2024年中国科学技术大学强基计划数学试题 · 参考解答

按源 PDF 第一页 14 道填空和 1 道解答的题号。第 12 题缺失自变量，第 13 题缺失具体方程；教学版分别补明与另拟，并在相应解析中说明。

答案速览

题号	答案	题号	答案
1	$5$	9	$\forall A>0,\exists n\in\mathbb N^*:a_n\ge A$
2	$-3$	10	$3^{\sqrt{10}}>10\sqrt{10}$
3	$1888$	11	$2\sqrt2\sin(\pi\sqrt2/4)$
4	$x^2+x+1$	12	$4047$（补条件）
5	$[2,+\infty)$	13	见参数分类（编拟）
6	$[3-2\sqrt2,3+2\sqrt2]$	14	$(3,+\infty)$
7	$9$	15	$9$
8	$6$

逐题解析

第 1 题

题目

正整数 $a,b,c$ 满足 $10a+11b+12c=123$，求 $(a,b,c)$ 的组数。

解答

$a,b,c$ 均为正整数，且 $a\le10$。模 $11$ 看原式，$-a+c\equiv2\pmod{11}$，结合 $1\le c\le8$，只能有 $c=a+2$ 或 $c=a-9$。前者代回得 $2a+b=9$，故 $a=1,2,3,4$ 对应四组 $(1,7,3),(2,5,4),(3,3,5),(4,1,6)$；后者只可 $a=10,c=1$，代回得 $b=1$。共五组，且均满足原式。

第 2 题

题目

若 $f(x)=x^3+ax+2$ 有一个二重零点，求 $a$ 的所有可能值。

解答

设二重零点为 $r$，则 $f(r)=f'(r)=0$。由 $3r^2+a=0$ 得 $a=-3r^2$；代回 $r^3+ar+2=0$ 得 $-2r^3+2=0$，故 $r=1,a=-3$。此时 $f(x)=x^3-3x+2=(x-1)^2(x+2)$，确有二重零点。

第 3 题

题目

全集 $U$ 有 $2024$ 个元素，$|A|=2000,|B|=1978,|C|=1958$，求 $|A\cap B\cap C|$ 的最小值。

解答

三个补集的大小分别为 $24,46,66$。德摩根律给出

$$|A\cap B\cap C|=2024-|A^c\cup B^c\cup C^c| \ge2024-(24+46+66)=1888.$$

因三补集总大小 $136<2024$，可令它们两两不交，构造取等的 $A,B,C$，故最小值为 $1888$。

第 4 题

题目

$\alpha,\beta$ 为方程 $x+\dfrac1x=1$ 的两个复数根，求 $(x-\alpha^4)(x-\beta^4)$。

解答

两复根满足 $\alpha+\beta=1,\alpha\beta=1$，故 $\alpha^2=\alpha-1$，进而 $\alpha^3=-1$，对 $\beta$ 同理。于是 $\alpha^4=-\alpha,\beta^4=-\beta$，两者之和为 $-1$、积为 $1$。所求多项式为 $x^2+x+1$。

第 5 题

题目

求函数 $f(x)=x^2+\sqrt{x^4-3x^2+2x+5}$ 的值域。

解答

根号内可写为

$$x^4-3x^2+2x+5=(x^2-2)^2+(x+1)^2\ge0,$$

所以定义域为全体实数，且

$$f(x)\ge x^2+|x^2-2|\ge2.$$

在 $x=-1$ 时，第二平方项为零，且 $x^2\le2$，有 $f(-1)=2$。$f$ 连续且 $|x|\to\infty$ 时趋于无穷，故值域为 $[2,+\infty)$。

第 6 题

题目

若 $x^2+y^2+z^2\leqslant1$，求 $x^2+2y-2z+3$ 的取值范围。

解答

令 $r=\sqrt{y^2+z^2}\le1$。由柯西不等式 $|y-z|\le\sqrt2r$，且 $0\le x^2\le1-r^2$。下界为 $3-2\sqrt2r\ge3-2\sqrt2$，取 $x=0,y=-1/\sqrt2,z=1/\sqrt2$ 可达。上界为

$$3+(1-r^2)+2\sqrt2r=4-r^2+2\sqrt2r\le3+2\sqrt2,$$

最后一步在 $0\le r\le1$ 上随 $r$ 递增，$r=1$ 时取等；取 $x=0,y=1/\sqrt2,z=-1/\sqrt2$ 可达。单位闭球连通、目标函数连续，故所有中间值也可取到。

第 7 题

题目

求 $(1+\sqrt2)^{2024}$ 的小数点后第 $100$ 位数字。

解答

令 $\alpha=1+\sqrt2,\beta=1-\sqrt2$。共轭和 $N=\alpha^{2024}+\beta^{2024}$ 是整数（展开时无理项成对抵消）。因 $0<\beta^{2024}<2^{-2024}<10^{-100}$，

$$\alpha^{2024}=N-\beta^{2024}$$

略小于整数 $N$。故小数部分位于 $(1-10^{-100},1)$，小数点后前一百位全是 $9$，第 $100$ 位为 $9$。

第 8 题

题目

掷一枚各面标有 $1,2,3,4,5,6$ 的均匀正方体，当各次所得数字之和为 $6$ 的整数倍时停止。求投掷次数的数学期望。

解答

无论当前累计点数模 $6$ 余几，下一掷的六个等可能结果使新余数在 $0,1,\ldots,5$ 中均匀分布，命中 $0$ 的条件概率恒为 $1/6$。因此首次命中的投掷次数 $T$ 是成功概率 $1/6$ 的几何分布；也可由 $E(T)=1+(5/6)E(T)$ 解得期望 $6$。

