2015年北京大学优秀中学生暑期学堂测试 · 参考解答

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题号	1	2	3	4	5	6	7
答案	$1/6$	$(1/3,5/3)$	$1/8$	可取 $8x^3-6x+1$	$b^2\tan(\alpha/2)$	见证明	见证明

逐题解析

第 1 题

题目

已知 $\dfrac{x}{x^2-1}=\dfrac12$，求 $\dfrac{x^2}{x^4+1}$ 的值。

解答

原式给出 $x-1/x=2$，故 $x^2+x^{-2}=6$。于是 $x^2/(x^4+1)=1/(x^2+x^{-2})=1/6$。

第 2 题

题目

已知 $\triangle ABC$ 中，$AB:AC=3:1$，$D$ 为 $BC$ 上一点，$BD:DC=2:1$，$AB:AD:AC=3:k:1$，求 $k$ 的取值范围。

解答

以 $AC=1$ 归一化，令 $\theta=\angle BAC\in(0,\pi)$。分点公式给出 $\overrightarrow{AD}=(\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC})/3$，所以 $k^2=(13+12\cos\theta)/9$。随 $\cos\theta$ 取遍 $(-1,1)$，$k$ 取遍 $(1/3,5/3)$，退化端点不取。

第 3 题

题目

$a,b,c$ 为正实数，$a+b+c=1$，求 $\dfrac{abc}{(1-a)(1-b)(1-c)}$ 的最大值。

解答

因 $1-a=b+c$，有 $(1-a)(1-b)(1-c)=(a+b)(b+c)(c+a)\ge8abc$，故比值至多为 $1/8$。当 $a=b=c=1/3$ 时取等号。

第 4 题

题目

求一个非零整系数多项式 $f(x)$，使 $f(\sin10^\circ)=0$。

解答

三倍角公式给出 $3\sin10^\circ-4\sin^310^\circ=1/2$，故可取非零整系数多项式 $f(x)=8x^3-6x+1$。题目没有规定次数或首项系数，所以多项式并不唯一，任意非零整系数倍式亦可。

第 5 题

题目

$P$ 为椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）上的点，$P$ 与两焦点连线的夹角为 $\alpha$，求焦点三角形的面积。

解答

令焦距为 $2c$，两焦半径为 $u,v$，则 $u+v=2a$、$c^2=a^2-b^2$。余弦定理给出

$$4c^2=u^2+v^2-2uv\cos\alpha =4a^2-2uv(1+\cos\alpha),$$

所以 $uv=2b^2/(1+\cos\alpha)$。面积为 $uv\sin\alpha/2=b^2\tan(\alpha/2)$。位于长轴端点时面积与该公式均为零。

第 6 题

题目

证明：$\displaystyle\sum_{i=1}^n\frac1{i^2}<\frac53$。

解答

$n=1$ 时结论成立。对 $i\ge2$，

$$\frac1{i^2}<\frac1{(i-1/2)(i+1/2)} =\frac1{i-1/2}-\frac1{i+1/2}.$$

因此求和得到 $\sum_{i=1}^n i^{-2}<1+2/3-1/(n+1/2)<5/3$。

第 7 题

题目

$a,b,c$ 为三角形三边且 $a^k+b^k=c^k$，其中 $k$ 为实数，求证：$k<0$ 或 $k>1$。

解答

$k=0$ 时等式成为 $2=1$，不可能。若 $0<k\le1$，由等式可知 $a<c,b<c$，于是

$$1=(a/c)^k+(b/c)^k\ge a/c+b/c>1,$$

其中最后一步来自三角形严格不等式 $a+b>c$，矛盾。故只能 $k<0$ 或 $k>1$。