2023年南京大学强基计划数学试题 · 参考解答

以源 PDF 的题号为准，并核对 DOCX 中的题面、解析图片。第 11、12 题原材料只有主题，当前对应题目为明确标注的教学编拟，不能作为原题引用。

答案速览

题号	答案	题号	答案
1	$[0,2]$	7	$\sqrt{c^2+(a+b)^2}$
2	$\pi/2-1$	8	$1260$
3	$37/125$	9	$\sqrt{4\beta-\alpha^2}/4$
4	$1$	10	$265$（修订集合对象后）
5	$14$	11	$[295/8,332/9)$（编拟）
6	$(-1\pm i\sqrt3)/2$	12	$35,39,45,52,56,70,72,78,84,90$（编拟）

逐题解析

第 1 题

题目

平分圆 $x^2-2x+y^2-4y=0$ 的直线不经过第四象限，求其斜率的范围。

解答

圆心为 $(1,2)$。平分圆的直线经过圆心，非竖直时写为 $y=kx+2-k$。不经过第四象限要求所有 $x>0$ 均有 $y\ge0$。

若 $k<0$，充分大的正 $x$ 使 $y<0$；若 $k>2$，充分小的正 $x$ 使 $y<0$。若 $0\le k\le2$，则 $kx+2-k\ge0$，满足要求。竖直线 $x=1$ 经过第四象限，不合条件。因此斜率范围为 $[0,2]$。

第 2 题

题目

在单位正方形中均匀随机取点 $(x,y)$。求同时满足 $x^2+y^2\leqslant1$ 与 $(x-1)^2+(y-1)^2\leqslant1$ 的概率。

解答

两个不等式在单位正方形中各表示一个半径为 $1$ 的四分之一圆盘，面积均为 $\pi/4$。它们的并集覆盖整个正方形：若 $x+y\le1$，则 $x^2+y^2\le(x+y)^2\le1$；否则 $(1-x)+(1-y)\le1$，点落在另一圆盘中。

由容斥，交集面积为 $\pi/4+\pi/4-1=\pi/2-1$。正方形面积为 $1$，均匀取点的概率即为该值。

第 3 题

题目

从 $1,2,3,4,5$ 中有放回地取数字三次，求所取三个数的最小值为 $2$ 的概率。

解答

三个数全部至少为 $2$ 有 $4^3$ 种，其中全部至少为 $3$ 有 $3^3$ 种，二者相减恰为最小值等于 $2$ 的情况。总样本数为 $5^3$，故概率为 $(4^3-3^3)/5^3=37/125$。

第 4 题

题目

若 $\dfrac{\sin^4\alpha}{\sin^2\beta}+\dfrac{\cos^4\alpha}{\cos^2\beta}=1$，求 $\dfrac{\sin^4\beta}{\sin^2\alpha}+\dfrac{\cos^4\beta}{\cos^2\alpha}$。

解答

令 $u=\sin^2\alpha$、$v=\sin^2\beta$。原分母有意义要求 $0<v<1$，且有恒等式

$$\frac{u^2}{v}+\frac{(1-u)^2}{1-v} =1+\frac{(u-v)^2}{v(1-v)}.$$

题设迫使 $u=v$，并同时保证 $0<u<1$，所以所求分式也有意义。交换 $u,v$ 后其值仍为 $1$。

解析校注： DOCX 参考过程错误地把等号条件进一步限制成某个固定比例；实际只需 $\sin^2\alpha=\sin^2\beta$，不必两者都等于 $1/2$。参考最终数值恰好正确。

第 5 题

题目

求满足 $\dfrac1x+\dfrac1y=\dfrac1{30}$ 且 $x\leqslant y$ 的正整数解的组数。

解答

两数都必须大于 $30$。原式等价于 $(x-30)(y-30)=900$，且 $1\le x-30\le y-30$。由 $900=2^2\cdot3^2\cdot5^2$，共有 $27$ 个正因数；除平方根 $30$ 单独配对外，其余两两配对，因此解的组数为 $(27+1)/2=14$。

