2022年南京大学强基计划数学试题（复试） · 参考解答

本卷三题与同年初试分开编号、独立维护。

答案速览

题号	1	2	3
答案	两个严格不等式均成立	$\alpha=\beta=\pi/3$	$a_n\in\mathbb Z$；个位数 $1$

逐题解析

第 1 题

题目

设整数 $n>1$，证明：

$$\left(\frac{n+1}{3}\right)^n<n!<\left(\frac{n+1}{2}\right)^n.$$

解答

明确 $n$ 为大于 $1$ 的整数。算术几何平均不等式直接给出

$$n!<\left(\frac{1+2+\cdots+n}{n}\right)^n =\left(\frac{n+1}{2}\right)^n,$$

因 $1,\ldots,n$ 不全相等，故为严格不等式。

下界用归纳法。先证对任意正整数 $m$ 有 $(1+1/m)^m<3$：二项式展开的第 $j$ 项 $\binom mj/m^j\le1/j!$，而 $j!\ge2^{j-1}$（$j\ge2$），故有限和严格小于 $1+1+\sum_{j=2}^{\infty}2^{-(j-1)}=3$。

$n=2$ 时 $((n+1)/3)^n=1<2=n!$。若 $n!>((n+1)/3)^n$，则

$$(n+1)!>(n+1)\left(\frac{n+1}{3}\right)^n >\left(\frac{n+2}{3}\right)^{n+1},$$

最后一步恰等价于 $(1+1/(n+1))^{n+1}<3$。归纳完成。

第 2 题

题目

设 $\alpha,\beta\in(0,\pi)$，且

$$\cos\alpha+\cos\beta-\cos(\alpha+\beta)=\frac32,$$

求 $\alpha,\beta$。

解答

令 $u=(\alpha+\beta)/2\in(0,\pi)$，$v=(\alpha-\beta)/2\in(-\pi/2,\pi/2)$。原式左边为 $1+2\cos u\cos v-2\cos^2u$。

若 $\cos u\le0$，由于 $\cos v>0$，左边至多为 $1$，不符合要求。因此 $t=\cos u>0$。又 $\cos v\le1$，所以

$$1+2t\cos v-2t^2\le1+2t-2t^2 =\frac32-2(t-1/2)^2\le\frac32.$$

等于 $3/2$ 必须同时满足 $t=1/2$、$\cos v=1$，从区间限制得 $u=\pi/3,v=0$，即 $\alpha=\beta=\pi/3$。代回确实成立。

第 3 题

题目

方程 $x^2-6x+1=0$ 的两个根为 $x_1,x_2$，并设

$$a_n=\frac{x_1^n+x_2^n}{2}.$$

1. 求证：$a_n\in\mathbb Z$；
2. 求 $a_{2022}$ 的个位数。

解答

由根方程，$x_i^{n+2}=6x_i^{n+1}-x_i^n$。令 $a_0=1$，则 $a_1=3$，且

$$a_{n+2}=6a_{n+1}-a_n.$$

由归纳法所有 $a_n$ 都是整数。

模 $10$ 递推，从 $a_0$ 开始得到 $1,3,7,9,7,3,1,3$。最后两项重新出现最初的有序对 $(1,3)$，递推由相邻两项唯一决定，故之后以 $6$ 为周期。因 $2022$ 是 $6$ 的倍数，$a_{2022}\equiv a_0\equiv1\pmod{10}$，个位数为 $1$。