2018年北京大学博雅计划测试 · 参考解答

来源：校内《北大强基真题》PDF 第 34—35 页（印刷第 33—34 页）。第 1 题明确独立等概率，第 2 题明确正整数下标，第 12 题文字已完整定义构型。

答案速览

题号	答案	题号	答案
1	C，$0.70$	10	B，$2\sqrt5-\sqrt2$
2	$4043/45$	11	C，$4$
3	B，$51$	12	B，$2/7$
4	A，$0$	13	C，最小值 $13$
5	B，$4$	14	A，$10$
6	A，$30/91$	15	A，$\binom{2016}3$
7	A，$-2018$	16	C，$2019\cdot2^{2018}$
8	B，$0$	17	B，$2063$
9	D，$2\sqrt2$

逐题解析

第 1 题

题目

有 $10$ 个不同的元素，每次独立、等概率、有放回地取一个，则在前五次内取到过相同元素的概率为（保留两位有效数字）（　）

• A. $0.50$
• B. $0.55$
• C. $0.70$
• D. 以上选项都不对

解答

五次均不同的概率为 $10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6/10^5=0.3024$，补集概率为 $0.6976$，保留两位有效数字为 $0.70$。

第 2 题

题目

（高斯函数的定义）$f(x)=\lfloor x\lfloor x\rfloor\rfloor$，记 $f(n)=a_n$（$n\in\mathbb N^*$），求 $\dfrac{a_n+2018}{n}$ 的最小值。

解答

正整数 $n$ 满足 $a_n=n^2$，只需最小化 $H(n)=n+2018/n$。相邻差为

$$H(n+1)-H(n)=1-\frac{2018}{n(n+1)}.$$

当 $n\le44$ 时为负，$n\ge45$ 时为正，故唯一最小在 $n=45$，值为 $45+2018/45=4043/45$。

第 3 题

题目

已知 $n$ 的所有正因数的乘积等于 $n^3$（$n$ 为 $1\sim400$ 之间的正整数），问 $n$ 的个数（　）

• A. $50$
• B. $51$
• C. $55$
• D. 以上选项都不对

解答

$n=1$ 单独满足。对 $n>1$，约数两两相乘为 $n$，全体约数积为 $n^{\tau(n)/2}$，因此要求 $\tau(n)=6$。只能 $n=p^5$ 或 $p^2q$，其中 $p,q$ 为不同质数。 $p^5\le400$ 有 $p=2,3$ 两个；对 $p^2q$，$p=2,3,5,7,11,13$ 时允许的 $q$ 数分别为 $24,13,5,3,2,1$，共四十八个。加上两个五次幂和一，共五十一。

第 4 题

题目

求使得 $\sin\sqrt2+\sin2\sqrt2+\cdots+\sin n\sqrt2>2$ 成立的正整数 $n$ 的个数（　）

• A. $0$
• B. $1$
• C. 无穷多个
• D. 以上选项都不对

解答

令 $\theta=\sqrt2$。等差角正弦求和公式给

$$\sum_{k=1}^n\sin k\theta =\frac{\cos(\theta/2)-\cos((n+1/2)\theta)}{2\sin(\theta/2)} \le\frac12\cot(\theta/4).$$

由 $0<\theta/4<\pi/2$ 及 $\tan t>t$，右边严格小于 $2/\theta=\sqrt2<2$。故没有满足条件的正整数 $n$。

第 5 题

题目

已知非负实数 $a,b,c$ 满足 $a+b+c=3$，求 $a+ab+abc$ 的最大值（　）

• A. $3$
• B. $4$
• C. $3\sqrt2$
• D. 以上选项都不对

解答

$b+(1+c)=4-a$，所以 $b(1+c)\le(4-a)^2/4$。于是

$$a+ab+abc\le a\left(1+\frac{(4-a)^2}{4}\right) =4-\frac{(a-2)^2(4-a)}4\le4,$$

因为 $0\le a\le3$。取 $(a,b,c)=(2,1,0)$ 同时取等，最大四。

第 6 题

题目

$15$ 个人围坐在圆桌旁，从其中任取 $4$ 人，两两不相邻的概率是（　）

• A. $\dfrac{30}{91}$
• B. $\dfrac{25}{91}$
• C. $\dfrac{10}{91}$
• D. 以上选项都不对

解答

把四名选中者按圆周顺序排列，相邻选中者之间至少有一个未选者。十一个未选者分到四个正间隔，方法数为 $\binom{10}3$；指定第一名选中者有十五种，但每个选法被其四名选中者各计一次。因此有利选法 $15\binom{10}3/4=450$，概率 $450/\binom{15}4=30/91$。