第 6 题

题目

实系数方程 $ax^2+bx+c=0$ 的两根为 $\alpha,\beta$，其中 $\alpha$ 是虚数且 $\alpha^2/\beta$ 是实数，求 $\alpha/\beta$。

解答

实系数二次方程的非实根成共轭对，故 $\beta=\overline\alpha$，两者非零且不相等。因 $\alpha^2/\beta$ 为实数，它等于其共轭 $\beta^2/\alpha$，所以 $\alpha^3=\beta^3$。于是 $w=\alpha/\beta$ 满足 $w^3=1$ 且 $w\ne1$，得到

$$w^2+w+1=0,\qquad w=\frac{-1\pm i\sqrt3}{2}.$$

两值均能由非实共轭根实现，例如选取模为 $1$、辐角为 $\pm\pi/3$ 的共轭根。

第 7 题

题目

已知 $a>0,b>0,x+y=c$，求 $\sqrt{x^2+a^2}+\sqrt{y^2+b^2}$ 的最小值。

解答

把两项看成向量 $(x,a)$、$(y,b)$ 的长度，三角不等式给出

$$\sqrt{x^2+a^2}+\sqrt{y^2+b^2}\ge\sqrt{(x+y)^2+(a+b)^2} =\sqrt{c^2+(a+b)^2}.$$

等号要求两向量同向。由于 $a,b>0$，取 $x=ac/(a+b),y=bc/(a+b)$ 即符合，不论实数 $c$ 的正负均可。因此该下界就是最小值。

第 8 题

题目

定义 $f(n)=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(k^2+3k+2,n)$，其中 $(\ ,\ )$ 表示最大公因数，求 $f(100)$。

解答

记 $m=(k+1)(k+2)$。因为 $4,25$ 互素，$\gcd(m,100)=\gcd(m,4)\gcd(m,25)$。

模 $4$ 的四个剩余类中，$\gcd(m,4)$ 分别为 $2,2,4,4$。模 $25$ 时，$5\mid m$ 当且仅当 $k\equiv-1,-2\pmod5$，共占 $10$ 个剩余类；其中 $25\mid m$ 恰占 $k\equiv-1,-2\pmod{25}$ 两类，因为相邻整数不可能同时被 $5$ 整除。因此 $\gcd(m,25)$ 为 $1,5,25$ 的剩余类数依次为 $15,8,2$。

$1\le k\le100$ 恰好遍历模 $4$ 与模 $25$ 的全部剩余数组合，故

$$f(100)=(2+2+4+4)(15+8\cdot5+2\cdot25)=12\cdot105=1260.$$

答案校注： DOCX 参考给出 $1136$，其各最大公因数的分类数有误。正确地，公因数 $2,4,10,20,50,100$ 分别出现 $30,30,16,16,4,4$ 次。

第 9 题

题目

三角形的三边为 $a,b,c$，且 $a^2+b^2+c^2=\alpha$，$a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=\beta$，求三角形面积。

解答

由面积公式和余弦定理，

$$16\Delta^2=4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2 =2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)-(a^4+b^4+c^4).$$

而 $a^4+b^4+c^4=\alpha^2-2\beta$，所以 $16\Delta^2=4\beta-\alpha^2$。三角形非退化使右边为正，面积为 $\sqrt{4\beta-\alpha^2}/4$。

第 10 题

题目

【集合对象修订】令 $a_n$ 为正整数 $n$ 的三进制数位和，例如 $a_7=3,a_9=1$。记 $S=\{n\mid a_n=5,\ 1\le n\le2023\}$，求 $|S|$。

解答

题面校注： 源 PDF 与 DOCX 都把集合元素写成 $a_n$，按字面只能得到 $S=\{5\}$、基数 $1$（例如 $17=(122)_3$ 的数位和为 $5$）。教学版把集合元素改为 $n$，与“数位和为 5 的整数个数”及源参考计算的对象一致。

