2015年北京大学博雅计划测试 · 参考解答

答案速览

题号	1	2	3	4	5
答案	B	D	B	D	C
题号	6	7	8	9	10
答案	$\sqrt2$ 或 $2\sqrt2$	$ab$	$1/2$	$2+\pi/2$	$89$

逐题解析

第 1 题

题目

已知 $n$ 为不超过 $2015$ 的正整数，且 $1^n+2^n+3^n+4^n$ 的个位数字为 $0$ ，则满足条件的正整数 $n$ 的个数为（　）

A. $1511$
B. $1512$
C. $1513$
D. 前三个答案都不对

解答

按指数模 $4$ 分类，四项个位数之和模 $10$ 在余数 $1,2,3,0$ 时依次为 $0,0,0,4$ 。故只须排除 $4$ 的倍数，共 $2015-\lfloor2015/4\rfloor=1512$ ，选 B。

第 2 题

题目

在内切圆半径为 $1$ 的直角三角形 $ABC$ 中， $\angle C=90^\circ$ ， $\angle B=30^\circ$ ，内切圆与 $BC$ 切于 $D$ ，则 $AD$ 等于（　）

A. $\sqrt{4+2\sqrt3}$
B. $\sqrt{3+3\sqrt3}$
C. $\sqrt{3+4\sqrt3}$
D. 前三个答案都不对

解答

令短直角边 $AC=t$ ，则另两边为 $\sqrt3t,2t$ 。内切圆半径 $t(\sqrt3-1)/2=1$ ，故 $t=1+\sqrt3$ 。取 $C=(0,0),A=(0,t)$ ，切点 $D=(1,0)$ ，所以 $AD=\sqrt{t^2+1}=\sqrt{5+2\sqrt3}$ ，不在前三项中，选 D。

第 3 题

题目

正方形 $ABCD$ 内一点 $P$ 满足 $AP:BP:CP=1:2:3$ ，则 $\angle APB$ 等于（　）

A. $120^\circ$
B. $135^\circ$
C. $150^\circ$
D. 前三个答案都不对

解答

把正方形设为 $A=(0,0),B=(1,0),C=(1,1)$ ，令 $P=(x,y)$ 、 $AP^2=t>0$ 。由 $BP^2=4t,CP^2=9t$ 得 $x=(1-3t)/2,y=(1-5t)/2$ 。代入 $x^2+y^2=t$ 得 $17t^2-10t+1=0$ 。位于正方形内要求取 $t=(5-2\sqrt2)/17$ ，从而 $1/t=5+2\sqrt2$ 。余弦定理给出

\cos\angle APB=\frac{t+4t-1}{4t}=-\frac{\sqrt2}{2},

故为 $135^\circ$ ，选 B。

第 4 题

题目

满足 $\dfrac1x+\dfrac1y=\dfrac1{2015}$ ，且 $x\leq y$ 的正整数对 $(x,y)$ 的个数为（　）

A. $12$
B. $15$
C. $18$
D. 前三个答案都不对

解答

方程等价于 $(x-2015)(y-2015)=2015^2$ ，两因子均为正整数。因 $2015=5\cdot13\cdot31$ ，其平方有 $3^3=27$ 个正因子，按大小不重复配对有 $(27+1)/2=14$ 对，选 D。

第 5 题

题目

整数 $a,b,c$ 满足 $(a-b)(b-c)(c-a)=a+b+c$ ，则 $a+b+c$ 有可能等于（　）

A. $126$
B. $144$
C. $162$
D. 前三个答案都不对

解答

记 $p=a-b,q=b-c$ ，则和 $S=-pq(p+q)=3c+p+2q$ 。三个候选均被 $3$ 整除，因此 $p-q\equiv0\pmod3$ 。若 $p\equiv q\not\equiv0$ ，则 $pq(p+q)$ 不被 $3$ 整除，矛盾；故 $p,q$ 都被 $3$ 整除， $S$ 必被 $27$ 整除。三个候选只有 $162$ 满足。取 $(a,b,c)=(50,53,59)$ ，和为 $162$ ，差乘积为 $(-3)(-6)\cdot9=162$ ，所以选 C。

第 6 题

题目

设 $z$ 为复数， $\bar z$ 表示 $z$ 的共轭，已知 $\lvert z-\bar z\rvert=2\sqrt2$ ，且 $\dfrac{z}{\bar z^2}$ 为纯虚数，则 $\lvert z\rvert$ 的值为______。

解答

设 $z=x+iy$ ，则 $y^2=2$ 。又 $z/\bar z^2=z^3/|z|^4$ ，为纯虚数等价于 $x(x^2-3y^2)=0$ 。因此 $x=0$ 或 $x^2=6$ ，得到 $|z|=\sqrt2$ 或 $2\sqrt2$ 。两种情形虚部均不为零，均合法。

第 7 题

题目

椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 的一条切线与 $x,y$ 轴交于 $A,B$ 两点，则三角形 $AOB$ 的面积的最小值为______。

解答

第 8 题

题目

已知 $x^2-y^2+6x+4y+5=0$ ，则 $x^2+y^2$ 的最小值为______。

解答

条件分解为 $(x+3)^2-(y-2)^2=0$ ，即两条直线 $y=x+5$ 与 $y=-x-1$ 。它们到原点的距离平方分别为 $25/2,1/2$ ，故所求最小值为 $1/2$ ，由第二条直线上垂足 $(-1/2,-1/2)$ 取得。

第 9 题

题目

平面区域 $\{(x,y)\mid \sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2}\geq xy\}$ 的面积为______。

解答

根式定义域是正方形 $[-1,1]^2$ 。在 $xy\le0$ 的两个象限内不等式恒成立，面积为 $2$ ；在 $xy>0$ 的另两个象限内，两边非负，可以平方，等价于 $x^2+y^2\le1$ ，贡献两个四分之一单位圆，面积为 $\pi/2$ 。总面积为 $2+\pi/2$ 。

第 10 题

题目

登梯时规定每次只能跨上 $1$ 级或者 $2$ 级楼梯，今欲登上 $10$ 级楼梯，则不同走法的种数为

______。

解答

令 $F_n$ 为走到第 $n$ 级的方法数，按最后一步分为跨一级或两级，得 $F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$ ，初值 $F_0=1,F_1=1$ 。依次得到 $F_2,\ldots,F_{10}=2,3,5,8,13,21,34,55,89$ 。