2017年北京大学自主招生测试 · 参考解答

来源：校内《北大强基真题》PDF 第 32 页（印刷第 31 页）。按实数条件解答，第 5 题确有无穷多组，第 6 题数值不在前三个选项中。

答案速览

题号	答案	题号	答案
1	C， $7/2$	8	B， $-1$
2	A，锐角	9	$(20/3,20)$
3	A，1 个， $x=1$	10	$72$
4	$\sqrt2-1$	11	$-5$
5	无穷多组	12	$0$
6	D， $2\sqrt{21}/3$	13	$5/4$
7	$2$	14	$2+\sqrt2$

逐题解析

第 1 题

题目

已知实数 $a,b$ 满足 $(a^2+4)(b^2+1)=5(2ab-1)$ ，求 $b\left(a+\dfrac1a\right)$ 。

A. $1.5$
B. $2.5$
C. $3.5$
D. 以上答案均不正确

解答

条件等价于 $(ab-3)^2+(a-2b)^2=0$ ，故 $ab=3,a=2b$ 。于是 $a\ne0$ ，且 $b(a+1/a)=ab+b/a=3+1/2=7/2$ 。

第 2 题

题目

在三角形 $ABC$ 中，已知 $\sin A=\dfrac45$ ， $\cos B=\dfrac4{13}$ ，则 $\triangle ABC$ 为（　）

A. 锐角三角形
B. 直角三角形
C. 无法确定
D. 以上答案均不正确

解答

$B$ 为锐角，且 $\sin B=\sqrt{153}/13>4/5$ 。若 $A$ 为钝角，由 $A+B<\pi$ 得 $B<\pi-A$ ，于是 $\sin B<\sin(\pi-A)=4/5$ ，矛盾。因此 $A$ 也为锐角。又

\cos(A+B)=\frac35\frac4{13}-\frac45\frac{\sqrt{153}}{13}<0,

所以 $A+B>\pi/2,C<\pi/2$ 。三个角全为锐角。

第 3 题

题目

已知 $x+\dfrac2x$ 和 $x^2+\dfrac2{x^2}$ 均为整数，则正实数 $x$ 的可能取值有（　）个。

A. $1$
B. $2$
C. $4$
D. 以上答案均不正确

解答

记两个整数为 $m,n$ 。则 $m^2-n=4+2/x^2$ ，故 $k=2/x^2$ 为正整数。又 $m^2=2k+4+2/k$ ，所以 $k\mid2$ 。若 $k=1$ ，则 $x=\sqrt2,m=2\sqrt2$ 不是整数；若 $k=2$ ，则 $x=1$ ，两个原式均为三，成立。仅一个值。

第 4 题

题目

复数 $z$ 满足 $z+\dfrac2z$ 为实数，求 $\lvert z+i\rvert$ 的最小值。

解答

写 $z=x+iy\ne0$ 。虚部为 $y(1-2/(x^2+y^2))=0$ ，所以轨迹是非零实轴与半径 $\sqrt2$ 的圆的并集。实轴上 $|z+i|>1$ ；圆上到点 $-i$ 的最短距离为 $\sqrt2-1$ ，在 $z=-\sqrt2 i$ 取得。因此全局最小为 $\sqrt2-1$ 。

第 5 题

题目

满足 $\sqrt{a^2-4\sqrt5}=\sqrt m-\sqrt n$ 的实数 $(a,m,n)$ 有（　）组。

解答

只需构造无穷多个不同解。任取 $a\ge2\sqrt[4]5$ ，令 $n=0,m=a^2-4\sqrt5\ge0$ ，等式两边均为 $\sqrt{a^2-4\sqrt5}$ 。因此实数组确有无穷多，不可暗中将 $a,m,n$ 改成整数。

第 6 题

题目

圆上四点 $ABCD$ 逆时针排列，已知 $AB=1,BC=2,BD=3,\angle DBC=\angle DBA$ ，求圆的直径。

A. $2\sqrt3$
B. $2\sqrt5$
C. $2\sqrt7$
D. 以上答案均不正确

解答

同圆内相等圆周角给弦 $AD=DC=t$ 。托勒密定理给 $3AC=1\cdot t+2\cdot t$ ，故 $AC=t$ ，三角形 $ADC$ 为等边三角形。记 $\angle ABD=\angle DBC=\beta$ ，分别在 $ABD,CBD$ 中使用余弦定理：

