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题号
1
2
3
4
5
6
答案
C
D
D
A
A
B
题号
7
8
9
10
答案
4 4 4 全部为零
10 10 10 每行仍严格递增
逐题解析
第 1 题
题目
以 2 \sqrt2 2 1 − 2 3 1-\sqrt[3]{2} 1 − 3 2
A. 2 2 2
B. 3 3 3
C. 5 5 5
D. 6 6 6
解答
2 \sqrt2 2 x 2 − 2 x^2-2 x 2 − 2 1 − 2 3 1-\sqrt[3]2 1 − 3 2 ( 1 − x ) 3 − 2 (1-x)^3-2 ( 1 − x ) 3 − 2 x 3 − 2 x^3-2 x 3 − 2 5 5 5
第 2 题
题目
在 6 × 6 6\times6 6 × 6 3 3 3 3 3 3
A. 720 720 720
B. 20 20 20
C. 518400 518400 518400
D. 14400 14400 14400
解答
先选每行车辆所在列，即一个 6 6 6 6 ! 6! 6 ! ( 6 3 ) \binom63 ( 3 6 ) 14400 14400 14400
第 3 题
题目
已知 x 2 = 2 y + 5 x^2=2y+5 x 2 = 2 y + 5 y 2 = 2 x + 5 y^2=2x+5 y 2 = 2 x + 5 x ≠ y x\ne y x = y x 3 − 2 x 2 y 2 + y 3 x^3-2x^2y^2+y^3 x 3 − 2 x 2 y 2 + y 3
A. − 10 -10 − 10
B. − 12 -12 − 12
C. − 14 -14 − 14
D. − 16 -16 − 16
解答
两方程相减并利用 x ≠ y x\ne y x = y x + y = − 2 x+y=-2 x + y = − 2 x 2 + y 2 = 6 x^2+y^2=6 x 2 + y 2 = 6 x y = − 1 xy=-1 x y = − 1 x 3 + y 3 = ( x + y ) 3 − 3 x y ( x + y ) = − 14 x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)=-14 x 3 + y 3 = ( x + y ) 3 − 3 x y ( x + y ) = − 14 2 x 2 y 2 = 2 2x^2y^2=2 2 x 2 y 2 = 2 − 16 -16 − 16
第 4 题
题目
在数列 { a n } \{a_n\} { a n } a 1 = 1 a_1=1 a 1 = 1 S n + 1 = 4 a n + 2 S_{n+1}=4a_n+2 S n + 1 = 4 a n + 2 n ≥ 1 n\geq1 n ≥ 1 a 2013 a_{2013} a 2013
A. 3019 × 2 2012 3019\times2^{2012} 3019 × 2 2012
B. 3019 × 2 2013 3019\times2^{2013} 3019 × 2 2013
C. 3018 × 2 2012 3018\times2^{2012} 3018 × 2 2012
D. 无法确定
解答
由 S 2 = 6 S_2=6 S 2 = 6 a 2 = 5 a_2=5 a 2 = 5 a n + 1 = 4 a n − 4 a n − 1 a_{n+1}=4a_n-4a_{n-1} a n + 1 = 4 a n − 4 a n − 1 n ≥ 2 n\ge2 n ≥ 2 b n = a n / 2 n − 1 b_n=a_n/2^{n-1} b n = a n / 2 n − 1 b n + 1 − b n = b n − b n − 1 b_{n+1}-b_n=b_n-b_{n-1} b n + 1 − b n = b n − b n − 1 b 1 = 1 , b 2 = 5 / 2 b_1=1,b_2=5/2 b 1 = 1 , b 2 = 5/2
a n = ( 1 + 3 2 ( n − 1 ) ) 2 n − 1 , a 2013 = 3019 ⋅ 2 2012 . a_n=\left(1+\frac32(n-1)\right)2^{n-1},\qquad
a_{2013}=3019\cdot2^{2012}. a n = ( 1 + 2 3 ( n − 1 ) ) 2 n − 1 , a 2013 = 3019 ⋅ 2 2012 . 选 A。
第 5 题
题目
在 △ A B C \triangle ABC △ A B C D D D B C BC B C D M DM D M ∠ A D B \angle ADB ∠ A D B A B AB A B M M M D N DN D N ∠ A D C \angle ADC ∠ A D C A C AC A C N N N B M + C N BM+CN B M + C N M N MN M N
A. B M + C N > M N BM+CN>MN B M + C N > M N
B. B M + C N < M N BM+CN<MN B M + C N < M N
C. B M + C N = M N BM+CN=MN B M + C N = M N
D. 无法确定
解答
角平分线定理给出 A M / M B = A D / D B AM/MB=AD/DB A M / M B = A D / D B A N / N C = A D / D C AN/NC=AD/DC A N / N C = A D / D C D B = D C DB=DC D B = D C M N ∥ B C MN\parallel BC M N ∥ B C t = D B / A D > 0 t=DB/AD>0 t = D B / A D > 0 B M = t A B / ( 1 + t ) BM=tAB/(1+t) B M = t A B / ( 1 + t ) C N = t A C / ( 1 + t ) CN=tAC/(1+t) C N = t A C / ( 1 + t ) M N = B C / ( 1 + t ) MN=BC/(1+t) M N = B C / ( 1 + t ) B C = 2 D B = 2 t A D BC=2DB=2tAD B C = 2 D B = 2 t A D A B → + A C → = 2 A D → \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AD} A B + A C = 2 A D A B + A C > 2 A D AB+AC>2AD A B + A C > 2 A D B M + C N > M N BM+CN>MN B M + C N > M N
