2019年北京大学博雅计划测试 · 参考解答

依据校内历史汇编对应页核对。第 6、11、15 题采用正式卷明确标出的补订条件；补订不冒充原始题面。

答案速览

1. $83980$；2. $(1,\pi/2]$；3. $(-2,9/8]$；4. $1/\sqrt3,-\sqrt3$；5. B；6. B；7. $180$；8. $3\pi/2$；9. C；10. D（$-2004$）；11. C；12. $\tan(x^2)/x^2<\tan x/x<\tan^2x/x^2$；13. B；14. A；15. D（$80^\circ$）；16. $(1,4/3)$；17. C。

逐题解析

第 1 题

题目

从 $1,2,3,\ldots,20$ 中任选四个不同的数，求这四个数的最小公倍数的最大值。

解答

答案为 $83980$，由 $13,17,19,20$ 取到。以下证明上界。

若至少有两个偶数，最小公倍数不超过四数乘积的一半，故不超过 $20\cdot19\cdot18\cdot17/2=58140$。若全为奇数，乘积不超过 $19\cdot17\cdot15\cdot13=62985$。

剩下恰有一个偶数。三个奇数不含 $15$ 时，乘积不超过 $20\cdot19\cdot17\cdot13=83980$。含 $15$ 时，若偶数不超过 $16$，乘积不超过 $16\cdot19\cdot17\cdot15=77520$；若偶数为 $18$ 或 $20$，它与 $15$ 分别有公因子 $3$ 或 $5$，最小公倍数分别不超过 $18\cdot19\cdot17\cdot15/3$ 或 $20\cdot19\cdot17\cdot15/5$，均更小。

第 2 题

题目

已知 $y=a\sin x$ 在 $[0,\pi/2]$ 区间与其反函数有 $2$ 个交点，求 $a$ 的范围。

解答

$a=0$ 时无反函数；$a<0$ 时原函数与反函数的横坐标定义域仅在 $0$ 相交，只有原点一个交点。$a>0$ 时函数严格递增，其图像与反函数图像的交点必在 $y=x$ 上：否则若 $f(u)=v,f(v)=u,u<v$，单调性给出 $v<u$，矛盾。

原点始终是交点，另一个交点满足 $a=x/\sin x$，$0<x\le\pi/2$。其导数分子 $\sin x-x\cos x$ 的导数为 $x\sin x>0$，故比值严格递增，值域为 $(1,\pi/2]$。所求即此区间。

第 3 题

题目

求函数 $f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}+\dfrac{1-x^2}{1+x^2}$ 的范围。

解答

置 $t=x/\sqrt{1+x^2}\in(-1,1)$，则

$$f=1+t-2t^2=\frac98-2\left(t-\frac14\right)^2.$$

最大值 $9/8$ 取到，下确界 $-2$ 在 $t\to-1$ 时趋近但不取到，故值域为 $(-2,9/8]$。

第 4 题

题目

若点 $\left(\dfrac12,\dfrac{\sqrt3}{2}\right)$ 关于 $y=kx$ 的对称点在 $(x-2)^2+y^2=1$ 上，则 $k=$______。

解答

反射点仍在单位圆上。单位圆与 $(x-2)^2+y^2=1$ 仅交于 $(1,0)$，所以镜面直线是辐角 $\pi/3$ 与 $0$ 的两条角平分线，方向角为 $\pi/6$ 或 $2\pi/3$。故 $k=1/\sqrt3$ 或 $-\sqrt3$。

第 5 题

题目

已知 $x,y,z>0$，求 $\dfrac{xyz}{(4x+1)(9x+y)(4y+z)(9z+1)}$ 的最大值。

• A. $\dfrac1{576}$
• B. $\dfrac1{1024}$
• C. $\dfrac1{1296}$
• D. 以上选项均不对

解答

置 $u=4x,v=y/(9x),w=z/(4y),t=1/(9z)$，则 $uvwt=1/81$，原式的倒数为

$$324(1+u)(1+v)(1+w)(1+t)\ge324\left(1+(uvwt)^{1/4}\right)^4=1024.$$

这里乘积不等式由展开后对各阶基本对称和分别用均值不等式得到。等号当且仅当四个变量均为 $1/3$，即 $x=1/12,y=1/4,z=1/3$。最大值 $1/1024$，选 B。

