2018年北京大学自主招生测试 · 参考解答

来源：校内《北大强基真题》PDF 第 37—39 页（印刷第 36—38 页）。第 13 题排除正切无定义，第 16 题按源图明确切点在边内部，第 20 题明确分母非零；实数不擅自按正数处理。

答案速览

题号	答案	题号	答案
1	A， $2$	11	A， $0$
2	$5$	12	C， $27$
3	B， $2$	13	C，充分必要
4	$\sqrt{26}$	14	$[1/2,1)\cup(1,\sqrt2]$
5	A， $(47+13\sqrt{13})/2$	15	$4/\sqrt3$
6	A， $2$	16	A，正数
7	B， $1/1009$	17	B， $2\pi$
8	A，圆的一部分	18	$\pi/2$
9	B	19	$2/3$
10	$-98/5$	20	$(-\infty,1/8]$

逐题解析

第 1 题

题目

已知 $a\ne b$ ，且 $a^2(b+c)=b^2(a+c)=1$ ，求 $c^2(a+b)-abc$ 。

A. $2$
B. $1$
C. $0$
D. 以上选项都不对

解答

将前两个式子相减，得到 $(a-b)[ab+c(a+b)]=0$ 。因 $a\ne b$ ，有 $ab=-c(a+b)$ 。记 $u=a+b,v=ab$ ，由原式非零可知 $u\ne0$ ，故 $c=-v/u$ 。代入 $a^2(b+c)=1$ 得 $v^2/u=1$ 。因此

c^2(a+b)-abc=v^2/u+v^2/u=2.

第 2 题

题目

整数 $x,y$ 满足 $x\ge3,y\ge3$ ，且 $\dfrac2x+\dfrac2y>1$ ，求这样的 $(x,y)$ 有几组。

解答

若 $x,y\ge4$ ，则 $2/x+2/y\le1$ ，不符合。故至少一个数为三；令 $x=3$ ，得 $3\le y<6$ ，即 $y=3,4,5$ 。计及交换而不重复 $(3,3)$ ，共有五组。

第 3 题

题目

已知 $f(a+b)=f(a)+f(b)$ ， $f(ab)=f(a)f(b)$ 对任意实数 $a,b$ 成立，则对于任意正整数 $n$ ， $f(n)$ 的可能性有（　）种。

A. $1$
B. $2$
C. 无穷种
D. 以上选项都不对

解答

乘法条件给 $f(1)=f(1)^2$ ，所以 $f(1)=0$ 或一。加法条件给 $f(n)=nf(1)$ ，故只能取零或 $n$ 。函数 $f\equiv0$ 、 $f(x)=x$ 分别实现，恰两种。

第 4 题

题目

在 $\triangle ABC$ 中， $AB=15,BC=14,AC=13$ ，过 $A$ 作 $AD\perp BC$ 于 $D$ ，则 $\triangle ADB$ 与 $\triangle ADC$ 的内心距 $I_1I_2$ 的长度为（　）。

解答

设 $BD=t$ 。由 $AD^2=225-t^2=169-(14-t)^2$ 得 $t=9,DC=5,AD=12$ 。取 $D=(0,0),A=(0,12),B=(-9,0),C=(5,0)$ 。两直角三角形的内切圆半径为 $(9+12-15)/2=3$ 、 $(5+12-13)/2=2$ ，故内心分别为 $(-3,3),(2,2)$ ，距离为 $\sqrt{26}$ 。

第 5 题

题目

已知正实数 $a,b$ 满足 $a+b=1$ ，则 $\dfrac1a+\dfrac{27}{b^3}$ 的最小值为（　）

A. $\dfrac{47+13\sqrt{13}}2$
B. $\dfrac{55+15\sqrt{13}}2$
C. $218$
D. 以上选项都不对

解答

设 $b=1-a,0<a<1$ ，函数在两端趋于无穷。导数为

-\frac1{a^2}+\frac{81}{(1-a)^4}.

