2016年北京大学博雅计划测试 · 参考解答

答案速览

题号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
答案	D	B	C	D	A	B	D	B	D	A
题号	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
答案	B	C	A	B	D	C	B	B	C	C

逐题解析

第 1 题

题目

（教学编拟）直线 $y=-x+2$ 与曲线 $y=x^3+ax$ 相切，则 $a$ 的值为（　）

• A. $-3$
• B. $-2$
• C. $-1$
• D. 前三个答案都不对

解答

题面校注：原始来源缺失曲线表达式，无法唯一恢复。本题明确改编为 $y=x^3+ax$ 的切线问题，不冒充恢复出的原题。

设切点横坐标为 $t$。切线斜率和过点条件分别给出 $3t^2+a=-1$、$t^3+at=-t+2$。消去 $a$ 得 $-2t^3=2$，所以 $t=-1,a=-4$。代回，切点为 $(-1,3)$，切线确为 $y=-x+2$，选 D。

第 2 题

题目

已知三角形 $ABC$ 的三边长分别为 $a,b,c$，有以下 $4$ 个命题： （1）以 $\sqrt a,\sqrt b,\sqrt c$ 为边长的三角形一定存在； （2）以 $a^2,b^2,c^2$ 为边长的三角形一定存在； （3）以 $\dfrac{a+b}{2},\dfrac{b+c}{2},\dfrac{c+a}{2}$ 为边长的三角形一定存在； （4）以 $\lvert a-b\rvert+1,\lvert b-c\rvert+1,\lvert c-a\rvert+1$ 为边长的三角形一定存在。 其中正确命题的个数为（　）

• A. $2$
• B. $3$
• C. $4$
• D. 前三个答案都不对

解答

（1）真：$\sqrt a+\sqrt b>\sqrt{a+b}>\sqrt c$，循环同理。（2）假：取原三边为 $3,4,5$，平方后的 $9,16,25$ 退化。（3）真：任意两边之和减第三边分别为 $a,b,c>0$。（4）真：由绝对值三角不等式，$|a-b|+|b-c|\ge|a-c|$，再比较额外常数得到严格三角不等式。共三个真命题，选 B。

第 3 题

题目

设 $AB,CD$ 是圆 $O$ 的两条垂直直径，弦 $DF$ 交 $AB$ 于点 $E$，$DE=24$，$EF=18$，则 $OE$ 等于（　）

• A. $4\sqrt6$
• B. $5\sqrt3$
• C. $6\sqrt2$
• D. 前三个答案都不对

解答

记半径为 $R$、$OE=t$。弦交点定理给出 $R^2-t^2=DE\cdot EF=432$。又 $OD\perp OE$，所以 $R^2+t^2=DE^2=576$。相减得到 $2t^2=144$，故 $t=6\sqrt2$，选 C。

第 4 题

题目

函数 $f(x)=\begin{cases}\dfrac1p,&x=\dfrac qp,(p,q)=1, p,q\in\mathbb N^*,\\0,&x\notin\mathbb Q,\end{cases}$ 则满足 $x\in(0,1)$ 且 $f(x)>\dfrac17$ 的 $x$ 的个数为（　）

• A. $12$
• B. $13$
• C. $14$
• D. 前三个答案都不对

解答

既约正分数 $q/p\in(0,1)$ 满足 $1/p>1/7$，故 $p=2,3,4,5,6$。相应与分母互素的分子数分别为 $1,2,2,4,2$，总共 $11$ 个，选 D。

第 5 题

题目

若方程 $x^2-3x-1=0$ 的根也是方程 $x^4+ax^2+bx+c=0$ 的根，则 $a+b-2c$ 的值为（　）

• A. $-13$
• B. $-9$
• C. $-5$
• D. 前三个答案都不对

解答

在方程 $x^2=3x+1$ 的根处，有 $x^3=10x+3,x^4=33x+10$。代入另一方程得到 $(33+3a+b)x+(10+a+c)=0$。因为两根不同，两个系数均须为零，故 $b=-33-3a,c=-10-a$，从而 $a+b-2c=-13$，选 A。

