2016年中国科学技术大学自主招生数学试题 · 参考解答

本卷按源 PDF 两页的题序，共十一题。

答案速览

题号	答案	题号	答案
1	$21$	7	$ab/(a+nb)$
2	$(1\pm i\sqrt{15})/6$	8	$444/5$
3	$70$	9	不等式成立
4	$\sqrt3/3$	10	$f(n)=n+C$，$C\in\mathbb Z_{\ge0}$
5	$[-1/3,1/3]$	11	$(1,0,0),(3,0,1)$
6	$x>y$

逐题解析

第 1 题

题目

$3^{2016}$ 除以 $100$ 的余数是多少？

解答

$3^{20}\equiv1\pmod{100}$，可先由 $3^4=81$、$3^5=243\equiv43$、$3^{10}\equiv49$、$3^{20}\equiv1$ 核对。因 $2016\equiv16\pmod{20}$，$3^{2016}\equiv3^{16}\pmod{100}$。又 $3^8=6561\equiv61$、$3^{16}\equiv61^2=3721\equiv21\pmod{100}$，余数为 $21$。

第 2 题

题目

复数 $z_1,z_2$ 满足 $|z_1|=2$，$|z_2|=3$，$|z_1+z_2|=4$，求 $\dfrac{z_1}{z_2}$。

解答

令 $w=z_1/z_2$。由模长得 $|w|=2/3$，且余弦定理形式的恒等式给出

$$16=|z_1+z_2|^2=4+9+2\operatorname{Re}(z_1\overline{z_2}),$$

故 $\operatorname{Re}(z_1\overline{z_2})=3/2$、$\operatorname{Re}w=(3/2)/9=1/6$。于是 $(\operatorname{Im}w)^2=4/9-1/36=15/36$，得 $w=(1\pm i\sqrt{15})/6$。两种共轭方向均能以 $z_2=3$、$z_1=3w$ 构造，故两值都要保留。

第 3 题

题目

用 $S(A)$ 表示集合 $A$ 的所有元素之和。若 $A\subseteq\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$，且 $S(A)$ 能被 $3$ 整除但不能被 $5$ 整除，求符合条件的非空集合 $A$ 的个数。

解答

用 $c_j(r)$ 表示从 $\{1,\ldots,j\}$ 中选子集，元素和模 $15$ 余 $r$ 的个数。初值 $c_0(0)=1$、其他为 $0$；加入元素 $j$ 时按选或不选分类，

$$c_j(r)=c_{j-1}(r)+c_{j-1}(r-j\bmod15).$$

逐项递推到 $j=8$，余数 $0,3,6,9,12$ 的计数依次为 $18,18,18,17,17$。它们正是元素和能被 $3$ 整除的子集；其中余数 $0$ 的 $18$ 个还被 $5$ 整除，应剔除。因此个数为 $18+18+17+17=70$。空集落在被剔除的一类，不会误计。

第 4 题

题目

已知 $\triangle ABC$ 中，$\sin A+2\sin B\cos C=0$，求 $\tan A$ 的最大值。

解答

由 $\sin A+2\sin B\cos C=0$ 且 $A,B$ 为内角，必有 $\cos C<0$，所以 $C>\pi/2$、$A<\pi/2$。又用 $A+B+C=\pi$ 和积化和差，

$$2\sin A+\sin(B-C)=0.$$

于是 $2\sin A\le1$，结合 $A<\pi/2$ 得 $A\le\pi/6$，所以 $\tan A\le1/\sqrt3$。取 $(A,B,C)=(\pi/6,\pi/6,2\pi/3)$ 时原式为零，故最大值为 $\sqrt3/3$。

第 5 题

题目

若对任意实数 $x$ 都有 $|2x-a|+|3x-2a|\geqslant a^2$，求 $a$ 的取值范围。

解答

把绝对值和写为 $2|x-a/2|+3|x-2a/3|$。两个带权点的权分别为 $2$、$3$，后者占总权重过半，故在 $x=2a/3$ 处达到最小值 $2|2a/3-a/2|=|a|/3$。也可在两点分出的各区间直接检查斜率符号。对所有实数 $x$ 均不小于 $a^2$，当且仅当 $a^2\le|a|/3$，即 $a\in[-1/3,1/3]$。

第 6 题

题目

若 $a\in\left(\dfrac\pi4,\dfrac\pi2\right)$，$b\in(0,1)$，$x=(\sin a)^{\log_b\sin a}$，$y=(\cos a)^{\log_b\cos a}$，比较 $x,y$ 的大小。

解答

$\pi/4<a<\pi/2$ 使 $0<\cos a<\sin a<1$。两数取自然对数，

$$\ln x=\frac{(\ln\sin a)^2}{\ln b},\qquad \ln y=\frac{(\ln\cos a)^2}{\ln b}.$$

由于 $\ln b<0$，且 $0>\ln\sin a>\ln\cos a$，前者的平方更小，除以负数后 $\ln x>\ln y$，故 $x>y$。

第 7 题

题目

梯形 $ABCD$ 中 $AB\parallel CD$，对角线 $AC,BD$ 交于 $P_1$。过 $P_1$ 作 $AB$ 的平行线交 $BC$ 于 $Q_1$；$AQ_1$ 交 $BD$ 于 $P_2$，过 $P_2$ 作 $AB$ 的平行线交 $BC$ 于 $Q_2$，如此继续。若 $AB=a,CD=b$，用 $a,b,n$ 表示 $P_nQ_n$。

