2025年上海交通大学强基计划数学试题 · 参考解答

答案速览

题号	1	2	3	4
答案	$3-2\sqrt2$	$(0,2)$	$61/243$	$0$

逐题解析

第 1 题

题目

已知实数 $a,b,c,d$ 满足 $ab=c^2+d^2=1$，求 $(a-c)^2+(b-d)^2$ 的最小值。

解答

实数条件 $ab=1$ 给出 $a^2+b^2\ge2$，而 $c^2+d^2=1$。由二维向量的反三角不等式，

$$(a-c)^2+(b-d)^2\ge\left(\sqrt{a^2+b^2}-1\right)^2\ge(\sqrt2-1)^2.$$

取 $a=b=1,c=d=1/\sqrt2$ 时两次取等，所以最小值为 $3-2\sqrt2$。

第 2 题

题目

在 $\triangle ABC$ 中，已知 $\cos B\cos A=\sin B(1+\sin A)$，求 $\displaystyle\frac{b\sin A+a\sin B}{b\cos B}$ 的范围。

解答

由 $\cos A\cos B=\sin B(1+\sin A)$，移项得 $\cos(A+B)=\sin B>0$。由于 $0<A+B<\pi$，所以 $A+B<\pi/2$，因而 $0<B<\pi/2$。两边写成余弦，$\cos(A+B)=\cos(\pi/2-B)$，两个角均在 $(0,\pi)$ 内，故 $A+2B=\pi/2$，进而 $0<B<\pi/4$。

由正弦定理，

$$\frac{b\sin A+a\sin B}{b\cos B} =\frac{2\sin A}{\cos B} =\frac{2\cos2B}{\cos B} =4\cos B-\frac2{\cos B}.$$

令 $u=\cos B\in(1/\sqrt2,1)$，函数 $4u-2/u$ 严格递增，在两端的极限分别为 $0,2$，故范围为 $(0,2)$。任意 $B\in(0,\pi/4)$ 都对应合法的 $A=\pi/2-2B,C=\pi/2+B$，所以整个开区间均可取得。

第 3 题

题目

$A,B,C,D$ 四家餐厅，第一天选 $A$，以后每一天从前一天未选的三家餐厅中等概率任选一家。求第 7 天选 $A$ 的概率。

解答

设第 $n$ 天选择餐厅 A 的概率为 $p_n$。若前一天选 A，下一天不能选 A；若前一天没选 A，下一天选 A 的概率为 $1/3$。于是 $p_{n+1}=(1-p_n)/3$，平衡值为 $1/4$，所以

$$p_{n+1}-\frac14=-\frac13\left(p_n-\frac14\right).$$

第一天 $p_1=1$，到第七天经过六次转移，故 $p_7=1/4+(3/4)(-1/3)^6=61/243$。

第 4 题

题目

已知复数 $z$ 满足 $|z|=1$、$z^{2025}=1$，且 $2025$ 是使 $z^n=1$ 成立的最小正整数 $n$，求 $1-z\cdot z^2\cdot z^3\cdots z^{2024}$。

解答

这里求的是 $1$ 减去各次幂的乘积。利用 $z^{2025}=1$，

$$z\cdot z^2\cdots z^{2024}=z^{1+2+\cdots+2024}=z^{1012\cdot2025}=1.$$

因此原式为 $0$。本问只用到 $z^{2025}=1$，不需要使用最小正整数指数的附加条件。