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题号
答案
1
⋃ k ∈ Z [ − π / 4 + 2 k π , 3 π / 4 + 2 k π ] \bigcup_{k\in\mathbb Z}[-\pi/4+2k\pi,\,3\pi/4+2k\pi] ⋃ k ∈ Z [ − π /4 + 2 k π , 3 π /4 + 2 k π ]
2
4 4 4
3
命题成立
4
a ≤ − 3 / 2 a\le-3/2 a ≤ − 3/2 a ≥ 1 / 2 a\ge1/2 a ≥ 1/2
5
见证明（第二问 n ≥ 2 n\ge2 n ≥ 2
6
n 2 − m 2 n^2-m^2 n 2 − m 2
7
⌈ 1 + log 2 1 1 − α ⌉ \left\lceil1+\log_2\frac1{1-\alpha}\right\rceil ⌈ 1 + log 2 1 − α 1 ⌉
8
k = 3 , P = ( 1 , 3 ) , Q = ( 13 / 3 , 17 / 9 ) k=3,P=(1,3),Q=(13/3,17/9) k = 3 , P = ( 1 , 3 ) , Q = ( 13/3 , 17/9 ) R R R
9
成立；二面角 arccos ( − 1 / ( 2 3 ) ) \arccos(-1/(2\sqrt3)) arccos ( − 1/ ( 2 3 ))
10
a ≥ 486 a\ge486 a ≥ 486
11
f ( x ) = 1 + x 2 / 3 f(x)=1+x^2/3 f ( x ) = 1 + x 2 /3
12
实际上包含一对非零相反格点及原点
逐题解析
第 1 题
题目
已知 1 + sin 2 θ = sin θ + cos θ \sqrt{1+\sin2\theta}=\sin\theta+\cos\theta 1 + sin 2 θ = sin θ + cos θ θ \theta θ
解答
左端等于 ∣ sin θ + cos θ ∣ |\sin\theta+\cos\theta| ∣ sin θ + cos θ ∣ 2 sin ( θ + π / 4 ) ≥ 0 \sqrt2\sin(\theta+\pi/4)\ge0 2 sin ( θ + π /4 ) ≥ 0
第 2 题
题目
已知单位圆上三点 ( a , b ) , ( c , d ) , ( x , y ) (a,b),(c,d),(x,y) ( a , b ) , ( c , d ) , ( x , y )
( a x + b y − c ) 2 + ( b x − a y + d ) 2 + ( c x + d y + a ) 2 + ( d x − c y − b ) 2 . (ax+by-c)^2+(bx-ay+d)^2+(cx+dy+a)^2+(dx-cy-b)^2. ( a x + b y − c ) 2 + ( b x − a y + d ) 2 + ( c x + d y + a ) 2 + ( d x − cy − b ) 2 . 解答
将前两项展开得 2 − 2 a c x − 2 b c y + 2 b d x − 2 a d y 2-2acx-2bcy+2bdx-2ady 2 − 2 a c x − 2 b cy + 2 b d x − 2 a d y 2 + 2 a c x + 2 a d y − 2 b d x + 2 b c y 2+2acx+2ady-2bdx+2bcy 2 + 2 a c x + 2 a d y − 2 b d x + 2 b cy 4 4 4
第 3 题
题目
已知 a , b , c , a + b + c a,b,c,\sqrt a+\sqrt b+\sqrt c a , b , c , a + b + c a , b , c \sqrt a,\sqrt b,\sqrt c a , b , c
解答
设 r = a + b + c ∈ Q r=\sqrt a+\sqrt b+\sqrt c\in\mathbb Q r = a + b + c ∈ Q r = 0 r=0 r = 0 r > 0 r>0 r > 0 u = a u=\sqrt a u = a ( r − u ) 2 = b + c + 2 b c (r-u)^2=b+c+2\sqrt{bc} ( r − u ) 2 = b + c + 2 b c