\cos\beta=\frac{10-t^2}{6}=\frac{13-t^2}{12},

所以 $t^2=7$ 。等边三角形的外接圆直径为 $2t/\sqrt3=2\sqrt{21}/3$ ，选 D。构型可实现：上述 $\cos\beta=1/2$ ，即 $\beta=60^\circ$ ，两三角形拼成圆内凸四边形，条件一致。

第 7 题

题目

已知 $p$ 为 $100$ 以内的质数，且满足 $p^3+7p^2$ 为完全平方数，求 $p$ 的个数。

解答

$p^3+7p^2=p^2(p+7)$ 为平方数等价于 $p+7=k^2$ 。 $p<100$ 给 $3\le k\le10$ ；逐一得到 $p=2,9,18,29,42,57,74,93$ ，质数只有二、二十九，共两个。

第 8 题

题目

函数 $f(x)=x(x+1)(x+2)(x+3)$ 的最小值为（　）

A. $-1.5$
B. $-1$
C. $-2$
D. 以上答案均不正确

解答

令 $t=x^2+3x$ ，则 $f=t(t+2)=(t+1)^2-1\ge-1$ 。 $t=-1$ 对应 $x=(-3\pm\sqrt5)/2$ ，可以达到，最小为负一。

第 9 题

题目

已知三角形的两条高为 $10$ 和 $20$ ，求第三条高的取值范围。

解答

三边与对应高成反比，因此 $1/10,1/20,1/h$ 必须构成非退化三角形：

\frac1{20}<\frac1h<\frac3{20}\iff \frac{20}3<h<20.

反之，任意满足此条件的三边比例可先构造三角形，再整体缩放使第一条高为十，第二条即为二十，第三条即为所给 $h$ ，所以范围完整。

第 10 题

题目

已知三角形的三条中线为 $9,12,15$ ，求三角形的面积。

解答

以三个中线长度作边的三角形，面积是原三角形面积的 $3/4$ ：可由重心将原三角形分成六个等面积小三角形，或取两中线向量求叉积验证。中线三角形三边 $9,12,15$ 为直角三角形，面积为 $54$ ，所以原面积为 $54\cdot4/3=72$ 。

第 11 题

题目

已知 $S=\dfrac1{\log_{1/2}\pi}+\dfrac1{\log_{1/3}\pi}+\dfrac1{\log_{1/5}\pi}+\dfrac1{\log_{1/7}\pi}$ ，求不大于 $S$ 的最大整数。

解答

换底得 $S=-\ln210/\ln\pi$ 。因为 $\pi^4<210<\pi^5$ ，故 $-5<S<-4$ ，整数部分为 $-5$ 。两项幂的不等式可由 $3.14<\pi<22/7$ 直接验证。

第 12 题

题目

求方程 $\log_4(2^x+3^x)=\log_3(4^x-2^x)$ 整数解的个数。

解答

对数真数 $4^x-2^x>0$ 要求 $x>0$ ，所以整数只需考虑 $x\ge1$ 。当 $x=1$ ，左边 $\log_45>1$ ，右边 $\log_32<1$ ，不相等。当整数 $x\ge2$ ，有 $(1/2)^x+(3/4)^x\le13/16<1$ ，故左边小于 $x$ ；又 $(4/3)^x-(2/3)^x\ge(4/3)^2-(2/3)^2=4/3>1$ ，故右边大于 $x$ 。无整数解。

第 13 题

题目

求 $\left(1+\cos\dfrac\pi5\right)\left(1+\cos\dfrac{3\pi}5\right)$ 。

解答

$\cos(\pi/5)=(1+\sqrt5)/4$ ， $\cos(3\pi/5)=(1-\sqrt5)/4$ 。因此乘积为 $(5+\sqrt5)(5-\sqrt5)/16=5/4$ 。

第 14 题

题目

设 $ABCD$ 是边长为 $1$ 的正方形，正方形所在平面上的点 $P$ 满足 $\lvert PA\rvert^2+\lvert PB\rvert^2=\lvert PC\rvert^2$ ，求 $\lvert PD\rvert_{\max}$ 。

解答

取 $A=(0,0),B=(1,0),C=(1,1),D=(0,1)$ ， $P=(x,y)$ 。展开距离条件得 $x^2+(y+1)^2=2$ 。所以 $P$ 在中心 $(0,-1)$ 、半径 $\sqrt2$ 的圆上，到 $D$ 的最大距离为中心距二加半径，即 $2+\sqrt2$ ，在远离 $D$ 的竖直端点取到。