2011年北京大学夏令营数学试题 · 参考解答

答案速览

题号	1	2	3	4	5
答案	两个最小值均为 $0$	见证明	见证明	不存在	见证明

逐题解析

第 1 题

题目

已知 $f(x)=ax^2+8x+b$，$g(x)=bx^2+8x+a$，且

$$f(x)_{\min}+g(x)_{\min}=0.$$

求 $f(x)_{\min}$ 与 $g(x)_{\min}$。

解答

存在有限最小值要求 $a,b>0$。两最小值分别为 $(ab-16)/a$、$(ab-16)/b$，其和为 $(ab-16)(a+b)/(ab)$。因此 $ab=16$，两者均为零。

第 2 题

题目

$\sin x,\sin y,\sin z$ 成严格递增的等差数列。求证：$\cos x,\cos y,\cos z$ 不成等差数列。

解答

若余弦也成等差数列，则单位圆上的三个向量满足 $2u_y=u_x+u_z$。取模平方，$4=2+2\cos(x-z)$，故 $\cos(x-z)=1$，从而 $\sin x=\sin z$，与正弦严格递增矛盾。

第 3 题

题目

抛物线上有两点 $A,B$，弦 $AB$ 的中点为 $K$，抛物线在 $A,B$ 两点处的切线相交于点 $C$。求证：线段 $CK$ 的中点在该抛物线上。

解答

通过平移旋转坐标，把抛物线写成 $y=ax^2$，$a\ne0$。设两点横坐标为 $u\ne v$，则

$$K=((u+v)/2,a(u^2+v^2)/2).$$

两切线为 $y=2aux-au^2$、$y=2avx-av^2$，交点 $C=((u+v)/2,auv)$。故 $CK$ 的中点为 $((u+v)/2,a(u+v)^2/4)$，满足抛物线方程。

第 4 题

题目

是否存在定义在全体实数上的实值函数 $f$，使得对任意整数 $n$ 都有

$$f(-n^2+3n+1)=f(n)^2+2?$$

解答

分别取 $n=1,3$，得 $f(3)=f(1)^2+2$、$f(1)=f(3)^2+2$。对任意实数 $t$ 都有 $t^2+2>t$，所以前式给出 $f(3)>f(1)$，后式给出相反不等式，矛盾。

第 5 题

题目

正 $N$ 边形的顶点依次为 $A_1,A_2,\ldots,A_N$。将 $A_kA_{k+1}$ 延长至点 $B_{k+1}$（下标按模 $N$ 计算，即 $A_{N+1}=A_1$，$B_{N+1}=B_1$），使三角形 $A_kB_kB_{k+1}$ 的周长都相等。求证：这些三角形全等。

解答

设正多边形边长为 $s$，$d_k=A_kB_k>0$。各三角形在 $A_k$ 处夹角均为同一角 $\theta\in(0,\pi)$，另两邻边为 $d_k,s+d_{k+1}$。其周长函数

$$F(u,v)=u+v+\sqrt{u^2+v^2-2uv\cos\theta}$$

对 $u,v>0$ 都严格递增，因为 $\partial F/\partial u=1+(u-v\cos\theta)/\sqrt{u^2+v^2-2uv\cos\theta}>0$，另一偏导同理。

固定公共周长后，$d_{k+1}$ 是 $d_k$ 的严格递减函数 $H$。于是 $H^2$ 严格递增。在有限循环中，若 $H^2(d)>d$，反复迭代便得到严格递增循环而矛盾；若小于亦然。因此 $d_{k+2}=d_k$，各长度至多交替取 $u,v$ 两值。

比较相邻两三角形，前两边和都为 $s+u+v$；周长相等迫使第三边相等。其平方之差为

$$[u^2+(s+v)^2-2u(s+v)\cos\theta] -[v^2+(s+u)^2-2v(s+u)\cos\theta] =2s(v-u)(1+\cos\theta).$$

由于 $s>0$、$1+\cos\theta>0$，得到 $u=v$。故所有 $d_k$ 相等，全部三角形由边角边条件全等。