2018年北京大学优秀中学生暑期学堂测试 · 参考解答

来源：校内《北大强基真题》PDF 第 36 页（印刷第 35 页）。覆盖文理全部八题。第 1 题原稿缺正数条件，教学版明确补入。

答案速览

题号	答案
1	$25/4$（正数补订版）
2	反射光线平行于对称轴
3	$BN=(AB+AC)/2$
4	$4$
5	$88$
6	不等式成立
7	$(x,y,z,w)=(1,1,3,2),(3,2,1,1)$
8	$AD=AE$

逐题解析

第 1 题

题目

【教学补订】已知正实数 $a,b$ 满足 $a+b=1$，求 $\left(a+\dfrac1a\right)\left(b+\dfrac1b\right)$ 的最小值。

解答

题面校注： 原条件若只要求非零实数，则令 $a\to+\infty,b=1-a$，原式向下无界，没有最小值。教学版补为正实数。

令 $t=ab\in(0,1/4]$，原式为

$$ab+\frac ab+\frac ba+\frac1{ab} =t-2+\frac2t.$$

导数 $1-2/t^2<0$，故在 $t=1/4$ 处取最小，值为 $25/4$；对应 $a=b=1/2$。

第 2 题

题目

求证：抛物线的焦点发出的光线经抛物线反射后与抛物线对称轴平行。

解答

刚体运动和缩放不改变角度，取抛物线 $x^2=4py$（$p>0$），焦点 $F=(0,p)$，反射点 $P=(2pt,pt^2)$。从焦点出发到达 $P$ 的入射单位方向为

$$v=\frac{(2t,t^2-1)}{1+t^2},$$

抛物线的单位切向量为 $T=(1,t)/\sqrt{1+t^2}$。反射定律等价于切向分量不变、法向分量变号，因此出射单位方向为

$$2(v\cdot T)T-v =\frac{(2t,2t^2)-(2t,t^2-1)}{1+t^2}=(0,1).$$

它与抛物线对称轴平行，证毕。

第 3 题

题目

在 $\triangle ABC$ 中，已知 $AB>AC$，$AD$ 为 $\angle BAC$ 的角平分线，$M$ 为 $BC$ 中点。过 $M$ 作 $MN\parallel AD$ 交 $AB$ 于 $N$，求证：$BN=\dfrac12(AB+AC)$。

解答

设 $AB=c,AC=b$，则 $c>b$。角平分线定理给 $BD/BC=c/(b+c)>1/2$，所以中点 $M$ 在 $BD$ 内部。由 $MN\parallel AD$，三角形 $BMN,BDA$ 相似，因此

$$BN=BA\frac{BM}{BD} =c\frac{BC/2}{cBC/(b+c)}=\frac{b+c}{2}.$$

第 4 题

题目

已知 $\cos x$ 为无理数，求使 $\cos2x,\cos3x,\ldots,\cos nx$ 均为有理数的 $n$ 的最大值。

解答

设无理数 $u=\cos x$。若 $\cos2x$ 有理，则 $u^2=r$ 为有理数。再要求 $\cos3x=u(4r-3)$ 有理，因 $u$ 无理而系数有理，必须 $4r-3=0$，即 $r=3/4$。 此时 $\cos4x=8r^2-8r+1=-1/2$ 为有理数，但

$$\cos5x=u(16r^2-20r+5)=-u$$

无理。因此最多到四；取 $x=\pi/6$ 即实现，答案四。

第 5 题

题目

已知正实数列 $\{a_n\}$（$n\ge1$），满足 $S_n=\dfrac12\left(a_n+\dfrac1{a_n}\right)$，求 $\dfrac1{S_1}+\dfrac1{S_2}+\cdots+\dfrac1{S_{2018}}$ 的整数部分。

解答

令 $S_0=0$。由 $2S_n=a_n+1/a_n$、$2S_{n-1}=1/a_n-a_n$，平方相减得 $S_n^2-S_{n-1}^2=1$，故 $S_n=\sqrt n$。 记 $T=\sum_{k=1}^{2018}k^{-1/2}$。递减函数的积分比较给

$$T<1+\int_1^{2018}t^{-1/2}\,dt=2\sqrt{2018}-1<89.$$

另一方面，

$$T>\frac32+\frac1{\sqrt2}+\frac1{\sqrt3} +\int_5^{2019}t^{-1/2}\,dt =\frac32+\frac1{\sqrt2}+\frac1{\sqrt3}+2(\sqrt{2019}-\sqrt5)>88.$$

最后可用 $1/\sqrt2>0.7,1/\sqrt3>0.57,\sqrt{2019}>44.9,\sqrt5<2.25$ 给出下界 $88.07$。故整数部分为八十八。

第 6 题

题目

已知非负实数 $x_1,x_2,\ldots,x_n$ 满足 $x_1+x_2+\cdots+x_n=1$，求证：对任意正实数 $r$，$(1+rx_1)\cdots(1+rx_n)\ge(n+r)^n x_1x_2\cdots x_n$。

解答

若有 $x_i=0$，右边为零而左边正，成立。否则所有 $x_i>0$，定义

$$h(t)=\ln(r+1/t),\qquad h''(t)=\frac{1+2rt}{t^2(1+rt)^2}>0.$$

由凸函数的均值不等式及 $\sum x_i=1$，

$$\frac1n\sum_i\ln(r+1/x_i)\ge \ln(r+n).$$

两边取指数并乘以 $\prod x_i>0$，即得

$$\prod_i(1+rx_i)\ge(n+r)^n\prod_i x_i.$$

等号在全部 $x_i=1/n$ 时取得。

第 7 题

题目

求方程实数解：$\begin{cases}x+z=4,\\yw=2,\\xw+yz=5,\\xz+y+w=6.\end{cases}$

解答

把四个等式编码为多项式乘法：

$$(t^2-xt+y)(t^2-zt+w) =t^4-4t^3+6t^2-5t+2 =(t-1)(t-2)(t^2-t+1).$$

两个因式都是实系数首一二次式。不可约实二次因子 $t^2-t+1$ 的两个共轭非实根必须进入同一个实二次因式；另一个只能为 $(t-1)(t-2)=t^2-3t+2$。比较系数，只有 $(x,y,z,w)=(1,1,3,2)$ 与交换后的 $(3,2,1,1)$。代回四式均成立。

第 8 题

题目

在平面凸四边形 $ABCD$ 中，$\angle ABC=\angle ADB=90^\circ$，$BD=BC$，点 $E$ 在线段 $AB$ 上，$F$ 为 $CE$ 的中点，且 $\angle AFB=90^\circ$，求证：$AD=AE$。

解答

取 $B=(0,0),A=(a,0),C=(0,c)$，其中 $a,c>0$。由 $BD=c$、$\angle ADB=90^\circ$，直角三角形 $ADB$ 给 $AD^2=a^2-c^2$。 设 $E=(e,0)$，$0\le e\le a$，则 $F=(e/2,c/2)$。条件 $\angle AFB=90^\circ$ 给

$$(F-A)\cdot(F-B)=0 \iff e^2+c^2=2ae \iff (a-e)^2=a^2-c^2.$$

因 $AE=a-e\ge0$，两边开方即得 $AE=AD$。