第 6 题

题目

已知 $k>0$ 且 $k\ne1$，则等比数列 $a+\log_2k,a+\log_4k,a+\log_8k$ 的公比为（　）

• A. $\dfrac12$
• B. $\dfrac13$
• C. $\dfrac14$
• D. 前三个答案都不对

解答

令 $t=\log_2k\ne0$。三项为 $a+t,a+t/2,a+t/3$，等比条件为 $(a+t/2)^2=(a+t)(a+t/3)$。整理得 $a=-t/4$，三项分别为 $3t/4,t/4,t/12$，公比为 $1/3$，选 B。

第 7 题

题目

$\cos\dfrac\pi{11}\cos\dfrac{2\pi}{11}\cdots\cos\dfrac{10\pi}{11}$ 的值为（　）

• A. $-\dfrac1{16}$
• B. $-\dfrac1{32}$
• C. $-\dfrac1{64}$
• D. 前三个答案都不对

解答

利用 $\sin2u=2\sin u\cos u$，

$$2^{10}\prod_{k=1}^{10}\cos\frac{k\pi}{11} =\frac{\prod_{k=1}^{10}\sin(2k\pi/11)}{\prod_{k=1}^{10}\sin(k\pi/11)}.$$

分子中五项为负，其绝对值与分母十项构成同一集合，所以比值为 $-1$。答案为 $-1/1024$，选 D。

第 8 题

题目

设 $a,b,c$ 为实数，$a,c\ne0$，方程 $ax^2+bx+c=0$ 的两个虚数根 $x_1,x_2$ 满足 $\dfrac{x_1^2}{x_2}$ 为实数，则 $\displaystyle\sum_{k=0}^{2015}\left(\frac{x_1}{x_2}\right)^k$ 等于（　）

• A. $1$
• B. $0$
• C. $\sqrt3i$
• D. 前三个答案都不对

解答

设非实共轭根为 $x_1=re^{it},x_2=re^{-it}$，其中 $r>0$。$x_1^2/x_2=re^{3it}$ 为实数，故 $3t$ 为 $\pi$ 的整数倍，而 $t$ 不是 $\pi$ 的整数倍。因此 $\omega=x_1/x_2=e^{2it}$ 为非平凡三次单位根，$1+\omega+\omega^2=0$。从 $k=0$ 到 $2015$ 恰有 $2016$ 项，每三项和为零，总和为 $0$，选 B。

第 9 题

题目

将 $12$ 个不同物体分成 $3$ 堆，每堆 $4$ 个，则不同的分法种类为（　）

• A. $34650$
• B. $5940$
• C. $495$
• D. 前三个答案都不对

解答

三堆无标号，故分法数为 $\binom{12}4\binom84/3!=5775$，选 D。

第 10 题

题目

设 $A$ 是以 $BC$ 为直径的圆上的一点，$D,E$ 是线段 $BC$ 上的点，$F$ 是 $CB$ 延长线上的点，已知 $BF=4$，$BD=2$，$BE=5$，$\angle BAD=\angle ACD$，$\angle BAF=\angle CAE$，则 $BC$ 的长为（　）

• A. $11$
• B. $12$
• C. $13$
• D. 前三个答案都不对

解答

设 $B=(0,0),C=(c,0),A=(u,v)$，可取 $v>0$，且 $c>5$。直径圆条件给出 $u^2+v^2=cu$。因 $\angle BAD=\angle ACB$ 且 $\angle ABD=\angle ABC$，$\triangle ABD\sim\triangle CBA$，所以 $AB^2=BD\cdot BC=2c$，即 $u=2,v^2=2c-4$。又 $F=(-4,0),E=(5,0)$。

用两向量夹角的正切计算，题设另一角相等式为

$$\frac{4v}{12+v^2}=\frac{v(c-5)}{3c-6+v^2}.$$

分母均为正，代入 $v^2=2c-4$，约去 $v$ 得 $4/(2c+8)=(c-5)/(5c-10)$，即 $c(c-11)=0$。所以 $BC=11$，选 A。