第 7 题

题目

已知互不相同的实数 $a_1,a_2,\ldots,a_{2018},b_1,b_2,\ldots,b_{2018}$，对任意 $i=1,2,\ldots,2018$，$(a_i+b_1)(a_i+b_2)\cdots(a_i+b_{2018})=2018$，则对任意 $j=1,2,\ldots,2018$，求 $(a_1+b_j)(a_2+b_j)\cdots(a_{2018}+b_j)$。

• A. $-2018$
• B. $2018$
• C. $0$
• D. 以上选项都不对

解答

设 $P(t)=\prod_{j=1}^{2018}(t+b_j)-2018$。它是首一的 $2018$ 次多项式，且有 $2018$ 个不同根 $a_i$，所以 $P(t)=\prod_i(t-a_i)$。在 $t=-b_j$ 代入，得

$$-2018=\prod_i(-b_j-a_i)=\prod_i(a_i+b_j),$$

最后一步使用项数为偶数。

第 8 题

题目

记 $S_n$ 表示边长为整数、周长为 $n$ 且互不全等的三角形的个数，求 $S_{2018}-S_{2015}$。

• A. $3$
• B. $0$
• C. $-3$
• D. 以上选项都不对

解答

给周长 $2015$ 的整数三角形三边各加一，得到周长 $2018$ 的整数三角形。反过来，对周长 $2018$ 的三角形排序 $a\le b\le c$：$a$ 不可能为一，否则 $b+c=2017$ 且 $c-b<1$，与整数性矛盾。又 $a+b-c=2018-2c$ 是正偶数，至少二。故三边各减一后仍是正整数且满足三角不等式。 两操作互逆并保留全等类，因而计数相同，差为零。

第 9 题

题目

已知 $z_1=\sin\theta+i$，$z_2=\cos\theta+2i$，求 $\dfrac{14-\lvert z_1-iz_2\rvert^2}{\lvert z_1+iz_2\rvert}$ 的最小值。

• A. $\sqrt3$
• B. $\sqrt2$
• C. $\sqrt5$
• D. 以上选项都不对

解答

直接展开得

$$|z_1-iz_2|^2=6+4\sin\theta-2\cos\theta,\quad |z_1+iz_2|^2=6-4\sin\theta+2\cos\theta.$$

记后一个模为 $t$，则 $t\in[\sqrt5-1,\sqrt5+1]$，且所求为 $(2+t^2)/t=t+2/t\ge2\sqrt2$。$\sqrt2$ 在该区间内，存在相应 $\theta$ 达到等号，故最小 $2\sqrt2$，选 D。

第 10 题

题目

已知 $P(x,y)$ 为 $\dfrac{x^2}{5}+\dfrac{y^2}{4}=1$ 上的动点，则 $\sqrt{x^2-2x+y^2+1}+\sqrt{y^2-2y+x^2+1}$ 的最小值为（　）

• A. $2\sqrt5-2$
• B. $2\sqrt5-\sqrt2$
• C. $2\sqrt2-\sqrt5$
• D. 以上选项都不对

解答

椭圆两焦点为 $F_1=(-1,0),F_2=(1,0)$，记 $Q=(0,1)$。所求为

$$PF_2+PQ=2\sqrt5-PF_1+PQ\ge2\sqrt5-F_1Q=2\sqrt5-\sqrt2.$$

点 $Q$ 在椭圆内部，射线 $F_1Q$ 在越过 $Q$ 后与椭圆相交；在该交点 $P$，$F_1,Q,P$ 依次共线，达到等号。

第 11 题

题目

求方程 $\sqrt[3]{15x-x^2+1}+\sqrt[3]{x^2-15x+27}=4$ 的实根数目。

• A. $2$
• B. $3$
• C. $4$
• D. 以上选项都不对

解答

令两个实立方根分别为 $u,v$。则 $u+v=4,u^3+v^3=28$，故 $uv=3$，于是 $\{u,v\}=\{1,3\}$。 第一根号内分别为一或二十七，得到 $x^2-15x=0$ 或 $x^2-15x+26=0$，四根为 $0,15,2,13$。它们代回原式均成立。

