2022年复旦大学强基计划数学试题 · 参考解答

本卷第 1、3 题已作教学修订或改编；以下解析与当前同名 TeX、PDF 对应。

答案速览

题号	结论
1	$[8,+\infty)$；等号时 $\{\tan B,\tan C\}=\{2-\sqrt2,2+\sqrt2\}$
2	$1$
3	$m\in(0,2)$；$ab+cd\in(75/4,25)$

逐题解析

第 1 题

题目

【修订】 在 $\triangle ABC$ 中，$B,C$ 均为锐角且 $B\ne C$，并满足 $\sin A=2\sin B\sin C$。

1. 求 $\tan A\tan B\tan C$ 的取值范围；
2. 求该式取得最小值时 $\tan B,\tan C$ 的值。

解答

由 $A=\pi-B-C$，将条件除以正数 $\sin B\sin C$，得

$$\cot B+\cot C=2.$$

记 $u=\cot B>0,v=\cot C>0$。因 $u+v=2$ 且 $B\ne C$，有 $0<uv<1$。令 $w=uv$，则

$$\cot A=-\cot(B+C)=\frac{1-uv}{u+v}=\frac{1-w}{2}>0.$$

这也证明 $A$ 为锐角，三角函数在题目中均有定义。于是

$$\tan A\tan B\tan C=\frac{2}{w(1-w)}.$$

因为 $0<w<1$，$0<w(1-w)\le1/4$，故所求乘积至少为 $8$。

还要证明整个值域都能取到。任给 $w\in(0,1)$，取 $u=1+\sqrt{1-w}$、$v=1-\sqrt{1-w}$，再取锐角 $B,C$ 使余切分别为 $u,v$。这时 $B,C$ 不等，$B+C<\pi$，且上述条件全部成立。$w(1-w)$ 取遍 $(0,1/4]$，因此

$$\boxed{\tan A\tan B\tan C\in[8,+\infty)}.$$

最小值在 $w=1/2$ 时取得。此时 $\tan B+\tan C=(u+v)/(uv)=4$、$\tan B\tan C=2$，故

$$\boxed{\{\tan B,\tan C\}=\{2-\sqrt2,\,2+\sqrt2\}}.$$

第 2 题

题目

已知 $|\vec a|=4$，$|\vec b|=2$，$\langle\vec a,\vec b\rangle=\pi/3$，且

$$\vec c\cdot\vec c-\vec a\cdot\vec c=5,$$

求 $|\vec b-\vec c|$ 的最小值。

解答

配方得

$$\left|\vec c-\frac{\vec a}{2}\right|^2 =\vec c\cdot\vec c-\vec a\cdot\vec c+\frac{|\vec a|^2}{4}=9.$$

因此 $\vec c$ 的终点在以 $\vec a/2$ 的终点为圆心、半径为 $3$ 的圆上。同时

$$\left|\vec b-\frac{\vec a}{2}\right|^2 =4+4-\vec a\cdot\vec b=8-4=4.$$

点 $\vec b$ 到圆心的距离为 $2$，到圆周的最短距离为 $3-2=\boxed1$。取 $\vec c=\vec a/2+\tfrac32(\vec b-\vec a/2)$ 即可达到，满足原约束。

第 3 题

题目

【修订】 设

$$f(x)=\begin{cases} |\log_2(x+1)|,&-1<x\le3,\\ \dfrac12x^2-5x+\dfrac{25}{2},&x>3. \end{cases}$$

1. 求使方程 $f(x)=m$ 恰有四个不同实根的实数 $m$ 的取值范围；
2. 在（1）的条件下，将四根依次记为 $a<b<c<d$，求 $ab+cd$ 的取值范围。

解答

先数不同实根。$m<0$ 时无根；$m=0$ 时只有 $0,5$ 两根。$m>0$ 时，左段的候选根为

$$a=2^{-m}-1,\qquad b=2^m-1,$$

其中第一根总在 $(-1,0)$ 内，第二根落在左段定义域的条件为 $m\le2$。右段为 $\tfrac12(x-5)^2$，两个候选根为

$$c=5-\sqrt{2m},\qquad d=5+\sqrt{2m}.$$

$d$ 总大于 $3$，而 $c>3$ 当且仅当 $m<2$。因此恰有四个不同实根的充分必要条件为 $\boxed{0<m<2}$。$m=2$ 时 $c=3$ 不属于右段，只余三个不同根，不能包含此端点。

在上述范围内，四根依次满足 $a<0<b<3<c<5<d$，所以

$$ab+cd=\left(2-2^m-2^{-m}\right)+(25-2m) =27-2m-2^m-2^{-m}.$$

记右端为 $H(m)$。对 $m\in(0,2)$，

$$H'(m)=-2-(\ln2)(2^m-2^{-m})<0,$$

故它连续且严格递减。端点极限分别为 $H(0)=25$、$H(2)=75/4$，但端点均不允许。因此

$$\boxed{ab+cd\in(75/4,25)}.$$