2014年清华大学华约自主招生测试 · 参考解答

答案速览

题号	答案
1	$10,11,11,12,13$（顺序任意）
2	$p_1=10p^3-15p^4+6p^5$；最小值 $0$
3	$a=5/4,b=-1$
4	两命题成立
5	$b^3/a$
6	见分情形通项；$
7	不等式成立

逐题解析

第 1 题

题目

$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$ 为 $5$ 个正整数，从中任取 $4$ 个数之和组成的集合为 $\{44,45,46,47\}$，求这 $5$ 个数。

解答

设五数总和为 $T$。五个四数和中 $44,45,46,47$ 必各出现一次，另有一个重复数 $r$，所以 $4T=182+r$。由模 $4$，唯一可能是 $r=46,T=57$。每项等于总和减去相应四数和，得到 $13,12,11,10,11$；代回符合。

第 2 题

题目

甲乙两人打乒乓球，五局三胜，各局独立，每局甲胜乙的概率为 $p$（$\dfrac12\le p\le1$）。

1. 求甲最终获胜的概率 $p_1$；
2. 记 $f(p)=p_1-p$，求其最小值。

解答

各局独立时，甲分别在第 $3,4,5$ 局赢得比赛的概率为 $p^3,3p^3(1-p),6p^3(1-p)^2$。相加得到表中 $p_1$。并且

$$p_1-p=p(1-p)(2p-1)(1+3p-3p^2).$$

在 $p\in[1/2,1]$ 上各因子非负，最后因子严格正。因此最小值为零，在 $p=1/2$ 或 $1$ 时取得。

第 3 题

题目

函数

$$f(x)=\frac{\sqrt2}{2}(\cos x-\sin x)\sin\left(x+\frac\pi4\right)-2a\sin x+b\quad(a>0)$$

的最大值为 $1$，最小值为 $-4$，求 $a,b$。

解答

令 $t=\sin x\in[-1,1]$，则 $f=-t^2-2at+b+1/2$。因 $a>0$，最小值在 $t=1$，故 $b-1/2-2a=-4$，即 $b=2a-7/2$。

若 $0<a\le1$，最大值在 $t=-a$，得到 $a^2+2a-4=0$，其正根 $\sqrt5-1>1$，不合本情形。若 $a>1$，最大值在 $t=-1$，得到 $b-1/2+2a=1$。与前式联立得 $a=5/4,b=-1$，满足 $a>1$，验证最大、最小值均正确。

第 4 题

题目

记 $(f\circ g)(x)$ 为 $f(g(x))$，$f^{-1}(x)$ 为 $f(x)$ 的反函数。

1. 证明：$(f\circ g)^{-1}(x)=(g^{-1}\circ f^{-1})(x)$；
2. $F(x)=f(-x)$，$G(x)=f^{-1}(-x)$。若 $F(x)$ 为 $G(x)$ 的反函数，证明 $f(x)$ 为奇函数。

解答

在复合及反函数均有定义的对应定义域上，

$$(f\circ g)\circ(g^{-1}\circ f^{-1})=\operatorname{id},\quad (g^{-1}\circ f^{-1})\circ(f\circ g)=\operatorname{id},$$

由逆映射唯一性得第一问。

记取负映射为 $J(x)=-x$，则 $F=f\circ J,G=f^{-1}\circ J$。由第一问 $F^{-1}=J\circ f^{-1}$，而题设 $F^{-1}=G$，得到 $f^{-1}\circ J=J\circ f^{-1}$。左右分别复合 $f$，可得 $f\circ J=J\circ f$，即 $f(-x)=-f(x)$；相关定义域必须关于原点对称，这也由题中这些反向映射有定义所保证。

第 5 题

题目

椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$），圆 $x^2+y^2=b^2$。记 $M$ 为椭圆上横、纵坐标均非零的一点，从 $M$ 引圆的两条切线，设切点分别为 $P,Q$；直线 $PQ$ 与 $x$ 轴、$y$ 轴交于 $E,F$，求 $S_{\triangle EOF}$ 的最小值。

解答

补明 $a>b>0$ 以及两截距有限，排除无法作两条切线或截距无定义的点。设 $M=(u,v)$，圆的切点弦为 $ux+vy=b^2$，所以

$$S_{EOF}=\frac{b^4}{2|uv|}.$$

椭圆条件及 $2|uv|/(ab)\le u^2/a^2+v^2/b^2=1$ 给出 $|uv|\le ab/2$。等号在 $|u|=a/\sqrt2,|v|=b/\sqrt2$ 取得；这些点严格位于圆外且坐标非零，故最小面积为 $b^3/a$。

第 6 题

题目

已知 $a_{n+1}=np^n+qa_n$，$a_1=0$。

1. $q=1$，求 $a_n$；
2. $|q|<1,|p|<1$，证明 $\{a_n\}$ 有界。

解答

$q=1$ 时 $a_n=\sum_{j=1}^{n-1}jp^j$。若 $p=1$，为 $n(n-1)/2$；若 $p\ne1$，错位相减得到

$$a_n=\frac{p-np^n+(n-1)p^{n+1}}{(1-p)^2}.$$

一般递推展开为 $a_n=\sum_{j=1}^{n-1}jp^j q^{n-1-j}$。若 $|p|,|q|<1$，

$$|a_n|\le\sum_{j=1}^{n-1}j|p|^j \le\frac{|p|}{(1-|p|)^2}.$$

此界与 $n$ 无关；$p=0$ 时各项直接为零。

第 7 题

题目

已知 $n\in\mathbb N^*$，$x\leqslant n$，证明：$n-n\left(1-\dfrac xn\right)^{n}e^x\leqslant x^2$。

解答

若 $x^2\ge n$，由 $x\le n$ 保证 $(1-x/n)^n e^x\ge0$，左端不超过 $n\le x^2$，已证。

若 $x^2<n$，则 $-1<x/n<1$。由 $e^{x/n}\ge1+x/n$，且 $1-x/n>0$，

$$(1-x/n)e^{x/n}\ge1-x^2/n^2>0.$$

两边取 $n$ 次方，再用伯努利不等式，

$$(1-x/n)^n e^x\ge(1-x^2/n^2)^n\ge1-x^2/n.$$

移项即为原结论。两种情形覆盖全部允许的实数 $x$。