2013年北京大学暑期体验营数学试题 · 参考解答

答案速览

题号	1	2	3	4	5
答案	$1$	$(2,2\sqrt2)$	$-1$	$-5$	$2n-2$

逐题解析

第 1 题

题目

凸五边形 $ABCDE$ 满足

$$AB=AE=DC=BC+DE=1,\qquad \angle B=\angle E=90^\circ.$$

求这个五边形的面积。

解答

在射线 $CB$ 上取 $E_1$，使 $CE_1=1$。因为 $BC+DE=1$，故 $BE_1=DE$。两个直角三角形 $ABE_1$、$AED$ 的对应直角边相等，所以全等，得到 $AE_1=AD$，且面积相等。

又 $CE_1=CD=1$，$AC$ 公共，故 $\triangle ACE_1\cong\triangle ACD$。其中 $\triangle ACE_1$ 到底边 $CE_1$ 的高为 $AB=1$，故面积为 $1/2$。五边形面积为 $[ABC]+[ACD]+[ADE]$，把最后一项换成 $[ABE_1]$，即得 $[ACE_1]+[ACD]=1$。

第 2 题

题目

已知 $f(x)=2x^2-ax+7$，且存在 $\varphi\in\left(\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{2}\right)$，满足

$$f(\sin\varphi)=f(\cos\varphi).$$

求参数 $a$ 的取值范围。

解答

由 $\sin\varphi\ne\cos\varphi$，将两函数值相等式因式分解并约去其差，得 $a=2(\sin\varphi+\cos\varphi)$。在所给开区间内，和从 $\sqrt2$ 严格递减到 $1$，端点均不取，故 $a\in(2,2\sqrt2)$。

第 3 题

题目

函数 $y=x^2+ax+b$ 的图像与坐标轴交于三个不同的点 $A,B,C$。已知 $\triangle ABC$ 的外心在直线 $y=x$ 上，求 $a+b$ 的值。

解答

设外接圆方程为 $x^2+y^2+Dx+Dy+F=0$，两一次项系数相同来自圆心在 $y=x$ 上。在 $x$ 轴上的两个不同交点同时是 $x^2+ax+b=0$ 的根，因此 $D=a,F=b$。第三个交点为 $(0,b)$，其中 $b\ne0$（否则只有两个不同轴交点），代入圆方程得 $b^2+ab+b=0$。除以 $b$，得到 $a+b=-1$。

第 4 题

题目

等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $14$ 项和 $a_1+a_2+\cdots+a_{14}=77$，且 $a_1,a_{11}$ 为正整数，求 $a_{18}$ 的值。

解答

设 $a_1=u,a_{11}=v$，均为正整数。由公差 $d=(v-u)/10$ 以及 $14u+91d=77$，得到 $7u+13v=110$。模 $13$ 得 $u\equiv12\pmod{13}$，而 $u<110/7$，只能 $u=12,v=2$，公差 $d=-1$。所以 $a_{18}=12-17=-5$。

第 5 题

题目

一个班有 $n$ 个同学，每个同学都有一个信息，希望通过短信告诉别人。已知每次一个同学可以给另一个同学发短信（她自己已经知道的所有信息，同时告诉对方），问同学们至少一共需要发送多少条短信，才能使每个同学都知道所有的信息？

解答

先让其余 $n-1$ 人各向同一人发送短信，再由该人向其他每人发送汇总信息，共 $2n-2$ 条，构造可行。

证明下界：首次有人知道全部信息之前，其全部信息的传播祖先形成一个覆盖 $n$ 人的连通通信图，至少使用 $n-1$ 条短信。该首次事件只改变一名接收者的知识，其余 $n-1$ 人此时都还未知道全部信息，此后每人至少再收到一条短信。因此至少还需 $n-1$ 条，总计不小于 $2n-2$。$n=1$ 时结论同样给出 $0$。