b c = r 2 + a − b − c 2 − r u = D − r u , D ∈ Q . \sqrt{bc}=\frac{r^2+a-b-c}{2}-ru=D-ru,\qquad D\in\mathbb Q. b c = 2 r 2 + a − b − c − r u = D − r u , D ∈ Q . 平方得 b c = D 2 + r 2 a − 2 D r u bc=D^2+r^2a-2Dr\,u b c = D 2 + r 2 a − 2 D r u D ≠ 0 D\ne0 D = 0 u ∈ Q u\in\mathbb Q u ∈ Q D = 0 D=0 D = 0 b c = − r u \sqrt{bc}=-ru b c = − r u u = 0 u=0 u = 0 a \sqrt a a
第 4 题
题目
f ( x ) = x 2 + 4 a x + 3 − 4 a f(x)=x^2+4ax+3-4a f ( x ) = x 2 + 4 a x + 3 − 4 a x x x a a a
解答
判别式非负等价于 16 a 2 + 16 a − 12 ≥ 0 16a^2+16a-12\ge0 16 a 2 + 16 a − 12 ≥ 0 ( 2 a − 1 ) ( 2 a + 3 ) ≥ 0 (2a-1)(2a+3)\ge0 ( 2 a − 1 ) ( 2 a + 3 ) ≥ 0
第 5 题
题目
证明：
k − 1 k < k k + 1 \dfrac{k-1}{k}<\dfrac{k}{k+1} k k − 1 < k + 1 k k k k n < 3 2 ⋅ 5 4 ⋯ 2 n − 1 2 n − 2 < 2 n − 1 \sqrt n<\dfrac32\cdot\dfrac54\cdots\dfrac{2n-1}{2n-2}<\sqrt{2n-1} n < 2 3 ⋅ 4 5 ⋯ 2 n − 2 2 n − 1 < 2 n − 1 n ≥ 2 n\ge2 n ≥ 2
解答
第一问两边之差为
k k + 1 − k − 1 k = 1 k ( k + 1 ) > 0. \frac{k}{k+1}-\frac{k-1}{k}=\frac1{k(k+1)}>0. k + 1 k − k k − 1 = k ( k + 1 ) 1 > 0. 令 P n = ∏ j = 1 n − 1 ( 2 j + 1 ) / ( 2 j ) P_n=\prod_{j=1}^{n-1}(2j+1)/(2j) P n = ∏ j = 1 n − 1 ( 2 j + 1 ) / ( 2 j ) j ≥ 1 j\ge1 j ≥ 1
j + 1 j < ( 2 j + 1 ) 2 ( 2 j ) 2 < 2 j + 1 2 j − 1 . \frac{j+1}{j}<\frac{(2j+1)^2}{(2j)^2}<\frac{2j+1}{2j-1}. j j + 1 < ( 2 j ) 2 ( 2 j + 1 ) 2 < 2 j − 1 2 j + 1 . 两端与中项的差均由 1 > 0 1>0 1 > 0 n < P n 2 < 2 n − 1 n<P_n^2<2n-1 n < P n 2 < 2 n − 1 n ≥ 2 n\ge2 n ≥ 2
第 6 题
题目
整数 m , n m,n m , n m < n m<n m < n [ m , n ] [m,n] [ m , n ] N 3 \dfrac N3 3 N N N N 3 3 3
解答
每个单位区间 [ j , j + 1 ] [j,j+1] [ j , j + 1 ] j + 1 / 3 , j + 2 / 3 j+1/3,j+2/3 j + 1/3 , j + 2/3
∑ j = m n − 1 ( 2 j + 1 ) = ( n − m ) ( m + n ) = n 2 − m 2 . \sum_{j=m}^{n-1}(2j+1)=(n-m)(m+n)=n^2-m^2. j = m ∑ n − 1 ( 2 j + 1 ) = ( n − m ) ( m + n ) = n 2 − m 2 . 此计数对负整数端点同样成立。
第 7 题
题目
独立抽取整数 n n n α \alpha α 0 < α < 1 0<\alpha<1 0 < α < 1 n n n
解答