解答

取坐标 $A=(0,0),B=(a,0),D=(d,h),C=(d+b,h)$，其中 $h>0,d\in\mathbb R$，不假设梯形为直角梯形。用 $s=y/h$ 表示相对高度，直线 $BD$ 上点的横坐标为 $a(1-s)+ds$，$BC$ 上为 $a+(d+b-a)s$。对角线 $AC$ 上的横坐标为 $(d+b)s$，与 $BD$ 联立得 $bs=a(1-s)$，故 $P_1$ 的相对高度为 $a/(a+b)$。

归纳地，若 $P_n$ 的相对高度为 $a/(a+nb)$，则其横坐标为 $a(nb+d)/(a+nb)$；同高度的 $Q_n$ 在 $BC$ 上，横坐标为 $a((n+1)b+d)/(a+nb)$。两横坐标之差为正，故 $P_nQ_n=ab/(a+nb)$。直线 $AQ_n$ 满足 $x=((n+1)b+d)s$，与 $BD$ 的 $x=a(1-s)+ds$ 联立，得到下一高度 $s=a/(a+(n+1)b)$。归纳成立，水平偏移 $d$ 不影响所求长度。

第 8 题

题目

数列 $\{a_n\}$ 中，$a_n$ 是与 $\sqrt n$ 最接近的整数，求 $\displaystyle\sum_{n=1}^{2016}\frac1{a_n}$。

解答

最接近 $\sqrt j$ 的整数为 $k$，等价于 $k-1/2<\sqrt j<k+1/2$；因为 $j$ 是整数，两端的平方都是以 $1/4$ 结尾的非整数，不会出现平局。故

$$k^2-k+1\le j\le k^2+k.$$

对 $k=1,\ldots,44$，每个 $k$ 对应 $2k$ 个 $j$，且 $44^2+44=1980$；$k=45$ 对应 $1981\le j\le2016$，共 $36$ 个。因此

$$\sum_{j=1}^{2016}\frac1{a_j}=\sum_{k=1}^{44}\frac{2k}{k}+\frac{36}{45}=88+\frac45=\frac{444}{5}.$$

第 9 题

题目

已知 $a,b,c>0$，$a+b+c=3$，证明

$$\frac{a^2}{a+\sqrt{bc}}+\frac{b^2}{b+\sqrt{ca}}+\frac{c^2}{c+\sqrt{ab}}\geqslant\frac32.$$

解答

柯西不等式给出

$$\sum_{\rm cyc}\frac{a^2}{a+\sqrt{bc}} \ge\frac{(a+b+c)^2}{a+b+c+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}.$$

再由 $\sqrt{ab}\le(a+b)/2$ 等三式相加，根号和至多为 $a+b+c=3$。于是右端至少 $9/6=3/2$。取 $a=b=c=1$ 时两步等号均成立。

第 10 题

题目

求所有函数 $f:\mathbb N^*\to\mathbb N^*$，使得对任意正整数 $x\ne y$，都有 $0<|f(x)-f(y)|<2|x-y|$。

解答

相邻输入的条件给出 $0<|f(n+1)-f(n)|<2$；差为整数，故它只能是 $1$ 或 $-1$。若相邻两步一升一降，就有 $f(n+2)=f(n)$，违背不同输入的函数值差严格为正。因此所有步长同号。若均为 $-1$，足够大的 $n$ 使 $f(n)$ 不再为正整数，故只能均为 $1$，即 $f(n)=n+C$。正整数值域要求 $C\in\mathbb Z_{\ge0}$；反代时 $|f(x)-f(y)|=|x-y|$，确实满足所有条件。

第 11 题

题目

求方程 $2^x-5^y\cdot7^z=1$ 的所有非负整数解 $(x,y,z)$。

解答

若 $y\ge1$，则 $2^x=5^y7^z+1\equiv1\pmod5$，故 $4\mid x$，特别地 $x\ge4$。模 $8$ 可知 $5^y7^z\equiv-1\equiv7\pmod8$，这迫使 $y$ 为偶数、$z$ 为奇数。于是 $z\ge1$；模 $3$，右侧的 $5^y7^z+1\equiv2$，故 $x$ 为奇数，与 $4\mid x$ 矛盾。

故 $y=0$，原方程成为 $2^x-7^z=1$。若 $z=0$，得 $x=1$。若 $z\ge1$，模 $7$ 得 $3\mid x$。写 $x=3r$，则

$$7^z=2^{3r}-1=(2^r-1)(2^{2r}+2^r+1).$$

两因子均为正且都是 $7$ 的幂；它们的最大公因数整除 $3$，所以其中一个为 $1$。第二因子大于 $1$，只能 $2^r-1=1$，于是 $r=1,x=3,z=1$。全部解为 $(1,0,0),(3,0,1)$。