2017年北京大学博雅计划测试 · 参考解答

来源：校内《北大强基真题》PDF 第 29—30 页（印刷第 28—29 页）。第 11、14 题的“最小值”须先检查是否存在，不能从选项倒推条件。

答案速览

题号	1	2	3	4	5	6	7
答案	A，5	B，1	A	C，7/8	C，7	A，9	A，9/2

题号	8	9	10	11	12	13	14
答案	C，2014	A，0	C，25	D，不存在	A	C，无穷种	D，不存在

逐题解析

第 1 题

题目

若正整数 $a,b,c$ 满足 $a+b+c=402$，则使得 $10^n\mid abc$ 的最大正整数 $n$ 是（　）

• A. $5$
• B. $6$
• C. $7$
• D. 以上答案均不正确

解答

取 $(a,b,c)=(52,100,250)$，乘积为 $13\cdot10^5$，所以至少五。 若 $10^6\mid abc$，三个数均小于 $402$，每个数的五因子次数至多三。和不被五整除，至少一个数不被五整除；为提供至少六个五因子，另外两数必须都是 $125$ 的倍数。由和的限制，它们只能为 $(125,125)$ 或 $(125,250)$，对应第三个数分别为 $152,27$。两种乘积的二因子次数分别为三、一，均不足六。故不可能达到六，最大为五。

第 2 题

题目

满足 $\sin A=\cos B=\tan C$ 的互不相似的 $\triangle ABC$ 一共（　）个。

• A. $0$
• B. $1$
• C. $2$
• D. 以上答案均不正确

解答

三角形内角中 $\cos B=\sin A>0$，故 $B<\pi/2$；$\tan C>0$，故 $C<\pi/2$。$\sin A=\sin(\pi/2-B)$ 给出两种可能。 若 $A=\pi/2-B$，则 $C=\pi/2$，正切无定义，排除。因此 $A=\pi/2+B,C=\pi/2-2B$，且 $0<B<\pi/4$。 令 $s=\sin B\in(0,1/\sqrt2)$，$\cot2B=\cos B$ 等价于

$$H(s)=2s^3-2s^2-2s+1=0.$$

$H'(s)=2(3s+1)(s-1)<0$，$H(0)=1>0$，$H(1/\sqrt2)=-1/\sqrt2<0$。故恰有一根，且每根唯一确定三个角，恰一种相似类。

第 3 题

题目

三角形满足一个内角是另一个内角的两倍，且边长为连续正整数，则三边长可能是（　）

• A. $4,5,6$
• B. $6,7,8$
• C. $7,8,9$
• D. 以上答案均不正确

解答

若某角 $X$ 为另一个角 $Y$ 的两倍，其对边记为 $u,v$，第三边为 $w$。正弦定理给 $u/v=2\cos Y$，余弦定理消去 $\cos Y$ 得

$$u^2=v(v+w).$$

反之，此式与余弦定理给 $\cos X=\cos2Y$，且 $u>v$、$2Y<\pi$，从而 $X=2Y$。对三个选项逐对检查，只有 $6^2=4(4+5)$ 成立，故选 $4,5,6$。

第 4 题

题目

$\left(1+\cos\dfrac\pi7\right)\left(1+\cos\dfrac{3\pi}7\right)\left(1+\cos\dfrac{5\pi}7\right)$ 的值是（　）

• A. $\dfrac98$
• B. $\dfrac34$
• C. $\dfrac78$
• D. 以上答案均不正确

解答

三个数 $\cos(\pi/7),\cos(3\pi/7),\cos(5\pi/7)$ 恰为 $8t^3-4t^2-4t+1$ 的三个根：由 $\cos7\theta=-1$ 的七倍角公式分解可得，三根互异。韦达定理给根和 $1/2$、两两积和 $-1/2$、三根积 $-1/8$，故所求为 $1+1/2-1/2-1/8=7/8$。

第 5 题

题目

由 $1,4,7,10,\ldots,2014,2017$ 构造的数 $1471013\cdots20142017$ 除以 $9$ 的余数是（　）

• A. $1$
• B. $4$
• C. $7$
• D. 以上答案均不正确

解答

十进制拼接对模九而言等同于各段求和。共有 $(2017-1)/3+1=673$ 段，总和为 $673(1+2017)/2=673\cdot1009$，模九余七。

第 6 题

题目

正整数 $x,y,z$ 使得 $\left(x-\dfrac1y\right)\left(y-\dfrac1z\right)\left(z-\dfrac1x\right)$ 也是正整数，则 $2x+3y+5z$ 的最大值与最小值之差为（　）。

• A. $9$
• B. $15$
• C. $22$
• D. 以上都不对

解答

展开原式为

$$xyz-x-y-z+\frac{xy+yz+zx-1}{xyz}.$$

最后一项必须为正整数。若至少两个变量为一，原乘积为零，不合题意；若恰一个为一，最后一项严格介于一与二，仍不合。 因此三个变量均至少二。若均至少三，则最后一项 $1/x+1/y+1/z-1/(xyz)$ 严格小于一，不可能。于是最小变量为二，其余记为 $y\le z$。最后一项小于二且为正，只能为一，得到 $(y-2)(z-2)=3$，故三个变量恰为 $2,3,5$ 的排列。线性式最大为 $2\cdot2+3\cdot3+5\cdot5=38$，最小为 $2\cdot5+3\cdot3+5\cdot2=29$，差为九。

