2021年上海交通大学强基计划数学试题 · 参考解答

答案速览

题号	1	2	3	4	5
答案	$1/\sqrt3$	$(1+\sqrt5)/2$	$0$	$29$	$2$

逐题解析

第 1 题

题目

在 $\triangle ABC$ 中，$\tan C=-3\tan A$，求 $\tan B$ 的最大值。

解答

设 $t=\tan A$。三角形条件和 $\tan C=-3t$ 表明 $A,C$ 一锐一钝。若 $A$ 钝，则 $B$ 锐，而

$$\tan B=-\tan(A+C)=\frac{2t}{1+3t^2}<0,$$

矛盾。因此 $t>0$。由 $1+3t^2\ge2\sqrt3t$，得到 $\tan B\le1/\sqrt3$。取 $A=B=30^\circ,C=120^\circ$ 满足全部条件并取等。

第 2 题

题目

求边长为 $1$ 的正五边形的对角线长。

解答

设正五边形边长为 $1$，对角线长为 $d$。对四个连续顶点组成的圆内接四边形用托勒密定理，得两对角线乘积等于两组对边乘积之和，即 $d^2=1+d$。取正根，$d=(1+\sqrt5)/2$。

题面校注： 源答案表列出的根式不是边长为 $1$ 的正五边形对角线长。

第 3 题

题目

实数 $a,b>1$，且 $\lg(a+b)=\lg a+\lg b$，求 $\lg(a-1)+\lg(b-1)$。

解答

对数存在要求 $a,b>0$。由 $\lg(a+b)=\lg a+\lg b$ 得 $a+b=ab$，于是 $(a-1)(b-1)=1$。二因子必须同号；若都负，则 $0<a,b<1$，有 $ab<a<a+b$，矛盾。所以 $a,b>1$，所求对数有意义，且

$$\lg(a-1)+\lg(b-1)=\lg[(a-1)(b-1)]=0.$$

第 4 题

题目

【条件明确】四条抛物线两两各有四个不同的交点，交点处均不相切，且任意三条没有公共点。求它们将平面分成的区域数。

解答

题面校注： 原回忆题只给出前两种划分的最大区域数；教学版明确了每对四交点、无相切、无三线共点的条件。

第一条抛物线把平面分为两部分。加入第 $j$ 条时，与已有曲线形成 $4(j-1)$ 个不同横截交点，将该抛物线分成 $4(j-1)+1$ 段，每一段将所在区域一分为二。因此四条对应

$$2+(4+1)+(8+1)+(12+1)=29.$$

源答案表第 4、5 题的内容存在错位，应依题面分别求解。

第 5 题

题目

求方程 $|\sqrt2-x|=\sqrt{2-x^2}$ 的实数解个数。

解答

题面校注： 原式为 $|\sqrt2-x|=\sqrt{2-x^2}$，转写错误地变成了另一根式方程。

定义域是 $[-\sqrt2,\sqrt2]$。两边均非负，平方为等价变形：$2-2\sqrt2x+x^2=2-x^2$，即 $2x(x-\sqrt2)=0$。$x=0,\sqrt2$ 都在定义域内并满足原式，故有两个实根。