2016年中国科学技术大学入学考试数学试题 · 参考解答

按源 PDF 的十二题编号。第 8 题原题给出的信息不足以按参考过程求出所问概率，教学版改问可由 $c$ 确定的 $P(X<3)$。

答案速览

题号	答案	题号	答案
1	$\{-1,-\tfrac12,\tfrac12,1\}$	7	$2^{1008}$
2	$(0,32/27]$	8	$3/2-c$（改编）
3	$3\sqrt2$	9	$(1,3/2]$
4	$(\sqrt6+\sqrt2)/4$	10	命题成立
5	$(3\sqrt3-2)/8$	11	见分布列公式
6	$\pi/6$	12	存在所求 $n$

逐题解析

第 1 题

题目

设函数 $f(x)=\sin(\omega x+\varphi)$（$\omega\ne0$）的图象关于直线 $x=-1$ 和直线 $x=2$ 均对称，求 $f(0)$ 的所有可能取值。

解答

正弦图象的对称轴满足 $\omega x+\varphi=\pi/2+k\pi$。两条给定轴相距 $3$，故 $3\omega=j\pi$，其中 $j$ 为非零整数。由 $x=-1$ 处为对称轴，

$$f(0)=\sin(\varphi-\omega+\omega)=\pm\cos\omega =\pm\cos(j\pi/3).$$

$j$ 遍历非零整数时，恰得 $-1,-1/2,1/2,1$。每个值都可取适当 $j,\varphi$ 实现。

第 2 题

题目

方程 $x^3-2ax+a^2=0$ 在区间 $(0,1)$ 内有实数解，求 $a$ 的取值范围。

解答

若 $x\in(0,1)$ 是根，则把方程看成关于 $a$ 的二次方程，得到

$$a=x\bigl(1\pm\sqrt{1-x}\bigr).$$

两支均为正。减号支连续地覆盖 $(0,1)$；加号支在 $x\to0^+$ 时趋于 $0$，令 $t=\sqrt{1-x}\in(0,1)$，其值为 $(1-t)(1+t)^2$，导数为 $(1+t)(1-3t)$，在 $t=1/3$ 处取最大值 $32/27$。由连续性两支合并为 $(0,32/27]$，$0$ 不能取到。

第 3 题

题目

设复数 $z$ 满足 $|z|=2$，$i$ 为虚数单位，求 $|(1+z)+i(1-z)|$ 的最大值。

解答

写 $z=u+vi$，则 $u^2+v^2=4$，且

$$(1+z)+i(1-z)=(1+u+v)+(1-u+v)i,$$

故其模平方为 $2(1+v)^2+2u^2=10+4v\le18$。取 $z=2i$ 时等号成立，最大模为 $3\sqrt2$。

第 4 题

题目

边长为 $1$ 的正三角形可被边长为 $b$ 的正方形覆盖，求 $b$ 的最小值。

解答

对固定方向的正方形，能覆盖三角形的最小边长等于三角形在相互垂直的两方向上的投影宽度的较大者。利用正三角形的旋转、反射对称，可将一边与正方形水平边的夹角取为 $t\in[0,\pi/6]$。三顶点投影给出水平宽 $\cos t$、竖直宽 $\sin(t+\pi/3)$。前者在此区间递减，后者递增；两者相等时较大者最小。解 $\cos t=\sin(t+\pi/3)$ 得 $t=\pi/12$，所求为

$$\cos\frac\pi{12}=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}.$$

按该角度放置三角形，其投影恰落在相应正方形内，故下界可达。

第 5 题

题目

在四面体 $ABCD$ 中，$AD=BD=CD$，$AB=BC=CA=1$。若二面角 $A-BC-D$ 等于 $75^\circ$，求二面角 $A-BD-C$ 的余弦值。

