2025年浙江大学强基计划数学试题 · 参考解答

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题号	1
答案	$-5$

逐题解析

第 1 题

题目

【补充非零条件】已知 $z_1,z_2,z_3\in\mathbb C$，$z_3\ne0$，且 $|z_1|=|z_2|=\sqrt5\,|z_3|$，$z_1+z_3=z_2$，求

$$\frac{\overline{z_1}\,\overline{z_2}}{(\overline{z_3})^2}.$$

解答

题面校注： 补充 $z_3\ne0$；否则三个复数可以同时为零，而所求分式无定义。

令 $w=z_1/z_3$，则 $z_2/z_3=w+1$，且 $|w|=|w+1|=\sqrt5$。两模平方相减，得到 $2\operatorname{Re}w+1=0$，所以写成 $w=-1/2+it$ 时有 $t^2=19/4$。于是

$$w(w+1)=(-1/2+it)(1/2+it)=-1/4-t^2=-5.$$

所求为 $\overline{w(w+1)}=-5$。取任意非零 $z_3$ 并令 $w=(-1\pm i\sqrt{19})/2$，即可得到满足条件的实例。