第 7 题

题目

若四边形 $ABCD$ 的对角线 $AC,BD$ 相交于 $O$，$\triangle AOB,\triangle BOC,\triangle COD,\triangle DOA$ 的周长相等，且 $\triangle AOB,\triangle BOC,\triangle COD$ 的内切圆半径分别为 $3,4,6$，则 $\triangle DOA$ 的内切圆半径是（　）。

• A. $\dfrac92$
• B. $\dfrac32$
• C. $\dfrac72$
• D. 以上都不对

解答

四个三角形半周长相同，故面积与内切圆半径成正比。由面积公式，因对顶角正弦相等，

$$S_{AOB}S_{COD}=S_{BOC}S_{DOA}.$$

因此 $3\cdot6=4r$，得到 $r=9/2$。此结论只用必要条件；题设已经给出该构型。

第 8 题

题目

$9,95,995,\ldots,\underbrace{99\cdots95}_{2016\text{ 个 }9}$ 之和中共有（　）个 $1$。

• A. $2012$
• B. $2013$
• C. $2014$
• D. 以上都不对

解答

首项是九，后面第 $k$ 项含 $k$ 个九再接一个五，值为 $10^{k+1}-5$，$1\le k\le2016$。总和

$$9+\sum_{k=1}^{2016}(10^{k+1}-5) =\frac{10^{2018}-100}{9}-10071.$$

减法前是 $2016$ 个一后接两个零；减法后为 $2013$ 个一后接 $01029$。后缀再含一个一，共 $2014$ 个。

第 9 题

题目

已知 $\dfrac{\tan^2\alpha+\tan^2\beta}{1+\tan^2\alpha+\tan^2\beta}=\sin^2\alpha+\sin^2\beta$，则 $\sin\alpha\sin\beta$ 的最大值是（　）

• A. $0$
• B. $\dfrac{\sqrt2}{2}$
• C. $\dfrac12$
• D. 以上都不对

解答

正切有定义，令 $u=\tan^2\alpha,v=\tan^2\beta\ge0$。等式两边通分，相减的分子为 $uv(2+u+v)$，因此 $uv=0$。至少一个正弦为零，乘积恒为零，最大值也是零。

第 10 题

题目

单位圆内接五边形的所有边长与对角线的平方和的最大值是（　）

• A. $15$
• B. $20$
• C. $25$
• D. 以上都不对

解答

记五个顶点的单位位置向量为 $v_i$。展开内积得到

$$\sum_{i<j}|v_i-v_j|^2=5\sum_i|v_i|^2-\left|\sum_i v_i\right|^2 =25-\left|\sum_i v_i\right|^2\le25.$$

正五边形的五向量之和为零，达到上界，故最大为二十五。

第 11 题

题目

若 $a,b,c\in\mathbb R$，$a+b+c=1$，$S=(a+bc)(b+ac)>100$，判断 $S$ 的最小值属于哪个区间（若不存在，选 D）：

• A. $(100,110)$
• B. $(110,120)$
• C. $(120,130)$
• D. 以上都不对

解答

题面未要求参数为整数。取 $a=b=t,c=1-2t$，则 $S=4t^2(1-t)^2$。在 $t\ge1$ 上这一连续函数从零严格增至无穷，所以每个 $S>100$ 都可以达到。故可行值域就是 $(100,\infty)$，只有下确界一百，没有最小值。应选 D，不能把任意接近一百的值当成最小值。

第 12 题

题目

设 $a=\sin14^\circ+\cos14^\circ$，$b=\sin16^\circ+\cos16^\circ$，$c=\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}$，则 $a,b,c$ 的大小关系是（　）

• A. $b>c>a$
• B. $b>a>c$
• C. $c>b>a$
• D. 以上都不对

解答

$\sin t+\cos t$ 在 $(0,\pi/4)$ 严格递增，故 $0<a<b$。于是 $a^2<(a^2+b^2)/2<b^2$，开方得 $a<c<b$，选 A。

第 13 题

题目

现将正整数数列分成两组，使得两组中均不包含无穷等差数列，问上述分组方法数（　）

• A. $0$
• B. $1$
• C. 无穷种
• D. 以上答案均不正确

解答

将正整数按区间 $[k!,(k+1)!-1]$（$k\ge1$）分块，按 $k$ 的奇偶分到两组。任何无限等差数列公差 $d\ge1$，都必与每个足够靠后的长度至少 $d$ 的区间相交。因此它会与两组各自的无穷多个块相交，不可能全部落入其中一组。 任意改变有限多个整数的分组，不影响上述性质，便得到无穷多种不同分法。

第 14 题

题目

在 $1\le n\le2016$ 中，使得 $(2017-n)^{2017-n}$ 和 $n^n$ 个位数字相同的最小正整数 $n$ 是（　）。若不存在，选 D。

• A. $3$
• B. $5$
• C. $6$
• D. 以上答案均不正确

解答

在补明的 $1\le n\le2016$ 范围内，两底数与两指数均为正整数。$2017-n$ 与 $n$ 奇偶相反，正整数次幂保持底数奇偶性。因此两个幂的个位数字奇偶相反，不可能相同，不存在这样的 $n$，选 D。