2023年复旦大学强基计划数学试题 · 参考解答

本卷第 2、4 题已作教学修订或改编；以下解析与当前同名 TeX、PDF 对应。

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题号	1	2	3	4	5	6
答案	$[(3-\sqrt5)^2/5,+\infty)$	$4$	$1349$	$h=3/4$，切点 $(1/2,1/2)$，面积 $5/3$	三根均为实数（计重数）	$c_n=30n-29+6^{n-1}$

逐题解析

第 1 题

题目

二元函数

$$f(x,y)=(x+\cos y)^2+(2x+3+\sin y)^2$$

的值域是______。

解答

固定 $y$，配方得

$$f(x,y)=5\left(x+\frac{\cos y+2\sin y+6}{5}\right)^2 +\frac{(3+\sin y-2\cos y)^2}{5}.$$

由于 $\sin y-2\cos y\in[-\sqrt5,\sqrt5]$ 且 $3-\sqrt5>0$，第二项的最小值为 $(3-\sqrt5)^2/5$，可以取到。选择达到此值的 $y$ 后，第一项随 $x$ 取遍 $[0,+\infty)$，因此值域正是

$$\boxed{\left[\frac{(3-\sqrt5)^2}{5},+\infty\right)}.$$

第 2 题

题目

【修订】 设复数 $z$ 满足 $|z|=1$ 且 $z\ne\pm1$，令 $\omega=\dfrac{z+1}{z-1}$，求 $\left|\dfrac1{\omega^2}+4\omega^2\right|$ 的最小值。

解答

因 $|z|=1$，$\bar z=1/z$，从而

$$\bar\omega=\frac{\bar z+1}{\bar z-1}=\frac{1+z}{1-z}=-\omega.$$

故 $\omega=it$，其中 $t$ 为实数；$z\ne-1$ 保证 $t\ne0$。于是

$$\left|\frac1{\omega^2}+4\omega^2\right|=\frac1{t^2}+4t^2\ge4.$$

等号在 $t^2=1/2$ 时成立。反解 $z=(\omega+1)/(\omega-1)$，这时 $|z|=1$ 且 $z\ne\pm1$，符合全部条件。因此最小值为 $\boxed4$。

第 3 题

题目

求正整数 $n$ 的值，使得 $(1+2x)^{2023}$ 展开式中的 $x^n$ 的系数最大。

解答

设 $x^n$ 系数为 $u_n=\binom{2023}{n}2^n$。对 $1\le n\le2023$，

$$\frac{u_n}{u_{n-1}}=\frac{2(2024-n)}n.$$

该比值大于 $1$ 当且仅当 $3n<4048$，所以 $u_n$ 在 $n\le1349$ 时递增，从 $n=1350$ 起递减，没有相等的相邻峰值。因此 $\boxed{n=1349}$。

第 4 题

题目

【修订】 设 $h>0$，四条抛物线分别为

$$y=h-x^2,\qquad x=h-y^2,\qquad y=x^2-h,\qquad x=y^2-h.$$

已知前两条抛物线在第一象限的某个公共点处具有相同的切线。

1. 求 $h$ 及该公共点的坐标；
2. 求由不等式 $|y|+x^2\le h$、$|x|+y^2\le h$ 确定的平面区域的面积。

解答

设第一象限公共点为 $(u,v)$，则

$$v=h-u^2,\qquad u=h-v^2.$$

相减得到 $(v-u)(1-u-v)=0$。两条曲线在该点的切线斜率分别为 $-2u$ 与 $-1/(2v)$；切线相同给出 $uv=1/4$。若 $u=v$，得 $u=v=1/2$；若 $u+v=1$，则 $(u-v)^2=(u+v)^2-4uv=0$，仍得同一结果。因此

$$\boxed{h=3/4,\qquad (u,v)=(1/2,1/2)}.$$

代回两条曲线，它们在此点的斜率都为 $-1$，确实满足条件。

面积问题关于两坐标轴及直线 $y=x$ 对称。先看第一象限：正方形 $[0,1/2]^2$ 全部满足两个不等式；若 $x,y>1/2$，则 $y+x^2>3/4$，不在区域内。对 $0\le x\le1/2$，上方边界为 $y=3/4-x^2$，并且

$$\frac34-x-\left(\frac34-x^2\right)^2 =\left(\frac12-x\right)^3\left(x+\frac32\right)\ge0.$$