第 6 题

题目

【教学补订】已知正实数 $a,b,c$，正实数 $x,y,z$ 满足 $x+y+z=1$，求 $\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}+\dfrac{c^2}{z}$ 的最小值。

• A. $3(a^2+b^2+c^2)$
• B. $(a+b+c)^2$
• C. $a^2+b^2+c^2$
• D. 以上选项均不对

解答

柯西不等式给出

$$\left(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\right)(x+y+z)\ge(a+b+c)^2.$$

正系数条件下 $x:y:z=a:b:c$ 可行，故最小值为 $(a+b+c)^2$，选 B。原稿未保证系数为正，不能直接用这个等号条件；正式卷已明确补订。

第 7 题

题目

$6$ 名男生、$4$ 名女生，打羽毛球男女混双的不同比赛数有几种？

解答

先选两男两女，再将两名女生与两名男生配对，有两种配法。比赛两方不区分先后，故共 $\binom62\binom42\cdot2=180$ 场。

第 8 题

题目

点集 $(x,y)$ 满足 $(x^2+4y^2-4)(4x^2+y^2-1)\le0$，求该区域的面积。

解答

椭圆 $4x^2+y^2\le1$ 包含于 $x^2+4y^2\le4$，因为前者内 $x^2+4y^2\le4(4x^2+y^2)\le4$。所求为两椭圆之间的闭区域，面积为 $\pi\cdot2\cdot1-\pi\cdot\frac12\cdot1=3\pi/2$。

第 9 题

题目

已知 $n^3+2n^2+8n-5=a^3$，$n,a\in\mathbb N$，求 $(n,a)$ 的对数。

• A. $0$
• B. $1$
• C. $2$
• D. 以上选项均不对

解答

$n=0,1$ 均不产生自然数立方，$n=2,3$ 分别给出 $a=3,4$。当 $n\ge4$，

$$n^3<n^3+2n^2+8n-5<(n+1)^3,$$

右侧差值为 $(n-2)(n-3)>0$。故恰有两对，选 C。

第 10 题

题目

已知 $x_i=-1$ 或 $1$，$i=0,1,\ldots,2019$，$\sum_{i=0}^{2019}2^ix_i=2019$，则 $\sum_{i=0}^{2019}x_i=$______。

• A. $-2002$
• B. $-2001$
• C. $-2000$
• D. 以上选项均不对

解答

设 $x_i=1$ 的位置构成集合 $S$，则

$$2\sum_{i\in S}2^i-(2^{2020}-1)=2019,$$

即 $\sum_{i\in S}2^i=2^{2019}+1009$。而 $1009=512+256+128+64+32+16+1$，共有七个二进制 $1$，所以 $|S|=8$。所求 $8-(2020-8)=-2004$，选 D。源页求和上限确为 $2019$，不能误作 $2018$。

第 11 题

题目

【补明观察模型】金字塔为正四棱锥，底面边长为 $400\,\mathrm m$。在底面所在平面内，以底面中心为圆心、半径为 $400\,\mathrm m$ 的圆周上等概率选取观察点（视为点状眼睛，不计遮挡以外的因素），则同时看到两个侧面的概率是（　）

• A. $\dfrac12$
• B. $\dfrac{\sqrt3}{4}$
• C. $\dfrac13$
• D. 以上选项均不对

解答

将长度除以 $400$，观察圆为单位圆，底面正方形为 $|x|,|y|\le1/2$。处于地面平面的观察者看得到某侧面内部，当且仅当位于该侧面所在边的外侧；因此同时看到两个侧面须满足 $|x|>1/2,|y|>1/2$。