第 11 题

题目

两个圆内切于 $K$，大圆的弦 $AB$ 与小圆切于 $L$，已知 $AK:BK=2:5$，$AL=10$，则 $BL$ 的长为（　）

• A. $24$
• B. $25$
• C. $26$
• D. 前三个答案都不对

解答

以内切点 $K$ 为中心的正位似把大圆映成小圆。设大圆上与小圆切点 $L$ 对应的点为 $T$，则 $K,L,T$ 共线，且大圆在 $T$ 处的切线平行于弦 $AB$。因此 $T$ 为相应弧 $AB$ 的中点，$KL$ 是 $\angle AKB$ 的内角平分线。由角平分线定理，$AL/BL=AK/BK=2/5$，故 $BL=25$，选 B。

第 12 题

题目

$f(x)$ 是定义在 $\mathbb R$ 上的函数，且对任意实数 $x$ 均有 $2f(x)+f(x^2-1)=1$，则 $f(-\sqrt2)$ 等于（　）

• A. $0$
• B. $\dfrac12$
• C. $\dfrac13$
• D. 前三个答案都不对

解答

取 $x=0,-1$，得到 $2f(0)+f(-1)=1$、$2f(-1)+f(0)=1$，解得二者均为 $1/3$。再依次取 $x=1,-\sqrt2$，得到 $f(1)=1/3$、$f(-\sqrt2)=1/3$，选 C。

第 13 题

题目

从一个正 $9$ 边形的 $9$ 个顶点中选 $3$ 个，使得它们是一个等腰三角形的三个顶点的方法数是（　）

• A. $30$
• B. $36$
• C. $42$
• D. 前三个答案都不对

解答

指定顶角顶点后，两腰端点可在该顶点两侧等距离取出，有 $4$ 种，所以顶角计数为 $9\cdot4=36$。正九边形中有 $3$ 个等边三角形，每个被计了三次，而其他等腰三角形只计一次。故真实数目为 $36-2\cdot3=30$，选 A。

第 14 题

题目

已知正整数 $a,b,c,d$ 满足 $ab=cd$，则 $a+b+c+d$ 有可能等于（　）

• A. $101$
• B. $301$
• C. $401$
• D. 前三个答案都不对

解答

令 $a=gr,c=gs$，其中 $g=\gcd(a,c)$、$\gcd(r,s)=1$。由 $ab=cd$ 得 $b=hs,d=hr$，$h$ 为正整数。因此和为 $(g+h)(r+s)$，是两个至少为 $2$ 的整数之积，必为合数。$101,401$ 为素数，排除；$301=7\cdot43$ 可行，例如 $(a,b,c,d)=(1,252,42,6)$。故选 B。

第 15 题

题目

三个不同的实数 $x,y,z$ 满足 $x^3-3x^2=y^3-3y^2=z^3-3z^2$，则 $x+y+z$ 等于（　）

• A. $-1$
• B. $0$
• C. $1$
• D. 前三个答案都不对

解答

设共同值为 $t$，则三个不同实数 $x,y,z$ 恰为 $X^3-3X^2-t=0$ 的全部根，由韦达定理其和为 $3$，选 D。

第 16 题

题目

已知 $a+b+c=1$，则 $\sqrt{4a+1}+\sqrt{4b+1}+\sqrt{4c+1}$ 的最大值与最小值的乘积属于区间（　）

• A. $[10,11)$
• B. $[11,12)$
• C. $[12,13)$
• D. 前三个答案都不对

解答

只按根式的实数定义域要求 $a,b,c\ge-1/4$。令 $u=\sqrt{4a+1},v=\sqrt{4b+1},w=\sqrt{4c+1}$，则 $u,v,w\ge0$ 且 $u^2+v^2+w^2=7$。所以

$$\sqrt7\le u+v+w\le\sqrt{21}.$$

下界在 $(u,v,w)=(\sqrt7,0,0)$ 取得，上界在三者相等时取得。两极值之积为 $7\sqrt3\in[12,13)$，选 C。

第 17 题

题目

在圆内接四边形 $ABCD$ 中，$BD=6$，$\angle ABD=\angle CBD=30^\circ$，则四边形 $ABCD$ 的面积等于（　）

• A. $8\sqrt3$
• B. $9\sqrt3$
• C. $12\sqrt3$
• D. 前三个答案都不对

解答

两个相等圆周角给出弧 $AD$ 与弧 $DC$ 相等，故 $D$ 是不含 $B$ 的弧 $AC$ 的中点。然而这并不要求 $B$ 是另一段弧的中点：原题仅规定了 $B$ 处角平分关系，不能据此认定 $AB=BC$ 或 $BD$ 为直径。