这保证 $1/2\le y\le3/4-x^2$ 时另一个不等式 $x+y^2\le3/4$ 也成立。交换 $x,y$ 可知右方情形相同。因此整个区域是边长为 $1$ 的中心正方形，加上四个全等的抛物线弓形；上弓形位于 $-1/2\le x\le1/2$、$1/2\le y\le3/4-x^2$。

下面用等分求和计算一个弓形面积，不需要使用积分公式。把其右半部的横坐标区间 $[0,1/2]$ 等分为 $n$ 份，用每段右端点高度 $1/4-(j/(2n))^2$ 作内接矩形。利用左右对称，整个弓形的内接矩形面积和为

$$L_n=\frac1n\sum_{j=1}^n\left(\frac14-\frac{j^2}{4n^2}\right) =\frac14-\frac{(n+1)(2n+1)}{24n^2}\longrightarrow\frac16.$$

对应的外接矩形面积和比 $L_n$ 多 $1/(4n)$，也趋于 $1/6$，故由夹逼可知一个弓形面积确为 $1/6$。所求总面积为

$$\boxed{S=1+4\cdot\frac16=\frac53}.$$

第 5 题

题目

已知实系数函数 $f(x)=x^3+bx^2+cx+d$，当 $-1\leqslant x\leqslant1$ 时， $|f(x)|\leqslant|x+1|$ 恒成立。证明：$f(x)=0$ 的三个根全部为实数。

解答

令 $x=-1$，得 $f(-1)=0$。因此可因式分解为

$$f(x)=(x+1)(x^2+ux+v),\qquad u,v\in\mathbb R.$$

在 $-1<x\le1$ 上约去正数 $x+1$，得到 $|x^2+ux+v|\le1$；由连续性，此不等式在 $x=-1$ 处也成立。分别取 $x=1,-1$，特别得到

$$1+u+v\le1,\qquad 1-u+v\le1.$$

相加可知 $v\le0$，于是二次因子的判别式 $u^2-4v\ge0$。二次因子有两个实根，再加上根 $-1$，所以原三次方程的三个根全部为实数，允许重根。

第 6 题

题目

已知正整数数列 $\{a_n\}$、$\{b_n\}$ 满足 $a_1=b_1=1$，且 $\{a_n\}$ 是等差数列，$\{b_n\}$ 是等比数列。 数列 $\{c_n\}$ 满足 $c_n=a_n+b_n$。若存在正整数 $k$ 满足 $c_k=37$，$c_{k+2}=307$，求数列 $\{c_n\}$ 的通项公式。

解答

设 $a_n=1+(n-1)d$、$b_n=q^{n-1}$。由两列在所有正整数下标处均为正整数，知 $d$ 为非负整数，$q=b_2$ 为正整数。$c_1=2$，所以 $k\ge2$。记 $m=k-1\ge1$，则

$$md+q^m=36,\qquad (m+2)d+q^{m+2}=306.$$

若 $q=1$，第一式给出 $md=35$，两式相减给出 $d=135$，矛盾。因此 $q\ge2$。由 $q^m\le36$ 得 $1\le m\le5$。

当 $m=1$ 时，$d=36-q$，第二式化为 $q^3-3q=198$。对整数 $q\ge2$，$q^3-3q$ 严格递增，而 $q=6$ 恰好满足，得 $d=30$。

当 $2\le m\le5$ 时，用 $d=(36-q^m)/m$ 必须为非负整数，可以列全如下：

$m$	允许的 $(q,d)$	$(m+2)d+q^{m+2}$
$2$	$(2,16),(4,10),(6,0)$	$80,296,1296$
$3$	$(3,3)$	$258$
$4$	$(2,5)$	$94$
$5$	无	无

均不等于 $306$。因此唯一结果为

$$\boxed{c_n=30n-29+6^{n-1}}.$$

此时 $k=2$，代回 $c_2=31+6=37$、$c_4=91+216=307$，两列也都满足正整数条件。