解答

设底面 $ABC$ 的中心为 $H$，它到边 $BC$ 的距离为 $\sqrt3/6$。$D$ 在过 $H$ 的垂线上，记高为 $h$。沿垂直于 $BC$ 的截面看二面角，$h=(\sqrt3/6)\tan75^\circ$。于是

$$L^2=BD^2=\frac13+h^2=\frac{11+4\sqrt3}{12}.$$

设 $\theta=\angle ABD=\angle CBD$，等腰三角形余弦定理给出 $\cos\theta=1/(2L)$。将向量 $BA,BC$ 分解为沿 $BD$ 和垂直于 $BD$ 的分量，设所求二面角为 $\phi$，由 $\angle ABC=60^\circ$ 有

$$\frac12=\cos^2\theta+\sin^2\theta\cos\phi, \qquad \cos\phi=\frac{1/2-1/(4L^2)}{1-1/(4L^2)} =\frac{3\sqrt3-2}{8}.$$

第 6 题

题目

在平面直角坐标系中，$\triangle ABC$ 是边长为 $1$ 的正三角形。动点 $P$ 满足

$$\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PB}\cdot\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PC}\cdot\overrightarrow{PA}=0,$$

求 $P$ 的轨迹所围成区域的面积。

解答

取正三角形重心 $G$ 为原点，顶点的位置向量为 $u,v,w$，则 $u+v+w=0$ 且 $|u|^2=|v|^2=|w|^2=1/3$。记 $P$ 的位置向量为 $p$，展开三个数量积，

$$\sum_{\rm cyc}(u-p)\cdot(v-p) =u\cdot v+v\cdot w+w\cdot u+3|p|^2 =-\frac12+3|p|^2.$$

所以轨迹为以 $G$ 为心、半径 $1/\sqrt6$ 的圆，所围面积为 $\pi/6$。

第 7 题

题目

化简 $\displaystyle\sum_{k=0}^{1008}(-1)^k\binom{2016}{2k}$。

解答

二项式展开表明原和是 $(1+i)^{2016}$ 的实部。因 $1+i=\sqrt2\,e^{i\pi/4}$，故

$$\operatorname{Re}(1+i)^{2016}=2^{1008}\cos(504\pi)=2^{1008}.$$

第 8 题

题目

设随机变量 $X\sim N(1,1)$，若 $P(|X|>1)=c$，求 $P(X<3)$，并用 $c$ 表示结果。

解答

题面校注： 原材料要求用 $c=P(|X|>1)$ 求 $P(X<2)$，其参考过程未给出有效结论；关于均值 $1$ 对称只能由 $c$ 直接确定阈值 $3$ 对应的概率。教学版把后一阈值明确改成 $3$。

$X\sim N(1,1)$，对称性给出 $P(X>1)=1/2$、$P(X<-1)=P(X>3)$。因此 $c=1/2+P(X>3)$，连续分布无端点质量，故 $P(X<3)=1-P(X>3)=3/2-c$。

第 9 题

题目

正数 $a,b,c$ 满足 $ab+bc+ca=1$，求

$$\frac{a}{\sqrt{1+a^2}}+\frac{b}{\sqrt{1+b^2}}+\frac{c}{\sqrt{1+c^2}}$$

的取值范围。

解答

取三角形半角 $A/2,B/2,C/2$，使 $a=\tan(A/2),b=\tan(B/2),c=\tan(C/2)$。因 $ab+bc+ca=1$，三半角之和为 $\pi/2$，且所求和变为 $T=\sin(A/2)+\sin(B/2)+\sin(C/2)$。

正弦在 $[0,\pi/2]$ 严格凹，故 $T\le3\sin(\pi/6)=3/2$，三角形等边时取等。另一方面，$\sin u+\sin v>\sin(u+v)$ 对正 $u,v$ 成立，因而 $T>\sin((A+B)/2)+\sin(C/2)=\cos(C/2)+\sin(C/2)>1$。让 $A,B\to0^+$，则 $C\to\pi$，有 $T\to1$。连续性给出全部取值范围 $(1,3/2]$。