第 12 题

题目

在面积为 $1$ 的 $\triangle ABC$ 中，线段 $AC,BC$ 上各有一点 $D,E$，使得 $AD=\dfrac13AC$，$CE=\dfrac13BC$。记 $P$ 为 $AE,BD$ 的交点，求四边形 $PDCE$ 的面积。

• A. $\dfrac29$
• B. $\dfrac27$
• C. $\dfrac8{27}$
• D. 以上选项都不对

解答

面积比例在仿射变换下不变，取 $A=(0,0),B=(1,0),C=(0,1)$。则 $D=(0,1/3),E=(1/3,2/3)$，联立 $AE,BD$ 得 $P=(1/7,2/7)$。 按 $P,D,C,E$ 的顺序用叉积求面积，得到 $1/7$；原三角形面积为 $1/2$，故面积比为 $2/7$。题设原面积为一，所以答案 $2/7$。

第 13 题

题目

$x,y$ 为实数，问 $\sqrt{(x-9)^2+4}+\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{(y-3)^2+9}$ 的最小值属于以下哪个区间（　）

• A. $[10,11]$
• B. $(11,12]$
• C. $(12,13]$
• D. 以上选项都不对

解答

将三个根式看作向量 $(9-x,2),(x,y),(3,3-y)$ 的模，其向量和恒为 $(12,5)$。三角不等式给总和至少十三。 取 $x=21/5,y=7/4$，三个向量分别为 $(24/5,2),(21/5,7/4),(3,5/4)$，均为 $(12,5)$ 的正倍数，达到等号。最小为十三，属于 C 区间。

第 14 题

题目

已知 $a,b,c$ 为公差不为 $0$ 的等差数列，$P,N$ 的坐标分别为 $(-3,2),(2,3)$，过 $P$ 向直线 $ax+by+c=0$ 做垂线，垂足为 $M$，求 $\lvert MN\rvert$ 的最大值与最小值的乘积。

• A. $10$
• B. $3\sqrt2$
• C. $14$
• D. 以上选项都不对

解答

等差条件使直线过 $K=(1,-2)$。$M$ 的轨迹为直径 $PK$ 的圆，其中心 $O=(-1,0)$、半径 $2\sqrt2$。公差非零排除了 $a=b=c$ 对应的直线 $x+y+1=0$，它的垂足为 $P$，所以轨迹仅删去点 $P$。 $ON=3\sqrt2$，到 $N$ 的最小、最大距离分别为 $\sqrt2,5\sqrt2$，取等点是 $(1,2),(-3,-2)$，都不是被删去的 $P$。因此积为十。

第 15 题

题目

从所有不大于 $2018$ 的正整数中任取 $3$ 个，均不相邻的选法有（　）种。

• A. $\binom{2016}{3}$
• B. $\dfrac12\binom{2018}{3}$
• C. $\binom{2018}{3}-\binom{2017}{2}$
• D. 以上选项都不对

解答

写选中数为 $x_1<x_2<x_3$，要求相邻差至少二。映射 $(x_1,x_2,x_3)\mapsto(x_1,x_2-1,x_3-2)$ 是与 $\{1,\ldots,2016\}$ 中三元子集的一一对应，故有 $\binom{2016}3$ 种。

第 16 题

题目

组合数 $C_n^k$ 定义为 $\dfrac{n!}{k!(n-k)!}$，求 $C_{2018}^0+3C_{2018}^1+5C_{2018}^2+\cdots+4037C_{2018}^{2018}$。

• A. $2018\times2^{2018}$
• B. $2018!$
• C. $2019\times2^{2018}$
• D. 以上选项都不对

解答

由二项式定理及其求导式，

$$\sum_{k=0}^n(2k+1)\binom nk =2n2^{n-1}+2^n=(n+1)2^n.$$

代入 $n=2018$ 即得答案。

第 17 题

题目

数列 $\{a_n\}$ 表示正整数除去完全平方数由小到大的排列，求 $a_{2018}$。

• A. $2062$
• B. $2063$
• C. $1009$
• D. 以上选项都不对

解答

不超过整数 $m$ 的非平方数共有 $m-\lfloor\sqrt m\rfloor$ 个。因 $45^2=2025<2063<46^2=2116$，$2063$ 不是平方数，且 $2063-45=2018$，所以 $a_{2018}=2063$。