2010年北京大学全国优秀中学生夏令营数学试题 · 参考解答

答案速览

题号	1	2	3	4	5
答案	见证明	最小值 $2$	见证明	全部正偶数	$10$

逐题解析

第 1 题

题目

在一个双向无穷等比数列中，有三项为 $\sin x,\cos x,\tan x$。求证：$\cot x$ 是该数列的一项。

解答

把双向无穷等比数列写成 $aq^n$（$n\in\mathbb Z$，$aq\ne0$）。设 $\sin x=aq^i,\cos x=aq^j,\tan x=aq^k$。由 $\sin x=\cos x\tan x$ 得 $a=q^{i-j-k}$，于是

$$\cot x=q^{j-i}=a q^{k+2j-2i},$$

其指数为整数，故为该数列的一项。

第 2 题

题目

求证：当 $x\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$ 时，

$$(\tan x)^{\sin x}+(\cot x)^{\cos x}\ge 2.$$

解答

两项的乘积为 $(\tan x)^{\sin x-\cos x}\ge1$：当 $x\ge\pi/4$ 时底数与指数分别不小于 $1$、$0$；当 $x\le\pi/4$ 时二者分别不大于 $1$、$0$。由算术—几何平均不等式，两项之和至少为 $2$。等号当且仅当 $x=\pi/4$。

第 3 题

题目

已知三条抛物线

$$P_1:y=x^2+b_1x+c_1,\qquad P_2:y=x^2+b_2x+c_2,\qquad P_3:y=ax^2+bx+c,$$

且 $P_1,P_2$ 不重合，都与 $P_3$ 相切于不同的点。求证：两个切点的连线平行于 $P_1,P_2$ 的公切线。

解答

按两切点不同、两条抛物线 $P_1,P_2$ 不重合的非退化情形理解。设切点横坐标为 $u\ne v$，则 $a\ne1$，且

$$P_3-P_1=(a-1)(x-u)^2,\qquad P_3-P_2=(a-1)(x-v)^2.$$

比较系数得 $b_1=b+2(a-1)u,b_2=b+2(a-1)v$，以及 $c_1=c-(a-1)u^2,c_2=c-(a-1)v^2$。斜率为 $m$ 的直线分别与 $P_1,P_2$ 相切时，其纵截距须同时等于 $c_i-(m-b_i)^2/4$。故

$$4(c_1-c_2)=(b_2-b_1)(2m-b_1-b_2),$$

代入上式并约去非零因子 $u-v$，得 $m=b+a(u+v)$。这正是 $P_3$ 上两切点的连线斜率，结论成立。

第 4 题

题目

将 $1,2,\ldots,4n$ 分成 $n$ 组，每组有四个数，并且每组中有一个数等于其余三个数的算术平均数。求所有可能的正整数 $n$。

解答

每组四数之和为被选作平均数的数的 $4$ 倍，所以总和 $2n(4n+1)$ 必被 $4$ 整除，迫使 $n$ 为偶数。

反之，$1,\ldots,8$ 可分成 $\{1,5,6,8\}$、$\{2,3,4,7\}$，其中平均数分别为 $5,4$。若 $n=2k$，将每个连续的八数块都按这种方式分组（同时加上 $8j$，$0\le j<k$）；平移保持平均数关系，故所有正偶数均可行。

第 5 题

题目

如图，$\odot O$ 是等腰梯形 $ABCD$ 的内切圆，$M$ 为腰 $CD$ 上的切点，$P,T$ 分别为直线 $AM,BM$ 与圆的另一个交点。求

$$\frac{AM}{AP}+\frac{BM}{BT}.$$

解答

图中 $P$、$T$ 分别是割线 $AM$、$BM$ 与圆的另一个交点，$M$ 为腰 $DC$ 上的切点。设 $AD=2a,BC=2b$。等腰性及切线长相等给出 $DM=a,CM=b$；从 $A,B$ 向圆引出的切线长分别为 $a,b$。因此由点幂定理，

$$AP\cdot AM=a^2,\qquad BT\cdot BM=b^2.$$

在三角形 $ADM$、$BCM$ 中使用余弦定理，

$$\frac{AM}{AP}=\frac{AM^2}{a^2}=5-4\cos D,\qquad \frac{BM}{BT}=\frac{BM^2}{b^2}=5-4\cos C.$$

梯形两底平行，$C+D=\pi$，两余弦之和为零，故所求为 $10$。