第 10 题

题目

过椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的右焦点 $F$ 作两条相互垂直的弦 $AB,CD$。证明：$A,B,C,D$ 四点共圆当且仅当 $|AB|=|CD|$。

解答

设半长轴 $a$、半短轴 $b$、半焦距 $c$，$F=(c,0)$。令过 $F$ 的一条弦的单位方向为 $u=(\cos t,\sin t)$，另一条垂直弦方向为 $v=(-\sin t,\cos t)$。设 $Q(w)=w_x^2/a^2+w_y^2/b^2$。直线 $F+su$ 与椭圆相交的两个参数根 $s_1,s_2$ 满足

$$s_1s_2=\frac{Q(F)-1}{Q(u)} =-\frac{b^2/a^2}{\cos^2t/a^2+\sin^2t/b^2}.$$

两条相交弦上的四端点共圆，当且仅当交点幂所给的两个有向参数乘积相等，即 $Q(u)=Q(v)$。因为 $a\ne b$，这等价于 $\cos^2t=\sin^2t$。

再求弦长。以焦点为极点的椭圆方程为 $r=p/(1+e\cos t)$，其中 $p=b^2/a,e=c/a$。沿相反两射线的长度相加，弦长为 $2p/(1-e^2\cos^2t)$；垂直弦为 $2p/(1-e^2\sin^2t)$。两弦等长也恰等价于 $\cos^2t=\sin^2t$，故命题成立。

第 11 题

题目

袋中共有 $3n$ 个小球，红、绿、蓝各 $n$ 个。每次随机取出 $3$ 个球且不放回，直至某种颜色的小球被全部取出。求取球次数 $X$ 的分布列。

解答

解析校注： 源材料只有题干、没有解析。每轮取三个球，首次在某轮结束时出现某色被取完。令 $X$ 为该轮序号，取样等价于将全部 $3n$ 个有颜色球随机排列，再按三个一组查看。

记 $S(k)=P(X>k)$，其中 $S(0)=1$；$0\le k\le n$ 时，前 $3k$ 个球中三种颜色都至多出现 $n-1$ 次，故

$$S(k)=\frac{1}{\binom{3n}{3k}} \sum_{\substack{r+g+b=3k\\0\le r,g,b\le n-1}} \binom nr\binom ng\binom nb.$$

特别地 $S(n)=0$，并约定空和为零。因此完整分布列为

$$P(X=k)=S(k-1)-S(k),\qquad k=1,2,\ldots,n.$$

若 $3k<n$，上式为零；若 $3(k-1)\ge2n+1$，也为零。该式同时覆盖 $n=1$ 和所有边界情形，且求和自动为 $S(0)-S(n)=1$。

第 12 题

题目

设 $f(x)=e^x-\cos x$，正项数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$，$f(a_n)=a_{n-1}$（$n\geqslant2$）。证明：存在正整数 $n$，使得 $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_k>2016$。

解答

对 $t>0$，$f'(t)=e^t+\sin t>0$：在 $0<t\le\pi$ 时 $\sin t\ge0$，在 $t>\pi$ 时 $e^t-1>0$。故 $f$ 在正半轴严格递增，递推中的正项唯一。

对 $0<t<1$，展开幂级数可逐项比较：$e^t-\cos t$ 的常数项为零、各项非负，且第 $j$ 项系数不超过 $1$，从三次项起有严格小于 $1$ 的系数。因此

$$f(t)<t+t^2+t^3+\cdots=\frac{t}{1-t}.$$

$a_1=1$。若 $a_n\ge1/n$，则 $f(1/(n+1))<1/n\le f(a_{n+1})$，单调性给出 $a_{n+1}>1/(n+1)$。归纳得 $a_n\ge1/n$，而调和级数部分和无界：从 $2^{j-1}+1$ 到 $2^j$ 的每一组和至少 $1/2$。于是某个有限的 $n$ 必满足 $\sum_{k=1}^n a_k>2016$。