其符号等于 $9a-(1-a)^2$ 的符号，而该式在 $(0,1)$ 严格递增且两端异号，所以唯一极小点满足 $(1-a)^2=9a$ 。令 $t=\sqrt a=b/3>0$ ，则 $t^2+3t=1$ ， $t=(\sqrt{13}-3)/2$ 。最小值为

\frac1{t^2}+\frac1{t^3} =\frac{47+13\sqrt{13}}2.

第 6 题

题目

$\triangle ABC$ 中， $a\cos B-b\cos A=\dfrac c3$ ，求 $\dfrac{\tan A}{\tan B}$ 。

A. $2$
B. $1$
C. $\dfrac12$
D. 以上选项都不对

解答

正弦定理化条件为 $\sin(A-B)=\sin C/3=\sin(A+B)/3$ ，展开得 $\sin A\cos B=2\cos A\sin B$ 。若其中一个余弦为零，另一个也须为零，与内角和矛盾；故可除以 $\cos A\cos B$ 。又 $\tan B\ne0$ ，得到 $\tan A/\tan B=2$ 。

第 7 题

题目

已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=2019$ ， $S_n=n^2a_n$ ，求 $a_{2018}$ 。

A. $\dfrac1{2019}$
B. $\dfrac1{1009}$
C. $\dfrac1{2018}$
D. 以上选项都不对

解答

$n\ge2$ 时，由 $S_n-S_{n-1}=a_n$ 得 $(n^2-1)a_n=(n-1)^2a_{n-1}$ ，所以 $a_n=(n-1)a_{n-1}/(n+1)$ 。连乘得 $a_n=4038/[n(n+1)]$ 。当 $n=2018$ ，值为 $2/2018=1/1009$ 。

第 8 题

题目

正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，底面 $A_1B_1C_1D_1$ 上有一点 $M$ ，使 $\angle AD_1D=\angle D_1MD$ ，则 $M$ 的轨迹是（　）

A. 圆的一部分
B. 椭圆的一部分
C. 双曲线的一部分
D. 以上选项都不对

解答

按单位棱长缩放，取 $D_1=(0,0,0),D=(0,0,1)$ ，底面在 $z=0$ 。 $\angle AD_1D=45^\circ$ 。对底面点 $M$ ，直角三角形 $MD_1D$ 中

\tan\angle D_1MD=\frac{D_1D}{MD_1}=\frac1{MD_1}.

因此要求 $MD_1=1$ ，轨迹是以 $D_1$ 为圆心的单位圆在正方形内的四分之一圆弧，选 A。

第 9 题

题目

已知 $M$ 为椭圆 $\dfrac{x^2}{4}+y^2=1$ 上的动点，求 $\lvert3x+4y-12\rvert$ 的取值范围。

A. $[0,12+2\sqrt{13}]$
B. $[12-2\sqrt{13},12+2\sqrt{13}]$
C. $[0,12-2\sqrt{13}]$
D. 以上选项都不对

解答

参数化 $x=2\cos t,y=\sin t$ ，得 $3x+4y=6\cos t+4\sin t\in[-2\sqrt{13},2\sqrt{13}]$ 。因为 $2\sqrt{13}<12$ ，绝对值等于 $12-3x-4y$ ，范围为 $[12-2\sqrt{13},12+2\sqrt{13}]$ 。

第 10 题

题目

已知数列 $\{a_n\}$ 为等差数列， $S_{10}=0$ ， $S_{15}=10$ ，求 $nS_n$ 的最小值。

解答

设公差为 $d$ 。 $S_{10}=0$ 给 $2a_1+9d=0$ ； $S_{15}=10$ 给 $75d/2=10$ ，故 $d=4/15$ ， $S_n=(2/15)n(n-10)$ 。连续函数 $t^2(t-10)$ 在 $0<t<20/3$ 递减，此后递增；对正整数只需比较 $n=6,7$ ，分别为 $-144,-147$ 。所以最小值为 $(2/15)(-147)=-98/5$ 。

