2015年复旦大学基地班入校数学试题 · 参考解答

答案速览

题号	1	2	3	4
结论	$10069/8$	$a_n\ge1\ (n\ge2)$，极限为 $1$	周长为 $6$	$4\sqrt3/3$

逐题解析

第 1 题

题目

已知 $f(x)=2005\left(x-\dfrac12\right)^3+x$，求 $\displaystyle\sum_{k=1}^{2015}f\left(\dfrac{k}{2015}\right)$。

解答

由立方项关于 $1/2$ 的反对称性，$f(t)+f(1-t)=1$。将 $k=1,\ldots,2014$ 两两配对，得到 $1007$ 对；剩下 $k=2015$ 对应 $f(1)$。故

$$\sum_{k=1}^{2015}f\left(\frac{k}{2015}\right) =1007+\frac{2005}{8}+1=\boxed{\frac{10069}{8}}.$$

注意立方项的系数确为 $2005$，不应因求和上限为 $2015$ 而改写。

第 2 题

题目

已知正数数列 $\{a_n\}$ 满足

$$(n+1)a_{n+1}=na_n+\frac1{a_n}.$$

1. 证明：当 $n\geqslant2$ 时，$a_n\geqslant1$；
2. 证明：数列 $\{a_n\}$ 收敛。

解答

首先 $a_2=(a_1+1/a_1)/2\ge1$。若 $n\ge2$ 且 $a_n\ge1$，则

$$a_{n+1}-1 =\frac{na_n+1/a_n-n-1}{n+1} =\frac{(a_n-1)(n-1/a_n)}{n+1}\ge0.$$

归纳可得 $a_n\ge1$ 对所有 $n\ge2$ 成立。同时 $0\le n-1/a_n\le n$，所以

$$0\le a_{n+1}-1\le\frac{n}{n+1}(a_n-1),\qquad 0\le a_n-1\le\frac{2(a_2-1)}n.$$

右端趋于 $0$，由夹逼定理，$\boxed{a_n\to1}$。这一估计也排除了“收敛但极限大于 $1$”的可能。

第 3 题

题目

已知椭圆 $C_1:\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{5}=1$，点 $F(2,0)$，圆 $C_2:x^2+y^2=5$。点 $M(x_0,y_0)$ 在圆上，且 $x_0>0,y_0>0$。过 $M$ 点引圆 $C_2$ 的切线，交椭圆于 $P,Q$ 两点。证明：三角形 $PQF$ 的周长为定值。

解答

记 $M=(u,v)$，则 $u,v>0$ 且 $u^2+v^2=5$，切线为 $ux+vy=5$。将 $y=(5-ux)/v$ 代入椭圆方程，得到交点横坐标满足

$$(25+4u^2)x^2-90ux+45u^2=0.$$

记 $D=25+4u^2$，则

$$x_P+x_Q=\frac{90u}{D},\qquad |x_P-x_Q|=\frac{12\sqrt5\,uv}{D}.$$

切线斜率为 $-u/v$，因而

$$PQ=|x_P-x_Q|\sqrt{1+\frac{u^2}{v^2}}=\frac{60u}{D}.$$

对椭圆上的点 $X=(x,y)$，由 $y^2=5-5x^2/9$ 可得

$$XF^2=(x-2)^2+y^2=\left(3-\frac{2x}{3}\right)^2.$$

由于 $-3\le x\le3$，括号为正，故 $XF=3-2x/3$。于是

$$PF+QF+PQ =6-\frac23(x_P+x_Q)+\frac{60u}{D}=\boxed6.$$

第 4 题

题目

把边长为 $4$ 的正三角形的三个角（均为边长为 $2$ 的正三角形）沿折痕折起，使其垂直于底面，形成一个球托。把半径为 $\dfrac{\sqrt6}{3}$ 的球放入其中，求球心到底面的距离。

解答

折起后，底面是边长为 $2$ 的正三角形；三个竖直侧片的顶点高度均为 $\sqrt3$，其在底面的投影是三条底边的中点。底面中心到这些中点的距离为内切圆半径 $r_0=\sqrt3/3$。

球放在三片组成的球托中央，球心位于底面中心的竖线上。设球心高度为 $h$。球由三个侧片顶点支撑，故

$$\left(h-\sqrt3\right)^2+r_0^2=\left(\frac{\sqrt6}{3}\right)^2, \qquad h=\sqrt3+\frac1{\sqrt3}=\boxed{\frac{4\sqrt3}{3}}.$$

这里取高于侧片顶点的根。还需检验球不会穿入侧片：球与任一侧片所在竖直平面的交圆，圆心高度为 $h$，半径为 $\sqrt{2/3-1/3}=1/\sqrt3$，最低点恰在高度 $\sqrt3$，而整个侧片均不高于 $\sqrt3$，故只在顶点接触。若取另一个根，则交圆落入侧片内，会发生相交，不能作为球托中的位置。