2013年清华大学华约自主招生测试 · 参考解答

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题号	答案
1	两位 $72$，三位 $432$；有五位、无六位；第 $1081$ 个为 $4012$
2	$208/225,\ -15/17,\ 8/17$
3	$x^2-y^2/k^2=1$；切点在 $x=\pm\sqrt2$，切线 $y=\pm\sqrt2kx-k$，$pk=1$
4	$56/195$；$EX=32/15$；$2/3$
5	$a_n\to+\infty$，$S_n=1/(ca_1)-1/(ca_{n+1})$
6	$(2,3,5)$ 的所有排列
7	严格递减，且 $x_n>2^{-n}$

逐题解析

第 1 题

题目

设 $A=\{x\mid x\geqslant10,x\in\mathbb N\}$，$B$ 为 $A$ 中所有满足下列条件的元素组成的集合：各数位数字互不相同；任意两个数位的数字之和不等于 $9$。

1. 求 $B$ 中两位数和三位数的个数；
2. 是否存在五位数、六位数？
3. 若从小到大排列 $B$ 中元素，求第 $1081$ 个元素。

解答

题面补明 $B$ 包含所有符合条件的数，而非任意子集。把数字分成五对 $\{0,9\},\{1,8\},\{2,7\},\{3,6\},\{4,5\}$。每对至多选一位，且首位不能为零。两位数有 $9\cdot8=72$ 个，三位数有 $9\cdot8\cdot6=432$ 个。五位数如 $10234$ 符合；六位数必从某对取两位，不可能。

两位、三位合计 $504$，所以目标是第 $577$ 个四位数。固定首位后有 $8\cdot6\cdot4=192$ 个，首位 $1,2,3$ 共 $576$ 个。因此目标是首位为 $4$ 的最小合格四位数，即 $4012$。

第 2 题

题目

已知 $\sin x+\sin y=\dfrac13$，$\cos x-\cos y=\dfrac15$，求 $\cos(x+y),\sin(x-y),\cos(x-y)$。

解答

令 $u=(x+y)/2,v=(x-y)/2$。条件变为 $2\sin u\cos v=1/3,-2\sin u\sin v=1/5$。平方相加得 $4\sin^2u=34/225$，故 $\cos(x+y)=1-2\sin^2u=208/225$。两式相除得 $\tan v=-3/5$，因此 $\sin2v=-15/17,\cos2v=8/17$，即所求后两项。

第 3 题

题目

点 $A$ 在 $y=kx$ 上，点 $B$ 在 $y=-kx$ 上，其中 $k>0$，$|OA|\cdot|OB|=k^2+1$，且 $A,B$ 在 $y$ 轴同侧。

1. 求 $AB$ 中点 $M$ 的轨迹 $C$；
2. 曲线 $C$ 与抛物线 $x^2=2py$（$p>0$）相切，求证：切点分别在两条定直线上，并求切线方程。

解答

写 $A=(u,ku),B=(v,-kv)$。同侧条件与长度积给出 $uv=1$。中点坐标为 $x=(u+v)/2,y=k(u-v)/2$，故 $x^2-y^2/k^2=1$。反之每个该双曲线上的点可反解 $u=x+y/k,v=x-y/k$，满足 $uv=1$，故整条双曲线都是轨迹。

联立抛物线，令 $X=x^2$，得 $X^2-4p^2k^2X+4p^2k^2=0$。相切要求重根，故 $pk=1$，$X=2$。切点 $(\pm\sqrt2,k)$，分别在两条固定直线 $x=\pm\sqrt2$ 上。抛物线切线斜率为 $x/p$，得 $y=\pm\sqrt2kx-k$。