第 11 题

题目

已知 $f(x)=ax^2+bx+c$ （ $a\ne0$ ），且 $f(x)=x$ 无实根，设 $f_1(x)=f(x)$ ， $f_n(x)=f(f_{n-1}(x))$ ，问 $f_{2018}(x)=x$ 的实根个数。

A. $0$
B. $2018$
C. $4036$
D. 以上选项都不对

解答

连续函数 $f(x)-x$ 无零点，故在实轴上恒正或恒负。若恒正，任意初值的迭代序列逐次严格增大，所有 $f_n(x)>x$ ；若恒负，则逐次严格减小，所有 $f_n(x)<x$ 。两种情形都不可能有 $f_{2018}(x)=x$ ，实根数为零。

第 12 题

题目

将 $(5+3\sqrt3)^{2018}$ 化为十进制小数，则其十分位、百分位、千分位的数码之和为（　）

A. $0$
B. $9$
C. $27$
D. 以上选项都不对

解答

令 $\alpha=5+3\sqrt3,\beta=5-3\sqrt3$ 。二项式展开中奇次根式项抵消，所以 $\alpha^{2018}+\beta^{2018}$ 为整数。又 $-1/5<\beta<0$ ，故 $0<\beta^{2018}<10^{-3}$ 。于是 $\alpha^{2018}$ 是某整数减去小于千分之一的正数，前三位小数均为九，数码和为二十七。

第 13 题

题目

在三个正切均有定义的 $\triangle ABC$ 中，“ $\tan A+\tan B+\tan C>0$ ”是“ $\triangle ABC$ 为锐角三角形”的（　）

A. 充分条件
B. 必要条件
C. 充分必要条件
D. 以上选项都不对

解答

在三个正切有定义时，由 $\sin(A+B+C)=0$ 展开并除以三个余弦，得

\tan A+\tan B+\tan C=\tan A\tan B\tan C.

锐角三角形三项都正，和为正；钝角三角形恰一个正切为负，乘积、和均为负。因此正和与锐角三角形等价，选 C。

第 14 题

题目

$f(x)=a^{2x}-4a^x-1$ ，其中 $x\in(-\infty,-1]\cup[2,+\infty)$ ， $a\in(0,1)\cup(1,+\infty)$ 为参数。若 $f(x)$ 的最小值为 $-5$ ，求 $a$ 的取值范围。

解答

$f(x)=(a^x-2)^2-5$ ，最小值为负五当且仅当唯一取等点 $x=\ln2/\ln a$ 在允许定义域内。若 $a>1$ ，该点为正，只能要求 $x\ge2$ ，得到 $1<a\le\sqrt2$ 。若 $0<a<1$ ，该点为负，只能要求 $x\le-1$ ，乘以负数 $\ln a$ 后得到 $a\ge1/2$ 。合并为 $[1/2,1)\cup(1,\sqrt2]$ 。

第 15 题

题目

椭圆 $C_1$ 与双曲线 $C_2$ 共焦点 $F_1,F_2$ ， $P$ 是 $C_1,C_2$ 的一个交点且 $\angle F_1PF_2=\dfrac\pi3$ ，两个曲线离心率为 $e_1,e_2$ ，求 $\dfrac1{e_1}+\dfrac1{e_2}$ 的最大值。

解答

记焦半距为 $c$ ，较长、较短焦距为 $u,v>0$ 。两曲线半实轴分别为 $(u+v)/2,|u-v|/2$ ，所以

\frac1{e_1}+\frac1{e_2}=\frac{\max(u,v)}c.

不妨 $u>v$ ，令 $t=v/u\in(0,1)$ 。焦点三角形的余弦定理给 $4c^2=u^2+v^2-uv$ ，从而

\frac uc=\frac2{\sqrt{1+t^2-t}}\le\frac4{\sqrt3}.