$2023=(2202221)_3<3^7$，把所有数都补成七位三进制数。数位和为 $5$ 的数字组合只有三种：五个 $1$；一个 $2$ 加三个 $1$；两个 $2$ 加一个 $1$。不考虑上界时，个数为

$$\binom75+\binom71\binom63+\binom72\binom51=21+140+105=266.$$

其中若最高两位不同时为 $2$，数值必小于上界；若最高两位为 $22$，剩余数位和只有 $1$，只有把这个 $1$ 放在第三位得到的 $(2210000)_3=2025$ 超过上界。其余位置都不超过 $(2202221)_3$。因此扣去这一个，得到 $265$。

第 11 题

题目

【教学编拟：原材料仅存“高斯函数”主题】求所有实数 $x$，使 $\displaystyle\sum_{j=1}^{10}\lfloor jx\rfloor=2023$，并说明解集端点的取舍。

解答

教学编拟说明： 原材料只有“与高斯函数有关”，无法恢复题干；本题是沿该主题另拟的取整方程，以下不代表原试题答案。

由 $jx-1<\lfloor jx\rfloor\le jx$，累加得到 $2023\le55x<2033$，所以 $36<x<37$。令 $x=36+t$，$0<t<1$，原式化为

$$\sum_{j=1}^{10}\lfloor jt\rfloor=43.$$

当 $7/8\le t<8/9$ 时，十个取整值依次是 $0,1,2,3,4,5,6,7,7,8$，和为 $43$。若 $t<7/8$，每项都不超过在 $7/8$ 处的值，且第八项至少小一，故总和至多 $42$。若 $t\ge8/9$，每项都不小于在 $8/9$ 处的值，总和至少 $44$。

因此 $t\in[7/8,8/9)$，原解集为 $[295/8,332/9)$；左端取到，右端因第九项跳增而不取。

第 12 题

题目

【教学编拟：原材料仅存“欧拉函数”主题】设 $\varphi(n)$ 表示 $1,\ldots,n$ 中与 $n$ 互素的整数个数。求所有满足 $\varphi(n)=24$ 的正整数 $n$，并证明没有遗漏。

解答

教学编拟说明： 原材料只有“与欧拉函数有关”，本题按该主题另拟为求解 $\varphi(n)=24$。

由容斥或逐个排除素因子的倍数，若 $n=\prod p^{e_p}$，则 $\varphi(n)=\prod p^{e_p-1}(p-1)$。因此每个素因子都须满足 $p-1\mid24$，只可能为 $2,3,5,7,13$，且 $3$ 的指数至多 $2$，$5,7,13$ 的指数至多 $1$。

写 $n=2^a m$，其中 $m$ 为奇数。则 $\varphi(m)$ 必为 $24$ 除以某个 $2$ 的幂，即属于 $\{3,6,12,24\}$。由上述素因子限制，逐项相乘可得到下表；其中 $\varphi(2^a)$ 在 $a=0,1$ 时为 $1$，在 $a\ge2$ 时为 $2^{a-1}$。

奇数部分 $m$	$\varphi(m)$	允许的 $a$	对应 $n$
$7$	$6$	$3$	$56$
$9$	$6$	$3$	$72$
$13$	$12$	$2$	$52$
$21$	$12$	$2$	$84$
$35$	$24$	$0,1$	$35,70$
$39$	$24$	$0,1$	$39,78$
$45$	$24$	$0,1$	$45,90$

说明奇数部分没有遗漏：若含 $13$，其贡献 $12$，其余部分只能为空或一个 $3$；若含 $7$ 而不含 $13$，其贡献 $6$，可再乘一个 $3$ 或一个 $5$，不可同时乘二者；若不含 $7,13$，只能从 $3^b5^c$（$0\le b\le2,0\le c\le1$）中选，只有 $9,45$ 合格。空的奇数部分以及其他组合，都使 $24/\varphi(m)$ 不是 $2$ 的幂。

因此全部解为 $35,39,45,52,56,70,72,78,84,90$，共十个。