2020年北京大学优秀中学生暑期学堂测试 · 参考解答

本卷按现存正式题面独立推导；当前校内 source 未发现本场独立原始扫描件，不宣称完成来源级逐字复原。七题均自洽，无须补编。

答案速览

1. $(a,b,n)=(1,4,2),(4,1,2)$；2. 四点共圆；3. 不是周期函数；4. $90$；5. 存在无穷多个；6. $(-1,1)\cup[\sqrt[3]2,\sqrt[3]4)$；7. 存在。

逐题解析

第 1 题

题目

已知正整数 $a,b,n$ 满足 $a!+b!=5^n$，求 $a,b,n$。

解答

$5^n$ 为奇数，因此两阶乘中恰有一个为奇数。正整数阶乘只有 $1!$ 为奇数，不妨 $a=1$。若 $b\ge5$，则 $1+b!\equiv1\pmod5$，矛盾；逐一代入 $b=1,2,3,4$，对应 $2,3,7,25$，只有 $25=5^2$ 合格。故全部解为 $(1,4,2),(4,1,2)$。

第 2 题

题目

证明：双曲线的任一切线与渐近线的交点，与双曲线的两个焦点四点共圆。

解答

取双曲线方程 $x^2/a^2-y^2/b^2=1$，$c^2=a^2+b^2$，切点写为 $(au,bv)$，其中 $u^2-v^2=1$。切线方程 $ux/a-vy/b=1$，分别与渐近线交于

$$U=(a(u+v),b(u+v)),\qquad V=(a(u-v),-b(u-v)).$$

两个焦点 $(\pm c,0)$ 及 $U,V$ 均满足

$$x^2+y^2-\frac{2c^2v}{b}y-c^2=0.$$

例如对 $U$，左式除以 $c^2$ 为 $(u+v)^2-2v(u+v)-1=u^2-v^2-1=0$，$V$ 同理。该方程是一个实圆，故四点共圆。

第 3 题

题目

判断函数 $f(x)=\sin x+\sin(\sqrt2x)$ 是否为周期函数；如果是，求出最小正周期；如果不是，请说明理由。

解答

假设有周期 $T>0$。因为 $f$ 可微任意次，$f''$ 也有周期 $T$。而 $f''+2f=\sin x$，所以 $T$ 是 $\sin x$ 的周期，即 $T=2k\pi$，$k$ 为正整数。再由 $f-\sin x=\sin(\sqrt2x)$ 得 $\sqrt2T=2l\pi$，$l$ 为正整数。于是 $\sqrt2=l/k$，矛盾。因此该函数不具有正周期。

第 4 题

题目

在 $4\times4$ 方格表中，将若干格子染成黑色，求每行每列均恰有 $2$ 个黑色格子的方法数。

解答

第一行有 $\binom42=6$ 种选择。固定第一行后，第二行与之共有的黑格列数可为 $2,0,1$。

• 共有两列：第二行唯一，剩余两行都只能涂另外两列，有 $1$ 种。
• 没有共同列：第二行唯一，每列目前恰一黑，第三行任取两列、第四行取补集，有 $6$ 种。
• 恰一共同列：第二行有 $4$ 种；剩下两行均必须涂此前零黑的列，并各涂两个一黑列中的一个，有 $2$ 种。

故总数为 $6(1+6+4\cdot2)=90$。

第 5 题

题目

对任意的正整数 $k$，证明：存在无穷个为 $k$ 的倍数的正整数 $n$，在十进制表示下，$n$ 的最左四位为 $2020$。

解答

对任意足够大的整数 $s$，半开区间 $[2020\cdot10^s,2021\cdot10^s)$ 的长度 $10^s$ 至少为 $k$，因此其中至少含一个 $k$ 的倍数（可取不小于左端的最小倍数）。该区间内的整数十进制前四位均为 $2020$。不同 $s$ 对应不同位数，给出无穷多个不同的 $n$。

第 6 题

题目

已知 $[x]$ 为不超过 $x$ 的最大整数，求方程 $[x]+[x^2]=[x^3]$ 的解集。

解答

当 $x<-1$，令 $t=-x>1$，则

$$\lfloor x\rfloor+\lfloor x^2\rfloor-\lfloor x^3\rfloor =\lfloor t^2\rfloor+\lceil t^3\rceil-\lceil t\rceil\ge1,$$

所以无解；$x=-1$ 也不满足。$-1<x<0$ 时三项分别为 $-1,0,-1$，全部满足；$0\le x<1$ 三项均为零，全部满足；$x=1$ 不满足。

在 $1<x<2$ 中，$\lfloor x\rfloor=1$。若 $x^2\in[1,2)$，须 $x^3\in[2,3)$，得到 $[\sqrt[3]2,\sqrt2)$；若 $x^2\in[2,3)$，须 $x^3\in[3,4)$，得到 $[\sqrt2,\sqrt[3]4)$；若 $x^2\in[3,4)$，则 $x^3\ge3\sqrt3>5$，不可能等于所需整数部分 $4$。

最后 $x\ge2$ 时

$$\lfloor x^3\rfloor-\lfloor x^2\rfloor-\lfloor x\rfloor>x^3-1-x^2-x\ge1,$$

故无解。合并得 $(-1,1)\cup[\sqrt[3]2,\sqrt[3]4)$。

第 7 题

题目

求证：对任意 $a,d\in\mathbb R_+$，$b,c\in\mathbb R_-$，存在 $(x,y)\in(0,1)^2$，使 $(ax+by)(cx+dy)>0$ 成立（$ad\neq bc$）。

解答

令 $r=y/x>0$。所求乘积为 $x^2(a+br)(c+dr)$，其中两个一次因子的正根分别为 $r_1=-a/b,r_2=-c/d$。条件 $ad\ne bc$ 保证两根不同；又 $b<0,d>0$，所以两根之间乘积严格为正。

任取两根之间的 $r$，再取 $0<x<\min(1,1/r)$，令 $y=rx$，便有 $(x,y)\in(0,1)^2$ 且所求乘积为正。