设 $\angle BAD=\theta$，外接圆半径为 $R$。有 $BD=2R\sin\theta=6$，且由两个 $30^\circ$ 圆周角得 $AD=CD=R$。$A,D,C$ 为顺序相邻点，所以 $\angle ADC=120^\circ$，从而 $AC=\sqrt3R$。由于 $D$ 是弧 $AC$ 的中点，$BD$ 是 $\angle ABC$ 的平分线，但其方向可随 $B$ 在另一弧上移动。

按正弦定理，$AB=2R\sin(150^\circ-\theta)$，$BC=2R\sin(\theta-30^\circ)$。因此

$$[ABCD]=[ABD]+[BCD] =\frac{BD}{2}\bigl(AB\sin30^\circ+BC\sin30^\circ\bigr) =\frac32(AB+BC).$$

两边和为 $2R[\sin(150^\circ-\theta)+\sin(\theta-30^\circ)]=2\sqrt3R\sin\theta=6\sqrt3$，故面积恒为 $9\sqrt3$，选 B。

第 18 题

题目

$1!+2!+\cdots+2016!$ 除以 $100$ 所得余数为（　）

• A. $3$
• B. $13$
• C. $27$
• D. 前三个答案都不对

解答

$n\ge10$ 时 $n!$ 被 $100$ 整除。前九项的余数依次为 $1,2,6,24,20,20,40,20,80$，和为 $213$，所以余数是 $13$，选 B。

第 19 题

题目

方程组 $\begin{cases}x+y^2=z^3,\\x^2+y^3=z^4,\\x^3+y^4=z^5\end{cases}$ 的实数解组数为（　）

• A. $5$
• B. $6$
• C. $7$
• D. 前三个答案都不对

解答

把第一式乘 $y$ 减第二式、第二式乘 $y$ 减第三式，分别得到

$$x(y-x)=z^3(y-z),\qquad x^2(y-x)=z^4(y-z).$$

将后式减去前式的 $x$ 倍，得 $z^3(y-z)(z-x)=0$，故分类完备：

若 $z=0$，第一式给出 $x=-y^2$，第二式给出 $y^3(y+1)=0$，得到 $(0,0,0),(-1,-1,0)$，都满足第三式。

若 $y=z$，前两式给出 $x=y^2(y-1)$、$x(x-y)=0$。$x=0$ 时得到 $(0,0,0),(0,1,1)$；$x=y$ 时得到三个数全为 $0$，或全为 $(1+\sqrt5)/2$，或全为 $(1-\sqrt5)/2$。

若 $x=z$，前两式给出 $y^2=x(x^2-1)$、$y^2(y-x)=0$。$y=0$ 时得到 $(0,0,0),(1,0,1),(-1,0,-1)$；$y=x$ 时回到上面的等分量解。

去重后总共有 $7$ 组，逐一代入第三式均成立，选 C。

第 20 题

题目

方程 $\left(\dfrac{x^3+x}{3}\right)^3+\dfrac{x^3+x}{3}=3x$ 的所有实根的平方和等于（　）

• A. $0$
• B. $2$
• C. $4$
• D. 前三个答案都不对

解答

令 $F(x)=(x^3+x)/3$，它在实数轴上严格递增。原式等价于 $F(F(x))=x$。若 $F(x)>x$，则 $F(F(x))>F(x)>x$；若小于同样矛盾，所以必有 $F(x)=x$。解得 $x=0,\pm\sqrt2$，平方和为 $4$，选 C。