第 9 题

题目

对数列 $\{a_n\}$，命题“存在 $A>0$，使对任意 $n\in\mathbb N^*$ 均有 $a_n<A$”的否定是______。

解答

原命题为 $\exists A>0\;\forall n\in\mathbb N^*:a_n<A$。逐个否定量词，并把严格小于改为大于等于，得到

$$\forall A>0\;\exists n\in\mathbb N^*:a_n\ge A.$$

这表明数列在上方无有限正上界。

第 10 题

题目

比较 $3^{\sqrt{10}}$ 与 $10\sqrt{10}$ 的大小。

解答

设 $g(t)=\ln t/t$。当 $t>e$ 时，$g'(t)=(1-\ln t)/t^2<0$。由于 $e<3<\sqrt{10}$，有

$$\frac{\ln3}{3}>\frac{\ln\sqrt{10}}{\sqrt{10}}.$$

两边乘 $3\sqrt{10}$ 再取指数，得到 $3^{\sqrt{10}}>(\sqrt{10})^3=10\sqrt{10}$。

第 11 题

题目

圆锥高为 $1$，底面直径 $AB=2$。一只蚂蚁从点 $A$ 沿侧面爬到点 $B$，求爬行距离的最小值。

解答

圆锥底半径 $1$、高 $1$，母线长 $\sqrt2$。展开侧面所得扇形半径为 $\sqrt2$，圆周长 $2\pi$ 对应圆心角 $2\pi/\sqrt2$。底面直径两端 $A,B$ 的侧面弧相隔半圈，展开后对应角 $\pi/\sqrt2$。把表面路径拉直为展开扇形中的线段，最短长度为

$$2\sqrt2\sin\frac{\pi}{2\sqrt2} =2\sqrt2\sin\frac{\pi\sqrt2}{4}.$$

该线段落在相应展开扇形内，故为可实现的侧面路径；绕另一侧展开给出同长路径。

第 12 题

题目

函数 $f:\mathbb R\to\mathbb R$ 满足对任意 $x,y\in\mathbb R$，$f(x+f(y))=f(f(x))+y$，【补全自变量】且 $f(1)=2024$，求 $f(2024)$。

解答

题面校注： 源页只写“且 $f(x)=2024$”，没有指定 $x$，参考过程则用 $f(1)=2024$。教学版据此明确补为 $f(1)=2024$。

取 $x=0$，记 $C=f(f(0))$，得到 $f(f(y))=C+y$，所以 $f\circ f$ 是平移、$f$ 为双射。原式随即变为 $f(x+f(y))=x+y+C=x+f(f(y))$。因为 $f(y)$ 遍历全体实数，可令它为任意 $t$，于是 $f(x+t)=x+f(t)$；取 $t=0$ 得 $f(x)=x+K$。由 $f(1)=2024$ 得 $K=2023$，故 $f(2024)=4047$。该函数代回原式确实成立。

第 13 题

题目

【教学编拟：原件缺少具体方程】双曲线 $x^2-y^2=1$ 与直线 $y=kx+1$ 的实交点个数如何随实数 $k$ 改变？请分类并包含相切情形。

解答

教学编拟说明： 原题只有“直线与双曲线的交点个数”，没有任何具体方程，无法给出唯一答案。现另拟参数直线 $y=kx+1$ 与双曲线 $x^2-y^2=1$，训练退化为一次方程与切线判别。

代入得到 $(1-k^2)x^2-2kx-2=0$。若 $k=\pm1$，二次项消失，线性方程有一个实根。若 $k^2\ne1$，判别式为 $4(2-k^2)$：$k^2<2$ 时有两个不同交点，$k^2=2$ 时相切且仅有一个交点，$k^2>2$ 时无交点。故按交点数分类为

$$\begin{array}{c|c} 0&|k|>\sqrt2\\ 1&|k|=1\text{ 或 }|k|=\sqrt2\\ 2&|k|<\sqrt2,\ |k|\ne1. \end{array}$$

第 14 题

题目

已知 $x\in[0,3]$，$x\ne y$，且 $x^3e^y=y^3e^x$，求 $y$ 的取值范围。

解答

若 $x=0$，等式迫使 $y=0$，却违背 $x\ne y$；故 $0<x\le3$，且 $y>0$。原式等价于 $x^3e^{-x}=y^3e^{-y}$。函数 $H(t)=3\ln t-t$ 在 $(0,3)$ 严格递增、在 $(3,+\infty)$ 严格递减，且两端都趋于 $-\infty$。$x=3$ 时只有 $y=3$，也应排除。因此对每个 $x\in(0,3)$，唯一的另一个解 $y$ 在 $(3,+\infty)$；反过来每个 $y>3$ 都对应唯一 $x\in(0,3)$。所以 $y$ 的范围恰为 $(3,+\infty)$。

第 15 题

题目

斐波那契数列 $\{F_n\}$ 满足 $F_1=F_2=1$，$F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$（$n\geqslant3$）。求 $F_{1958}$ 的个位数字。

解答

斐波那契数列的相邻两项模 $10$ 决定后续全部项。用递推或倍角恒等式，可核得

$$(F_{20},F_{21})\equiv(5,6),\quad (F_{40},F_{41})\equiv(5,1),\quad (F_{60},F_{61})\equiv(0,1)\pmod{10}.$$

其中后两对可由 $F_{2r}=F_r(2F_{r+1}-F_r)$、$F_{2r+1}=F_{r+1}^2+F_r^2$ 及加法公式复核。因初始相邻对 $(F_0,F_1)=(0,1)$ 重新出现，模 $10$ 的数列以 $60$ 为一个周期（无需证明这是最短周期）。$1958\equiv38\pmod{60}$，且由递推 $F_{38}=39088169$，所以 $F_{1958}$ 的个位为 $9$。