第一象限对应圆心角 $\theta\in(\pi/6,\pi/3)$，四个象限总角度 $2\pi/3$。概率为 $1/3$，选 C。边界观察点概率为零。

第 12 题

题目

当 $x\in(0,1)$ 时，比较 $\dfrac{\tan x}{x}$，$\dfrac{\tan^2x}{x^2}$，$\dfrac{\tan x^2}{x^2}$ 的大小顺序。

解答

令 $h(t)=\tan t/t$。在 $(0,1)$ 内，导数的分子 $k(t)=t\sec^2t-\tan t$ 满足 $k(0)=0,k'(t)=2t\sec^2t\tan t>0$，所以 $h$ 严格递增且 $h(t)>1$。由 $0<x^2<x$，有 $h(x^2)<h(x)<h(x)^2$，即所求顺序。

第 13 题

题目

求方程 $x^3-\lfloor x\rfloor=3$ 的解的个数。

• A. $0$
• B. $1$
• C. $2$
• D. 以上选项均不对

解答

$x<0$ 时，设 $n=\lfloor x\rfloor\le-1$，则 $x^3-n<(n+1)^3-n\le1$；最后一步可直接检查 $n=-1,-2$，而 $n\le-3$ 时更小。$0\le x<1$ 时左边小于 $1$，$1\le x<2$ 时唯一解为 $x=\sqrt[3]4$。$x\ge2$ 时 $x^3-\lfloor x\rfloor\ge x^3-x\ge6$。故唯一解，选 B。

第 14 题

题目

$1^3+2^3+\cdots+n^3$ 的末位数字不可能为：

• A. $2$
• B. $4$
• C. $6$
• D. 以上选项均不对

解答

由 $\sum_{k=1}^nk^3=[n(n+1)/2]^2$，平方数末位不可能为 $2$。另外 $n=7$ 时末位为 $4$，$n=3$ 时末位为 $6$，故选 A。

第 15 题

题目

【补明凸性】平面凸四边形 $ABCD$ 中，$AB=BC=AC$，$\angle DAC=10^\circ$，$\angle DCA=20^\circ$，求 $\angle BDC$。

• A. $60^\circ$
• B. $70^\circ$
• C. $75^\circ$
• D. 以上选项均不对

解答

将边长 $AC$ 归一为 $1$。凸性保证 $B,D$ 位于 $AC$ 两侧，故 $\angle BCD=60^\circ+20^\circ=80^\circ$。三角形 $ACD$ 中 $\angle D=150^\circ$，正弦定理给出 $AD=2\sin20^\circ$，且 $\angle BAD=70^\circ$。

余弦定理给出

$$BD^2=1+4\sin^220^\circ-4\sin20^\circ\cos70^\circ=1.$$

所以 $BD=BC$，从而 $\angle BDC=\angle BCD=80^\circ$，选 D。

第 16 题

题目

已知 $a>b>0$，$a^3-b^3=a^2-b^2$，求 $a+b$ 的取值范围。

解答

除以 $a-b>0$，得到 $a^2+ab+b^2=a+b$。置 $s=a+b,t=ab$，则 $t=s^2-s>0$，故 $s>1$；又 $a\ne b$ 给出 $s^2-4t=4s-3s^2>0$，故 $s<4/3$。

反之每个 $s\in(1,4/3)$，二次方程 $X^2-sX+s^2-s=0$ 有两个不同正根，取较大者为 $a$ 即可。故范围恰为 $(1,4/3)$。

第 17 题

题目

$1\cdot1!+2\cdot2!+\cdots+672\cdot672!$ 除以 $2019$ 的余数为（　）

• A. $1$
• B. $2017$
• C. $2018$
• D. 以上选项均不对

解答

$k\,k!=(k+1)!-k!$，所以原和为 $673!-1$。因 $2019=3\cdot673$ 整除 $673!$，余数为 $2018$，选 C。