第 6 题
题目
模长都为 1 1 1 A , B , C A,B,C A , B , C A + B + C ≠ 0 A+B+C\ne0 A + B + C = 0 B C + A C + A B A + B + C \dfrac{BC+AC+AB}{A+B+C} A + B + C B C + A C + A B
A. − 1 2 -\dfrac12 − 2 1
B. 1 1 1
C. 2 2 2
D. 无法确定
解答
因为 ∣ A ∣ = ∣ B ∣ = ∣ C ∣ = 1 |A|=|B|=|C|=1 ∣ A ∣ = ∣ B ∣ = ∣ C ∣ = 1 A B + B C + C A = A B C ( A ˉ + B ˉ + C ˉ ) AB+BC+CA=ABC(\bar A+\bar B+\bar C) A B + B C + C A = A B C ( A ˉ + B ˉ + C ˉ ) ∣ A B C ∣ ⋅ ∣ A + B + C ‾ ∣ / ∣ A + B + C ∣ = 1 |ABC|\cdot|\overline{A+B+C}|/|A+B+C|=1 ∣ A B C ∣ ⋅ ∣ A + B + C ∣/∣ A + B + C ∣ = 1
第 7 题
题目
最多能找多少个两两不相等的正整数，使其中任意三个数之和为质数？并证明你的结论。
解答
若有五个或更多数，按模 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
集合 { 1 , 3 , 7 , 9 } \{1,3,7,9\} { 1 , 3 , 7 , 9 } 11 , 13 , 17 , 19 11,13,17,19 11 , 13 , 17 , 19 4 4 4
第 8 题
题目
已知 a 1 + a 2 + a 3 + ⋯ + a 2013 = 0 a_1+a_2+a_3+\cdots+a_{2013}=0 a 1 + a 2 + a 3 + ⋯ + a 2013 = 0
∣ a 1 − 2 a 2 ∣ = ∣ a 2 − 2 a 3 ∣ = ⋯ = ∣ a 2013 − 2 a 1 ∣ . \lvert a_1-2a_2\rvert=\lvert a_2-2a_3\rvert=\cdots=\lvert a_{2013}-2a_1\rvert. ∣ a 1 − 2 a 2 ∣ = ∣ a 2 − 2 a 3 ∣ = ⋯ = ∣ a 2013 − 2 a 1 ∣ . 证明：a 1 = a 2 = a 3 = ⋯ = a 2013 = 0 a_1=a_2=a_3=\cdots=a_{2013}=0 a 1 = a 2 = a 3 = ⋯ = a 2013 = 0
解答
设各绝对值的共同值为 t ≥ 0 t\ge0 t ≥ 0 t > 0 t>0 t > 0 a i − 2 a i + 1 a_i-2a_{i+1} a i − 2 a i + 1 t t t − t -t − t − ∑ a i = 0 -\sum a_i=0 − ∑ a i = 0 2013 2013 2013 ± t \pm t ± t t = 0 t=0 t = 0 a i = 2 a i + 1 a_i=2a_{i+1} a i = 2 a i + 1 a 1 = 2 2013 a 1 a_1=2^{2013}a_1 a 1 = 2 2013 a 1
第 9 题
题目
对于任意 θ \theta θ 32 cos 6 θ − cos 6 θ − 6 cos 4 θ − 15 cos 2 θ 32\cos^6\theta-\cos6\theta-6\cos4\theta-15\cos2\theta 32 cos 6 θ − cos 6 θ − 6 cos 4 θ − 15 cos 2 θ
解答
将 cos 2 θ = ( 1 + cos 2 θ ) / 2 \cos^2\theta=(1+\cos2\theta)/2 cos 2 θ = ( 1 + cos 2 θ ) /2 ( e i θ + e − i θ ) 6 (e^{i\theta}+e^{-i\theta})^6 ( e i θ + e − i θ ) 6
32 cos 6 θ = 10 + 15 cos 2 θ + 6 cos 4 θ + cos 6 θ . 32\cos^6\theta=10+15\cos2\theta+6\cos4\theta+\cos6\theta. 32 cos 6 θ = 10 + 15 cos 2 θ + 6 cos 4 θ + cos 6 θ . 代入后所求恒为 10 10 10
第 10 题
题目
已知有 m ⋅ n m\cdot n m ⋅ n m × n m\times n m × n { a i j } m × n \{a_{ij}\}_{m\times n} { a ij } m × n j 1 < j 2 j_1<j_2 j 1 < j 2 a i j 1 < a i j 2 a_{ij_1}<a_{ij_2} a i j 1 < a i j 2 { a i j ′ } m × n \{a'_{ij}\}_{m\times n} { a ij ′ } m × n i 1 < i 2 i_1<i_2 i 1 < i 2 a i 1 j ′ ≤ a i 2 j ′ a'_{i_1j}\le a'_{i_2j} a i 1 j ′ ≤ a i 2 j ′ n n n
解答
题面校注：不同列中允许重复数，所以“每列递增排列”须理解为非降序排列；调整后各行仍然严格递增。
只比较任意两列 j < k j<k j < k a i k > a i j a_{ik}>a_{ij} a ik > a ij δ = min i ( a i k − a i j ) > 0 \delta=\min_i(a_{ik}-a_{ij})>0 δ = min i ( a ik − a ij ) > 0 r r r r r r δ \delta δ r r r r r r δ \delta δ r r r r r r a r k ′ ≥ a r j ′ + δ > a r j ′ a'_{rk}\ge a'_{rj}+\delta>a'_{rj} a r k ′ ≥ a r j ′ + δ > a r j ′