2012年北京大学北约自主招生测试 · 参考解答

答案速览

题号	1	2	3	4	5	6
答案	C	C	C	D	D	A
题号	7	8	9	10
答案	$a=1$	$3/4$	见证明	见证明

逐题解析

第 1 题

题目

函数 $y=\lvert x+2\rvert+\lvert1-x\rvert+\lvert x\rvert$ 为增函数，则 $x$ 必属于区间（　）

• A. $(-\infty,-2]$
• B. $[-2,0]$
• C. $[0,+\infty)$
• D. $(-\infty,0]$

解答

分界点为 $-2,0,1$；四个开区间上的斜率依次为 $-3,-1,1,3$。故严格递增区间为 $[0,+\infty)$，选 C。

第 2 题

题目

方程 $\sqrt{x+11-6\sqrt{x+2}}+\sqrt{x+27-10\sqrt{x+2}}=1$ 的解的个数为（　）

• A. $1$
• B. $3$
• C. $0$
• D. 无穷多个

解答

令 $t=\sqrt{x+2}\ge0$，两根式分别为 $|t-3|,|t-5|$。由三角不等式其和至少为 $2$，不可能等于 $1$，无解，选 C。

第 3 题

题目

已知方程 $(x^2-2x+m)(x^2-2x+n)=0$ 的四个根组成一个首项为 $\dfrac14$ 的等差数列，则 $\lvert m-n\rvert$ 的值是（　）

• A. $1$
• B. $\dfrac34$
• C. $\dfrac12$
• D. $\dfrac38$

解答

四根总和为 $4$。若首项为 $1/4$、公差为 $d$，则 $1+6d=4$，故 $d=1/2$，四根为 $1/4,3/4,5/4,7/4$。每个二次因子的两根和为 $2$，只能配为 $(1/4,7/4)$ 与 $(3/4,5/4)$。两常数项分别为 $7/16,15/16$，差的绝对值为 $1/2$，选 C。

第 4 题

题目

设 $O$ 是锐角三角形 $ABC$ 外接圆的圆心，它到三边 $a,b,c$ 的距离分别是 $k,m,n$，则（　）

• A. $k:m:n=a:b:c$
• B. $k:m:n=\dfrac1a:\dfrac1b:\dfrac1c$
• C. $k:m:n=\sin A:\sin B:\sin C$
• D. $k:m:n=\cos A:\cos B:\cos C$

解答

设外接圆半径为 $R$，圆心到边 $a$ 的距离为 $\sqrt{R^2-a^2/4}=R\cos A$，其中锐角保证余弦为正。其余两边同理，故选 D。

第 5 题

题目

已知 $A(-2,0),B(0,2)$，点 $C$ 是圆 $x^2+y^2-2x=0$ 上的动点，则三角形 $ABC$ 面积的最小值是（　）

• A. $3$
• B. $2$
• C. $3+\sqrt2$
• D. $3-\sqrt2$

解答

直线 $AB$ 为 $y=x+2$，圆心为 $(1,0)$、半径为 $1$。圆心到直线距离为 $3/\sqrt2>1$，故圆上点到直线的最小距离为 $3/\sqrt2-1$。又 $AB=2\sqrt2$，最小面积为 $3-\sqrt2$，选 D。

第 6 题

题目

从 $1,2,\ldots,2012$ 中挑选一些数，其中没有两数之和可以被其差整除。选出的这些数最多有（　）

• A. $671$ 个
• B. $672$ 个
• C. $673$ 个
• D. 以上都不对

解答

任意三个连续整数中任取两个，其差为 $1$ 或 $2$；差为 $1$ 必整除和，差为 $2$ 时两数同奇偶，和仍被差整除。因此每三个连续整数最多选一个。将 $1,\ldots,2010$ 分成 $670$ 个连续三数组，再考虑 $2011,2012$，最多选 $671$ 个。

选择全部模 $3$ 余 $1$ 的数，恰有 $671$ 个。任意两数之差被 $3$ 整除，而和模 $3$ 余 $2$，所以差不可能整除和。上界可达，选 A。

第 7 题

题目

求出参数 $a$ 的值，使得方程 $\sin2x\sin4x-\sin x\sin3x=a$ 在区间 $[0,\pi)$ 上有唯一的解。

解答

记左侧为 $F(x)$，积化和差得到

$$F(x)=\frac{\cos4x-\cos6x}{2}.$$

在 $(0,\pi)$ 内，除 $x=\pi/2$ 外的解必与 $\pi-x$ 成对出现。因此唯一解只能位于 $0$ 或 $\pi/2$，对应 $a=0$ 或 $a=1$。

令 $t=\cos2x$，则 $F=-2t^3+t^2+3t/2-1/2$。当 $a=0$，除 $t=1$ 外还有 $t=(-1\pm\sqrt5)/4$，均在 $(-1,1)$，所以不唯一。当 $a=1$，

$$F-1=-\frac12(t+1)(4t^2-6t+3).$$

第二因子判别式为 $-12<0$，故只能 $t=-1$，即 $x=\pi/2$。答案为 $a=1$。

第 8 题

题目

设 $A,B,C$ 分别为三边长均为 $1$ 的三角形三边上的一点，求 $AB^2+BC^2+CA^2$ 的最小值。

解答

以三个边的中点为基准点，令 $u,v,w\in[-1/2,1/2]$ 为三个点沿三条循环定向边的有向位移。三条边的单位方向向量夹角均为 $120^\circ$。展开三个距离平方并相加，一次项互相抵消，得到

$$AB^2+BC^2+CA^2 =\frac34+2(u^2+v^2+w^2)+uv+vw+wu =\frac34+\frac32(u^2+v^2+w^2)+\frac12(u+v+w)^2.$$

故最小值为 $3/4$，当且仅当三点均为边中点时取得。

第 9 题

题目

证明：内角相等的圆内接五边形必为正五边形。

解答

令相邻顶点所对的五段圆弧弧度为 $\alpha_1,\ldots,\alpha_5>0$。各内角相等，意味着各顶点两侧相邻小弧之和相等，即 $\alpha_{i-1}+\alpha_i$ 为常数。相邻两式相减得 $\alpha_{i-1}=\alpha_{i+1}$；因为下标周期是奇数 $5$，五弧全部相等，故五条弦也相等。等角且等边，因此为正五边形。

第 10 题

题目

证明：$\sqrt2+1$ 的任何正整数次幂均可写成 $\sqrt s+\sqrt{s-1}$ 的形式，其中 $s$ 为正整数。例如

$$(\sqrt2+1)^2=\sqrt9+\sqrt8,\qquad (\sqrt2+1)^3=\sqrt{50}+\sqrt{49}.$$

解答

由二项式展开，$(1+\sqrt2)^n=A+B\sqrt2$，其中 $A,B$ 为正整数；共轭式为 $(1-\sqrt2)^n=A-B\sqrt2$。两式相乘给出 $A^2-2B^2=(-1)^n$。

若 $n$ 为偶数，取 $s=A^2$，则 $s-1=2B^2$，故原数为 $\sqrt s+\sqrt{s-1}$。若 $n$ 为奇数，取 $s=2B^2$，则 $s-1=A^2$，仍得到同样表示。两种情形均保证 $s$ 为正整数。