第 4 题

题目

$7$ 个红球、$8$ 个黑球，一次取出 $4$ 个。

1. 求恰有一个红球的概率；
2. 取出黑球的个数为 $X$，求 $X$ 的分布列和期望 $E(X)$；
3. 取出 $4$ 个球同色，求全为黑色的概率。

解答

样本数 $\binom{15}4=1365$。恰一红的概率为 $7\binom83/1365=56/195$。分布为

$$P(X=j)=\frac{\binom8j\binom7{4-j}}{1365},\quad j=0,1,2,3,4,$$

对应分子依次为 $35,280,588,392,70$，相加为 $1365$。按抽取指示变量，$EX=4\cdot8/15=32/15$。条件于同色，黑色概率为 $\binom84/(\binom84+\binom74)=2/3$。

第 5 题

题目

数列 $\{a_n\}$ 各项均为正数，且对任意 $n\in\mathbb N^*$ 满足 $a_{n+1}=a_n+ca_n^2$（$c>0$ 为常数）。

1. 证明：对任意正数 $M$，存在 $N\in\mathbb N^*$，当 $n>N$ 时有 $a_n>M$；

2. 设 $b_n=\dfrac1{1+ca_n}$，$S_n$ 是 $\{b_n\}$ 前 $n$ 项和，证明：

   1. $\{S_n\}$ 有界；
   2. 对任意 $d>0$，存在 $N\in\mathbb N^*$，当 $n>N$ 时有 $0<\left|S_n-\dfrac1{ca_1}\right|<d$。

解答

递推给出 $a_{n+1}-a_n=ca_n^2\ge ca_1^2$，故 $a_n\ge a_1+(n-1)ca_1^2\to\infty$。又

$$\frac1{ca_n}-\frac1{ca_{n+1}} =\frac1{1+ca_n}=b_n.$$

相加得 $S_n=1/(ca_1)-1/(ca_{n+1})$，故 $0<S_n<1/(ca_1)$，且误差 $1/(ca_{n+1})\to0$。给定 $d>0$，取 $N$ 使 $a_{N+1}>1/(cd)$ 即满足原题的量词要求。

第 6 题

题目

已知 $x,y,z$ 是互不相等的正整数，$xyz\mid(xy-1)(yz-1)(zx-1)$，求 $x,y,z$。

解答

展开后原整除等价于 $xyz\mid xy+yz+zx-1$。因对称性，设 $x<y<z$。若 $x\ge3$，则

$$0<\frac{xy+yz+zx-1}{xyz}<\frac13+\frac14+\frac15<1,$$

不可能为整数。若 $x=1$，该商为 $1+(y+z-1)/(yz)$，而 $0<y+z-1<yz$，也不可能为整数。只剩 $x=2$。

此时 $y\ge3,z\ge4$，商介于 $0$ 与 $1/2+1/3+1/4<2$ 之间，只能为 $1$。等式变为 $yz-2y-2z+1=0$，即 $(y-2)(z-2)=3$，所以 $y=3,z=5$。代回满足整除，全部解为其六种排列。

第 7 题

题目

已知 $f(x)=(1-x)e^x-1$。

1. 证明：当 $x>0$ 时 $f(x)<0$；
2. 数列 $\{x_n\}$ 满足 $x_ne^{x_{n+1}}=e^{x_n}-1$，$x_1=1$，证明：数列 $\{x_n\}$ 递减且 $x_n>\dfrac1{2^n}$。

解答

$f(0)=0$，$f'(x)=-xe^x<0$，所以 $x>0$ 时 $f(x)<0$。

递推可写为 $x_{n+1}=\ln((e^{x_n}-1)/x_n)$。对 $t>0$，$e^t>1+t$ 给出比值大于 $1$，所以后项仍为正；第一问给出 $(e^t-1)/t<e^t$，所以后项小于 $t$。

再由 $e^{t/2}-e^{-t/2}>t$（左端减 $t$ 的导数为 $\cosh(t/2)-1>0$），得 $(e^t-1)/t>e^{t/2}$，从而 $x_{n+1}>x_n/2$。结合 $x_1=1$，得更强的 $x_n>2^{1-n}$（$n\ge2$），尤其 $x_n>2^{-n}$。