在独立且奇偶等可能的模型下，全部奇数或全部偶数的概率为 2 1 − n 2^{1-n} 2 1 − n 2 1 − n ≤ 1 − α 2^{1-n}\le1-\alpha 2 1 − n ≤ 1 − α α > 0 \alpha>0 α > 0 2 2 2
第 8 题
题目
曲线 C : y = − x 2 + 5 x − 1 C:y=-x^2+5x-1 C : y = − x 2 + 5 x − 1 O O O C C C P P P y = k x y=kx y = k x
求 k k k P P P
P Q ⊥ P O PQ\perp PO P Q ⊥ P O Q Q Q C C C Q Q Q 是否存在 R R R R R R C C C S △ P O Q = S △ P Q R S_{\triangle POQ}=S_{\triangle PQR} S △ P O Q = S △ P QR
解答
恢复来源中的条件 P P P t t t y = ( − 2 t + 5 ) x + t 2 − 1 y=(-2t+5)x+t^2-1 y = ( − 2 t + 5 ) x + t 2 − 1 t 2 = 1 t^2=1 t 2 = 1 t = 1 t=1 t = 1 P = ( 1 , 3 ) P=(1,3) P = ( 1 , 3 ) k = 3 k=3 k = 3
垂线 P Q PQ P Q x + 3 y = 10 x+3y=10 x + 3 y = 10 3 x 2 − 16 x + 13 = 0 3x^2-16x+13=0 3 x 2 − 16 x + 13 = 0 1 1 1 Q = ( 13 / 3 , 17 / 9 ) Q=(13/3,17/9) Q = ( 13/3 , 17/9 )
两三角形共底 P Q PQ P Q R R R x + 3 y = 10 x+3y=10 x + 3 y = 10 O O O x + 3 y = 0 x+3y=0 x + 3 y = 0 20 20 20 3 x 2 − 16 x + 23 = 0 3x^2-16x+23=0 3 x 2 − 16 x + 23 = 0 − 20 -20 − 20
R = ( 8 ± 55 3 , − 8 ± 55 9 ) . R=\left(\frac{8\pm\sqrt{55}}3,\,-\frac{8\pm\sqrt{55}}9\right). R = ( 3 8 ± 55 , − 9 8 ± 55 ) . 两点都不在 P Q PQ P Q
第 9 题
题目
已知四面体 A − B C D A-BCD A − B C D
求证：至少存在一个顶点，使相交于该顶点的三条棱可组成三角形；
∠ B A C = π 2 \angle BAC=\dfrac\pi2 ∠ B A C = 2 π ∠ B A D = π 3 \angle BAD=\dfrac\pi3 ∠ B A D = 3 π ∠ D A C = β \angle DAC=\beta ∠ D A C = β tan β = 2 \tan\beta=2 tan β = 2 B − A D − C B-AD-C B − A D − C
解答
第一问，选最短棱为 C D CD C D C C C C A ≥ C B + C D CA\ge CB+CD C A ≥ C B + C D D D D D A > C A − C D ≥ C B DA>CA-CD\ge CB D A > C A − C D ≥ C B D B < C B + C D DB<CB+CD D B < C B + C D D B DB D B D C DC D C D A ≥ D B + C D DA\ge DB+CD D A ≥ D B + C D C A > D A − C D ≥ D B CA>DA-CD\ge DB C A > D A − C D ≥ D B A A A
A B < A C + B C < A C + A D , A C < A B + B C < A B + A D , A D < A B + B D < A B + A C . AB<AC+BC<AC+AD,\quad
AC<AB+BC<AB+AD,\quad
