2017年北京大学2.10测试 · 参考解答

题面核对来源：校内《北大强基真题》PDF 第 25 页（印刷第 24 页）。共九题。

答案速览

题号	答案
1	C，$\angle C=90^\circ$
2	最大 $2+2\sqrt3/3$，最小 $2-2\sqrt3/3$
3	B，$2$ 个
4	D
5	C，$2$ 个实根
6	$\sqrt3/3$
7	$1$
8	$A\ne B\cup C$，证明见下
9	不等式成立；等号当且仅当两向量线性相关

逐题解析

第 1 题

题目

在三角形 $ABC$ 中，已知 $\sin2A+\sin2B=4\sin A\sin B$，问三角形的形状（　）

• A. 等腰三角形
• B. 钝角三角形
• C. 直角三角形
• D. 无法确定

解答

令 $s=A+B\in(0,\pi),d=A-B$。和差化积把条件化为

$$(1-\sin s)\cos d=\cos s.$$

若 $s\ne\pi/2$，则

$$|\cos d|=\frac{|\cos s|}{1-\sin s} =\sqrt{\frac{1+\sin s}{1-\sin s}}>1,$$

矛盾。故 $s=\pi/2,C=\pi/2$，且任意这样的直角三角形均满足等式。

第 2 题

题目

已知 $(x-2)^2+(y-3)^2=1$，求 $\dfrac yx$ 的最大值与最小值。

解答

圆上 $x\ge1>0$，记斜率 $k=y/x$。直线 $y=kx$ 与圆有交点的充要条件为圆心到直线的距离不超过半径：

$$\frac{|2k-3|}{\sqrt{1+k^2}}\le1 \iff 3k^2-12k+8\le0.$$

因此 $k\in[2-2\sqrt3/3,2+2\sqrt3/3]$；两端均对应切线，确实取到。

第 3 题

题目

已知集合 $A=\{z\mid\lvert z-4i\rvert+\lvert z+4i\rvert=10,z\in\mathbb C\}$，$B=\{z\mid\lvert z\rvert=5,z\in\mathbb C\}$，则 $A\cap B$ 的元素个数为（　）

• A. $0$
• B. $2$
• C. $4$
• D. 无法确定

解答

写 $z=x+iy$，椭圆方程为 $x^2/9+y^2/25=1$，圆方程为 $x^2+y^2=25$。两式相减消去 $y^2$，得到 $16x^2/9=0$，故交点只有 $(0,5),(0,-5)$，共两个。

第 4 题

题目

以下哪组大小顺序是正确的（　）

• A. $\dfrac{2016}{2015}<\log_{2015}2016<\log_{2016}2017$
• B. $\log_{2015}2016<\log_{2016}2017<\dfrac{2017}{2016}$
• C. $\dfrac{2017}{2016}<\log_{2016}2017<\log_{2015}2016$
• D. $\log_{2016}2017<\log_{2015}2016<\dfrac{2016}{2015}$

解答

对 $t>1$，$\log_t(t+1)=1+h(t)$，其中 $h(t)=\ln(1+1/t)/\ln t$。分子正且严格递减，分母正且严格递增，所以 $h$ 严格递减，得到

$$\log_{2016}2017<\log_{2015}2016.$$

又 $\ln(1+1/2015)<1/2015$ 且 $\ln2015>1$，故 $h(2015)<1/2015$，右端小于 $2016/2015$，选 D。

第 5 题

题目

方程 $x^4-2x^3-754x^2+755x-756=0$ 的实数解个数为（　）

• A. $0$
• B. $1$
• C. $2$
• D. $4$

解答

令 $t=x^2-x$，原多项式为

$$t^2-755t-756=(t-756)(t+1).$$

因 $t=(x-1/2)^2-1/4\ge-1/4$，不能取 $-1$；$t=756$ 给 $x=28,-27$。恰有两个实根。

第 6 题

题目

已知 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 是边长为 $1$ 的立方体，求异面直线 $AB_1$ 和 $BD$ 的距离。

解答

取 $A=(0,0,0),B=(1,0,0),D=(0,1,0),B_1=(1,0,1)$。两直线方向向量分别为 $u=(1,0,1),v=(-1,1,0)$，公共垂线方向为 $u\times v=(-1,-1,1)$。将连接两直线任意两点的向量 $AB$ 投影到这一单位方向，得到两平行支撑平面的距离，也就是异面直线距离：

$$d=\frac{|AB\cdot(u\times v)|}{|u\times v|}=\frac1{\sqrt3}.$$

两条直线不平行，公共垂线的两个垂足可由两个线性方程唯一求得，故该距离可达。

第 7 题

题目

已知 $a_1=1,b_1=2$，$\begin{cases}a_{n+1}=a_n+2b_n,\\b_{n+1}=2a_n+b_n, \end{cases}$ 求 $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac{a_n-\ln^2n}{b_n-\ln^2n}$。

解答

递推相加、相减分别给

$$a_n+b_n=3^n,\qquad a_n-b_n=(-1)^n.$$

所以所求比为

$$\frac{3^n+(-1)^n-2\ln^2n}{3^n-(-1)^n-2\ln^2n}\longrightarrow1,$$

因为 $\ln^2n/3^n\to0$；分母从某项起为正。

第 8 题

题目

已知集合 $A$ 为非空实数集，$B,C$ 为 $A$ 的非空真子集。已知 $A,B,C$ 对于加减法和数乘运算封闭（集合 $A$ 对于加减法和数乘运算封闭的定义为：对任意 $a,b\in A,\lambda\in\mathbb Q$，均有 $a+b\in A,\lambda a\in A$）。证明：存在 $a\in A$，而 $a\notin B\cup C$。

解答

若 $B\subseteq C$ 或 $C\subseteq B$，并集为其中较大者，仍为真子集，结论成立。 否则，取 $b\in B\setminus C,c\in C\setminus B$。由 $A$ 对加法封闭，$b+c\in A$。若 $b+c\in B$，利用 $B$ 对减法封闭得 $c\in B$，矛盾；若 $b+c\in C$，同样得 $b\in C$，矛盾。因此 $b+c\notin B\cup C$。

第 9 题

题目

已知 $a_{ij}$（$1\le i\le n,1\le j\le n$）满足 $a_{ij}=a_{ji}$。

对任意 $x_1,x_2,\ldots,x_n\in\mathbb R$，均有 $\sum_{1\le i,j\le n}a_{ij}x_ix_j\ge0$，等号成立当且仅当 $x_1=x_2=\cdots=x_n=0$。证明

$$\left(\sum_{1\le i,j\le n}a_{ij}x_iy_j\right)^2 \le\left(\sum_{1\le i,j\le n}a_{ij}x_ix_j\right) \left(\sum_{1\le i,j\le n}a_{ij}y_iy_j\right).$$

解答

定义对称双线性形式 $Q(u,v)=\sum_{i,j}a_{ij}u_iv_j$。若 $y=0$，两边均为零。若 $y\ne0$，正定性给 $Q(y,y)>0$，并且对所有实数 $t$，

$$0\le Q(x-ty,x-ty) =Q(x,x)-2tQ(x,y)+t^2Q(y,y).$$

取 $t=Q(x,y)/Q(y,y)$，即得 $Q(x,y)^2\le Q(x,x)Q(y,y)$。 等号等价于此时 $Q(x-ty,x-ty)=0$，由正定性等价于 $x=ty$。连同零向量情形，等号恰在 $x,y$ 线性相关时成立。