$t=1/2$ 取等；此时两个正的焦距给出非退化椭圆和双曲线，半轴分别满足大于、小于 $c$ ，故构型可实现。

第 16 题

题目

梯形 $ABCD$ 的下底为 $BC$ ，内部有一个以 $BC$ 上一点为圆心的半圆，与 $AB,CD,AD$ 三条边的内部均相切，则 $\lvert AB\rvert+\lvert CD\rvert-\lvert AD\rvert$ （　）

A. 是正数
B. 是负数
C. 正负性无法确定
D. 以上选项都不对

解答

设半圆分别在边 $AB,CD,AD$ 的内部切于 $X,Y,Z$ 。同一点引出的两切线段等长，故 $AX=AZ,DY=DZ$ 。因此

AB+CD-AD=(AX+XB)+(DY+YC)-(AZ+ZD)=XB+YC>0.

严格正号依赖切点在边内部，已按来源图明确。

第 17 题

题目

已知 $f(t)=t^2+2t$ ，则 $f(x)+f(y)\le2$ 且 $f(x)\ge f(y)$ 所确定的 $(x,y)$ 形成的可行域面积是（　）

A. $4\pi$
B. $2\pi$
C. $\pi$
D. 以上选项都不对

解答

平移 $u=x+1,v=y+1$ ，第一条件化为 $u^2+v^2\le4$ ，第二条件为 $u^2\ge v^2$ 。圆盘被两直线 $u=\pm v$ 分成四个等面积扇形，其中两个满足条件，面积为半个圆盘，即 $2\pi$ 。

第 18 题

题目

三棱锥 $P-ABC$ 中， $AB\perp AC$ ， $PA$ 垂直平面 $ABC$ 。已知 $AP=AB+AC$ ，求 $\angle APB+\angle BPC+\angle CPA$ 。

解答

记 $AB=b,AC=c,AP=p=b+c$ ，以及 $\alpha=\angle APB,\gamma=\angle CPA,\beta=\angle BPC$ 。两直角三角形给 $\tan\alpha=b/p,\tan\gamma=c/p$ ，所以 $\alpha+\gamma<\pi/2$ 。利用空间坐标 $A=(0,0,0),B=(b,0,0),C=(0,c,0),P=(0,0,p)$ ，

\cos\beta=\frac{p^2}{\sqrt{p^2+b^2}\sqrt{p^2+c^2}} =\sin(\alpha+\gamma),

最后一步用 $b+c=p$ 。所有相关角范围保证 $\beta=\pi/2-\alpha-\gamma$ ，故三角之和为 $\pi/2$ 。

第 19 题

题目

已知椭圆 $\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1$ 与圆 $x^2+y^2=2$ ，在椭圆上取一点 $M$ 作圆的切线，切点弦与坐标轴交于 $P,Q$ ， $O$ 为坐标原点，求 $S_{\triangle POQ}$ 的最小值。

解答

记 $M=(u,v)$ 。切点弦即极线 $ux+vy=2$ ；与两坐标轴有有限交点要求 $uv\ne0$ ，这是题设构型隐含的条件。三角形面积为

\frac12\left|\frac2u\frac2v\right|=\frac2{|uv|}.

由 $u^2/9+v^2/4=1$ ，基本不等式给 $|uv|\le3$ ，在 $u^2=9/2,v^2=2$ 取得。故最小为 $2/3$ ，取等点不在坐标轴上，满足构型。

第 20 题

题目

已知实数 $a,b,c$ 满足 $a\ne0$ 、 $a\le2b+3c$ ， $a,b,c$ 成等比数列，求 $\dfrac{b-2c}{a}$ 的取值范围。

解答

分母非零，记等比公比为 $t$ ，则 $b=at,c=at^2$ ，所求为 $t-2t^2=1/8-2(t-1/4)^2$ 。条件是 $a(1-2t-3t^2)\le0$ 。对任何实数 $t$ ，都可以选择非零 $a$ 的正负使此式成立；若括号为零，任意非零 $a$ 均可。因此 $t$ 无额外限制，完整范围为 $(-\infty,1/8]$ 。例如 $a=-16,b=-4,c=-1$ 实现最大值。若擅自把题中“实数”改为“正数”，会错误排除这一取等情形。