向量为 c c c r r r ∣ c ∣ > r |c|>r ∣ c ∣ > r X ≠ 0 X\ne0 X = 0
∣ λ X − c ∣ 2 = r 2 |\lambda X-c|^2=r^2 ∣ λ X − c ∣ 2 = r 2 作为 λ \lambda λ
( c ⋅ X ) 2 − ( ∣ c ∣ 2 − r 2 ) ∣ X ∣ 2 = 0. (c\cdot X)^2-(|c|^2-r^2)|X|^2=0. ( c ⋅ X ) 2 − ( ∣ c ∣ 2 − r 2 ) ∣ X ∣ 2 = 0. 这是切锥的齐次二次方程。屏幕上取两个平面坐标，将 X = X 0 + s u + t v X=X_0+su+tv X = X 0 + s u + t v s , t s,t s , t
第 17 题
题目
记复数 z = x + i y z=x+iy z = x + i y ∣ x ∣ + ∣ y ∣ ≤ 1 \lvert x\rvert+\lvert y\rvert\le1 ∣ x ∣ + ∣ y ∣ ≤ 1 ∣ z − 1 − i ∣ \lvert z-1-i\rvert ∣ z − 1 − i ∣
解答
约束区域是四顶点 ( 1 , 0 ) , ( 0 , 1 ) , ( − 1 , 0 ) , ( 0 , − 1 ) (1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1) ( 1 , 0 ) , ( 0 , 1 ) , ( − 1 , 0 ) , ( 0 , − 1 ) ( 1 , 1 ) (1,1) ( 1 , 1 ) 1 , 1 , 5 , 5 1,1,\sqrt5,\sqrt5 1 , 1 , 5 , 5 5 \sqrt5 5
第 18 题
题目
已知点 A ( − 1 , 0 ) , B ( 1 , 0 ) A(-1,0),B(1,0) A ( − 1 , 0 ) , B ( 1 , 0 ) P P P x + y − 4 = 0 x+y-4=0 x + y − 4 = 0 A P + B P AP+BP A P + B P
解答
将 A A A x + y = 4 x+y=4 x + y = 4 A ′ = ( 4 , 5 ) A'=(4,5) A ′ = ( 4 , 5 ) P P P A P = A ′ P AP=A'P A P = A ′ P A P + B P ≥ A ′ B = 34 AP+BP\ge A'B=\sqrt{34} A P + B P ≥ A ′ B = 34 A ′ , B A',B A ′ , B
第 19 题
题目
已知椭圆 x 2 2 + y 2 = 1 \dfrac{x^2}{2}+y^2=1 2 x 2 + y 2 = 1 P ( 2 2 , 3 2 ) P\left(\dfrac{\sqrt2}{2},\dfrac{\sqrt3}{2}\right) P ( 2 2 , 2 3 ) P P P x x x A A A y y y B B B D D D B D P BDP B D P
解答
椭圆上半支为 y = 1 − x 2 / 2 y=\sqrt{1-x^2/2} y = 1 − x 2 /2 P P P y = 2 / 3 − x / 6 y=2/\sqrt3-x/\sqrt6 y = 2/ 3 − x / 6 B P BP B P P D PD P D D B DB D B
∫ 0 1 / 2 ( 2 3 − x 6 − 1 − x 2 2 ) d x . \int_0^{1/\sqrt2}\left(\frac2{\sqrt3}-\frac{x}{\sqrt6}-\sqrt{1-\frac{x^2}{2}}\right)\,dx. ∫ 0 1/ 2 ( 3 2 − 6 x − 1 − 2 x 2 ) d x . 前两项积分为 7 / ( 4 6 ) 7/(4\sqrt6) 7/ ( 4 6 )
x 2 1 − x 2 / 2 + 2 2 arcsin ( x / 2 ) , \frac x2\sqrt{1-x^2/2}+\frac{\sqrt2}{2}\arcsin(x/\sqrt2), 2 x 1 − x 2 /2 + 2 2 arcsin ( x / 2 ) , 上限处为 3 / ( 4 6 ) + π 2 / 12 3/(4\sqrt6)+\pi\sqrt2/12 3/ ( 4 6 ) + π 2 /12 1 / 6 − π 2 / 12 1/\sqrt6-\pi\sqrt2/12 1/ 6 − π 2 /12
第 20 题
题目
在单位正方体 A B C D − A 1 B 1 C 1 D 1 ABCD-A_1B_1C_1D_1 A B C D − A 1 B 1 C 1 D 1 E , F E,F E , F A C AC A C G , H G,H G , H B 1 D 1 B_1D_1 B 1 D 1 E F = a , G H = b EF=a,GH=b E F = a , G H = b E − F G H E-FGH E − F G H
解答
两条对角线 A C , B 1 D 1 AC,B_1D_1 A C , B 1 D 1 E F EF E F G H GH G H V = a b ⋅ 1 / 6 = a b / 6 V=ab\cdot1/6=ab/6 V = ab ⋅ 1/6 = ab /6
第 21 题
题目
已知 ∠ 1 , ∠ 2 , … , ∠ n \angle1,\angle2,\ldots,\angle n ∠1 , ∠2 , … , ∠ n n n n sin ∠ 1 + sin ∠ 2 + ⋯ + sin ∠ n > 4 \sin\angle1+\sin\angle2+\cdots+\sin\angle n>4 sin ∠1 + sin ∠2 + ⋯ + sin ∠ n > 4
解答
凸多边形的一组外角之和为 2 π 2\pi 2 π 0 < t < π / 2 0<t<\pi/2 0 < t < π /2 sin t > 2 t / π \sin t>2t/\pi sin t > 2 t / π 2 ( 2 π ) / π = 4 2(2\pi)/\pi=4 2 ( 2 π ) / π = 4