AD<AB+BD<AB+AC. A B < A C + B C < A C + A D , A C < A B + B C < A B + A D , A D < A B + B D < A B + A C . 所以 A B , A C , A D AB,AC,AD A B , A C , A D
第二问，将 A B , A C AB,AC A B , A C A D AD A D A D AD A D ϕ \phi ϕ
cos ∠ B A C = cos ∠ B A D cos β + sin ∠ B A D sin β cos ϕ . \cos\angle BAC=\cos\angle BAD\cos\beta+
\sin\angle BAD\sin\beta\cos\phi. cos ∠ B A C = cos ∠ B A D cos β + sin ∠ B A D sin β cos ϕ . 因 0 < β < π 0<\beta<\pi 0 < β < π tan β = 2 \tan\beta=2 tan β = 2 cos β = 1 / 5 , sin β = 2 / 5 \cos\beta=1/\sqrt5,\sin\beta=2/\sqrt5 cos β = 1/ 5 , sin β = 2/ 5 cos ϕ = − 1 / ( 2 3 ) \cos\phi=-1/(2\sqrt3) cos ϕ = − 1/ ( 2 3 )
第 10 题
题目
x > 0 x>0 x > 0 y = 3 x 2 + a x 3 ⩾ 45 y=3x^2+\dfrac{a}{x^3}\geqslant45 y = 3 x 2 + x 3 a ⩾ 45 a a a
解答
条件等价于对所有 x > 0 x>0 x > 0 a ≥ 45 x 3 − 3 x 5 a\ge45x^3-3x^5 a ≥ 45 x 3 − 3 x 5 15 x 2 ( 9 − x 2 ) 15x^2(9-x^2) 15 x 2 ( 9 − x 2 ) ( 0 , 3 ) (0,3) ( 0 , 3 ) ( 3 , ∞ ) (3,\infty) ( 3 , ∞ ) x = 3 x=3 x = 3 486 486 486 a ≥ 486 a\ge486 a ≥ 486
第 11 题
题目
f ( x ) f(x) f ( x ) lim x → 0 f ( x ) = f ( 0 ) = 1 \lim_{x\to0}f(x)=f(0)=1 lim x → 0 f ( x ) = f ( 0 ) = 1 f ( 2 x ) − f ( x ) = x 2 f(2x)-f(x)=x^2 f ( 2 x ) − f ( x ) = x 2 f ( x ) f(x) f ( x )
解答
逐次用 f ( x ) − f ( x / 2 ) = x 2 / 4 f(x)-f(x/2)=x^2/4 f ( x ) − f ( x /2 ) = x 2 /4
f ( x ) − f ( x / 2 N ) = x 2 ∑ j = 1 N 4 − j = x 2 3 ( 1 − 4 − N ) . f(x)-f(x/2^N)=x^2\sum_{j=1}^N4^{-j}
=\frac{x^2}{3}(1-4^{-N}). f ( x ) − f ( x / 2 N ) = x 2 j = 1 ∑ N 4 − j = 3 x 2 ( 1 − 4 − N ) . 令 N → ∞ N\to\infty N → ∞ f ( x ) = 1 + x 2 / 3 f(x)=1+x^2/3 f ( x ) = 1 + x 2 /3
第 12 题
题目
坐标中整数点称为格子点。证明：以 O O O 4 4 4 2 2 2
解答
记矩形为 K K K K / 2 K/2 K /2 1 1 1 K / 2 K/2 K /2 [ 0 , 1 ) 2 [0,1)^2 [ 0 , 1 ) 2 1 1 1 u , v ∈ K / 2 u,v\in K/2 u , v ∈ K /2 u − v ∈ Z 2 ∖ { 0 } u-v\in\mathbb Z^2\setminus\{0\} u − v ∈ Z 2 ∖ { 0 }
矩形凸且中心对称，故 u − v = 1 2 ( 2 u ) + 1 2 ( − 2 v ) ∈ K u-v=\frac12(2u)+\frac12(-2v)\in K u − v = 2 1 ( 2 u ) + 2 1 ( − 2 v ) ∈ K v − u ∈ K v-u\in K v − u ∈ K