2011年北京大学保送生测试数学试题 · 参考解答

答案速览

题号	1	2	3	4	5
答案	见证明	$AB^2=BC\cdot CA$	$a=0$	见证明	均为 $3/2$

逐题解析

第 1 题

题目

设双曲线的两个焦点为 $F_1,F_2$，$P$ 是双曲线上的任意一点。求证：双曲线在 $P$ 点处的切线平分 $\angle F_1PF_2$。

解答

在非顶点处，令 $u_i=\overrightarrow{PF_i}/PF_i$ 为两条焦半径的单位向量。沿双曲线有 $PF_1-PF_2$ 或其相反数为常数，故切向量垂直于 $u_1-u_2$。又 $(u_1+u_2)\cdot(u_1-u_2)=0$，所以切线方向平行于 $u_1+u_2$，正是两焦半径夹角的内角平分线方向。在双曲线顶点，两焦半径方向相反，切线垂直实轴，平分这一平角，结论仍成立。

第 2 题

题目

如图所示，$\angle ACL=\angle BCL=\angle CBL=\angle BAL$。求证：$\triangle ABC$ 的三边长成等比数列。

解答

设题中四个相等角为 $\alpha$，则 $C=2\alpha$，且 $\triangle BCL$ 中 $BL=CL$。在 $\triangle ABL$ 中，$\angle ALB=\pi-B$，故由正弦定理 $BL/AB=\sin\alpha/\sin B$；在 $\triangle BCL$ 中，$BL/BC=\sin\alpha/\sin C$。相除得到 $BC/AB=\sin C/\sin B=AB/AC$，即 $AB^2=BC\cdot AC$。因此按 $BC,AB,AC$ 的顺序，三边成等比数列。

第 3 题

题目

已知 $f(x)=ax+\sin x$ 的图像上有两条切线相互垂直，求 $a$ 的值。

解答

所有切线斜率构成区间 $[a-1,a+1]$。若两斜率为 $k>0$ 和 $-1/k$，其差 $k+1/k\ge2$，而斜率区间长度恰为 $2$。所以只能 $k=1$，且区间端点为 $-1,1$，从而 $a=0$。反之，$a=0$ 时在 $x=0,\pi$ 处切线斜率分别为 $1,-1$，确实垂直。

第 4 题

题目

已知 $f(x)=x^2+px+q$，方程 $f(f(x))=0$ 恰有一个实数解。求证：$p\ge0$，$q\ge0$。

解答

令 $m=q-p^2/4$ 为 $f$ 的最小值。因复合方程有解，$f(t)=0$ 至少有一实根。

若 $f$ 只有一个实根 $r$，则判别式为零、$m=0$，而 $f(x)=r$ 恰有一解要求 $r=m=0$，所以 $p=q=0$。

若 $f$ 有不同实根 $r<s$，方程 $f(f(x))=0$ 等价于 $f(x)=r$ 或 $f(x)=s$。水平线低于、等于、高于 $m$ 时分别与抛物线有 $0,1,2$ 个交点，故总计恰一解只能是 $r<m=s$。两实根又要求判别式 $p^2-4q=-4m>0$，于是 $r<s=m<0$。由韦达定理，$p=-(r+s)>0,q=rs>0$。两种情形合起来即得结论。

第 5 题

题目

单位圆 $x^2+y^2=1$ 上有三点 $(x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3)$，且

$$x_1+x_2+x_3=y_1+y_2+y_3=0.$$

求证：

$$x_1^2+x_2^2+x_3^2=y_1^2+y_2^2+y_3^2=\frac32.$$

解答

记三个点对应的单位向量为 $u_1,u_2,u_3$，其和为零。从 $|u_1+u_2|^2=|u_3|^2=1$ 得 $u_1\cdot u_2=-1/2$，其余两对同理。所以三点在单位圆上等距，辐角可写为 $\theta,\theta+2\pi/3,\theta+4\pi/3$。由 $\cos^2 t=(1+\cos2t)/2$ 以及三个等分角余弦之和为零，得 $\sum x_i^2=3/2$；再由 $\sum(x_i^2+y_i^2)=3$ 得 $\sum y_i^2=3/2$。