2007年北京大学自主招生测试 · 参考解答

答案速览

题号	1	2	3	4
答案	$660$	$(2,-3),(-6,5)$	$(2,3,1),(3,5/2,-1)$	$\sqrt{a^2+(b+c)^2}$

逐题解析

第 1 题

题目

已知 $f(x)=x^2-53x+196+\lvert x^2-53x+196\rvert$，求 $f(1)+f(2)+f(3)+\cdots+f(50)$。

解答

记 $q(x)=x^2-53x+196=(x-4)(x-49)$。在整数 $1\le x\le50$ 中，只有 $x=1,2,3,50$ 时 $q(x)>0$，其余各项 $f(x)=0$。故所求为 $2(144+94+46+46)=660$。

第 2 题

题目

求证：对任意实数 $k$，$x^2+y^2-2kx-(2k+6)y-2k-31=0$ 恒过两定点。

解答

方程写成 $x^2+y^2-6y-31-2k(x+y+1)=0$。与 $k$ 无关的点恰须同时满足 $x+y+1=0$ 和 $x^2+y^2-6y-31=0$。代入 $y=-x-1$，得到 $2(x-2)(x+6)=0$，即 $(2,-3),(-6,5)$；代回原式对任意 $k$ 均成立。

第 3 题

题目

解方程组

$$\begin{cases} xy=2x+y-1,\\ yz=2z+3y-8,\\ xz=4z+3x-8. \end{cases}$$

解答

三个方程等价于

$$(x-1)(y-2)=1,\qquad(y-2)(z-3)=-2,\qquad(x-4)(z-3)=4.$$

因此 $x\ne1,4$，且 $y-2=1/(x-1)$、$z-3=4/(x-4)$。代入第二式得 $(x-1)(x-4)=-2$，即 $(x-2)(x-3)=0$。依次回代得到全部解 $(2,3,1)$、$(3,5/2,-1)$，两组均满足原方程。

第 4 题

题目

长方体中 $a,b,c$ 为棱长，$a>b>c$，求沿长方体表面从 $P$ 到 $Q$ 的最小距离（其中 $P,Q$ 是长方体对角线两个端点）。

解答

把经过相邻两个面的路线展开，三种基本展开矩形的对角线长度分别为

$$\sqrt{a^2+(b+c)^2},\quad\sqrt{b^2+(a+c)^2},\quad\sqrt{c^2+(a+b)^2}.$$

说明没有更短的路线：令起点为 $(0,0,0)$、终点为 $(a,b,c)$。任何表面路线第一次到达三个对面 $x=a,y=b,z=c$ 中之一时，必经过一条“一坐标达到上限、另一坐标为零”的棱。例如经过 $(a,t,0)$，路线长度至少为 $\sqrt{a^2+t^2}+\sqrt{c^2+(b-t)^2}\ge\sqrt{(a+c)^2+b^2}$，最后一步是平面向量三角不等式。其他五条可能的棱同理给出上列三种长度之一。因此只须比较三种。三者平方的共同部分为 $a^2+b^2+c^2$，附加项依次为 $2bc,2ac,2ab$；因 $a>b>c>0$，第一种最短。相应矩形对角线确实跨过两面公共棱，故答案为 $\sqrt{a^2+(b+c)^2}$。