2014年北京大学全国优秀中学生体验营数学试题 · 参考解答

答案速览

题号	1	2	3	4	5	6	7
答案	$[-1/2,4-2\sqrt2]$	$0$	见证明	$7\sqrt7/4$	$1,-1/3,-1/2,-3/4$	$100^\circ$	$2a^3+9c\le7ab$

逐题解析

第 1 题

题目

已知关于 $x$ 的方程

$$x^2-ax+2a-2=0$$

在区间 $\left[0,\dfrac32\right]$ 内有根，求实数 $a$ 的取值范围。

解答

在指定区间 $x\ne2$，方程等价于 $a=(2-x^2)/(2-x)$。令 $t=2-x\in[1/2,2]$，则 $a=4-t-2/t$。函数 $t+2/t$ 在 $t=\sqrt2$ 处取最小值 $2\sqrt2$，在此闭区间的最大值为左端点处的 $9/2$。连续性保证中间值全能取得，故 $a\in[-1/2,4-2\sqrt2]$。

第 2 题

题目

已知实数 $a,b,c$ 满足

$$a+b+c=0,\qquad a^3+b^3+c^3=0.$$

对任意正整数 $n$，求 $a^{2n+1}+b^{2n+1}+c^{2n+1}$ 的值。

解答

恒等式 $a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$ 给出 $abc=0$。其中一数为零，另两数互为相反数，所以任意奇次幂和均为零。

第 3 题

题目

设 $n\ge2$ 为正整数，$t\in\mathbb R$ 且 $\sin\dfrac t2\ne0$。证明：

$$\sum_{k=1}^{n}\left(1+\sum_{p=1}^{k-1}2\cos pt\right) =\left(\frac{\sin\dfrac{nt}{2}}{\sin\dfrac t2}\right)^2.$$

解答

令 $z=e^{it}$。左侧重排为 $n+2\sum_{p=1}^{n-1}(n-p)\cos pt$，这正是

$$|1+z+\cdots+z^{n-1}|^2 =\left|\frac{1-z^n}{1-z}\right|^2 =\left(\frac{\sin(nt/2)}{\sin(t/2)}\right)^2.$$

分母非零由题设保证。

第 4 题

题目

一个等腰梯形的腰长和其中一条底边长分别为 $\sqrt2$ 和 $3$，求这个等腰梯形面积的最大值。

解答

把另一底边写成 $3+2x$，其中 $-3/2<x<\sqrt2$ 且 $|x|<\sqrt2$，梯形高为 $\sqrt{2-x^2}$，面积为 $S=(3+x)\sqrt{2-x^2}$。若 $x<0$，换为 $-x$ 后仍合法且面积更大，故最大值可在 $0\le x<\sqrt2$ 中求。平方的导数为

$$\frac{d}{dx}[(3+x)^2(2-x^2)] =-2(x+3)(x+2)(2x-1).$$

在 $x=1/2$ 前正后负，所以最大值为 $(7/2)(\sqrt7/2)=7\sqrt7/4$。

第 5 题

题目

求所有实数 $x$，使

$$\frac{x^2+4x-1}{7x^2-6x-5} \quad\text{与}\quad \frac{1-x}{1+x}$$

都是整数。

解答

设第二个整数为 $k$，则 $x=(1-k)/(1+k)$，$k\in\mathbb Z\setminus\{-1\}$。第一式为

$$-\frac{k^2+k-1}{2k^2-6k-1}.$$

当 $k\le-2$ 或 $k\ge8$ 时，分子、分母同正且分子严格小于分母，所以不可能为整数。只需检查 $k=0,1,\ldots,7$。对应第一式依次为

$$-1,\quad 1/5,\quad1,\quad11,\quad-19/7,\quad-29/19,\quad-41/35,\quad-1.$$

因此 $k=0,2,3,7$，还原为 $x=1,-1/3,-1/2,-3/4$。这些值均不使原分母为零。

第 6 题

题目

在等腰三角形 $ABC$ 中，顶角为 $A$。角 $B$ 的平分线交 $AC$ 于点 $D$，且

$$BC=BD+AD.$$

求角 $A$ 的大小。

解答

记底角为 $\beta$，顶角为 $\alpha$，故 $\alpha+2\beta=180^\circ$。在 $BC$ 上取 $E$ 使 $BE=BD$，并过 $D$ 作 $DF\parallel BC$ 交 $AB$ 于 $F$。因为 $BD$ 平分角 $B$，$\angle DBF=\angle BDF=\beta/2$，故 $BF=DF$。等腰三角形的相似性给出 $AF=AD$，于是 $BF=AB-AF=AC-AD=CD$，所以 $DF=CD$。题设又给出 $CE=BC-BD=AD$。

在 $\triangle ADF$ 与 $\triangle ECD$ 中，$AD=CE,DF=CD$，夹角 $\angle ADF=\angle ECD=\beta$，故两三角形全等。于是 $DE=AF=AD=CE$，从而 $\angle CED=\alpha$。另一方面，$\triangle BDE$ 中 $BD=BE$、$\angle DBE=\beta/2$，所以 $\angle BED=90^\circ-\beta/4$。因 $B,E,C$ 共线，$\alpha=90^\circ+\beta/4$。联立得 $\alpha=100^\circ$。

第 7 题

题目

设 $a,b,c$ 为实数，方程

$$x^3+ax^2+bx+c=0$$

有三个正根。证明：

$$2a^3+9c\le7ab,$$

并指出等号成立当且仅当三个根相等。

解答

题面校注：原转写的不等号方向错误；据源页证明与独立展开，应为 $2a^3+9c\le7ab$。

设三个正根为 $u,v,w$。韦达定理给出 $a=-(u+v+w),b=uv+vw+wu,c=-uvw$。展开并按平方分组：

$$7ab-2a^3-9c =(u+v)(u-v)^2+(v+w)(v-w)^2+(w+u)(w-u)^2\ge0.$$

所有平方系数严格为正，故等号当且仅当 $u=v=w$。