2019年北京大学自主招生测试 · 参考解答

题面已与校内历史汇编对应两页核对。第 1、5 题的正确结果不在前三个选项中，应选“其他”，不强行改成某个错误选项。

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D（ $83980$ ）；2. B；3. C；4. A；5. D（单点集 $\{\sqrt2ab/(a+b)\}$ ）；6. C；7. A；8. B；9. B；10. A；11. B；12. A；13. B。

逐题解析

第 1 题

题目

从 $1,2,\ldots,20$ 中任取 $4$ 个数，这 $4$ 个数的最小公倍数的最大值为（　）

A. $73760$
B. $83890$
C. $96900$
D. 其他

解答

最大值为 $13\cdot17\cdot19\cdot20=83980$ ，选 D。证明上界：若至少两个偶数，则最小公倍数不超过 $20\cdot19\cdot18\cdot17/2=58140$ ；若全奇，则不超过 $19\cdot17\cdot15\cdot13=62985$ 。

若恰一个偶数，且奇数不含 $15$ ，乘积上界即 $83980$ ；若含 $15$ ，偶数不超过 $16$ 时乘积不超过 $16\cdot19\cdot17\cdot15=77520$ ，偶数为 $18$ 或 $20$ 时还须将乘积分别至少除以公共因子 $3$ 或 $5$ ，也小于 $83980$ 。重复取数不会增大上界。

第 2 题

题目

已知椭圆 $\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{16}=1$ ， $F_1,F_2$ 为其左、右焦点， $P$ 为椭圆上一点。若 $\triangle PF_1F_2$ 的内切圆半径为 $1$ ，内心为 $I$ ，则 $P$ 到 $I$ 的距离为（　）

A. $\sqrt{3}$
B. $\sqrt{5}$
C. $2$
D. 其他

解答

焦距 $F_1F_2=6$ ，另两边 $p,q$ 满足 $p+q=10$ ，半周长 $s=8$ 。由面积 $rs=8$ ，得到 $|y_P|=8/3$ ，再代入椭圆得 $|x_P|=5\sqrt5/3$ 。焦半径为 $5\pm\sqrt5$ ，所以 $pq=20$ 。

半角公式给出

\sin^2\frac{\angle F_1PF_2}{2}=\frac{(s-p)(s-q)}{pq}=\frac{64-80+20}{20}=\frac15.

内心到两腰距离为 $1$ ，所以 $PI=1/\sin(\angle P/2)=\sqrt5$ ，选 B。

第 3 题

题目

函数 $y=\sin 2\alpha\cos\alpha$ ， $\alpha\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right]$ 的值域为（　）

A. $\left(0,\dfrac{4\sqrt{3}}9\right]$
B. $\left(0,\dfrac{3\sqrt{3}}8\right]$
C. $\left[0,\dfrac{4\sqrt{3}}9\right]$
D. 其他

解答

置 $t=\sin\alpha\in(0,1]$ ，则 $y=2t(1-t^2)$ 。导数 $2-6t^2$ 在 $t=1/\sqrt3$ 变号，最大值为 $4\sqrt3/9$ ； $t=1$ 时取最小值 $0$ 。故选 C。

第 4 题

题目

已知复数 $z_1,z_2$ 满足 $|z_1-3\mathrm{i}|=2$ ， $|z_2-8|=1$ ，则复数 $z_1-z_2$ 在复平面上所构成图形的面积为（　）

A. $8\pi$
B. $4\pi$
C. $10\pi$
D. 其他

解答

写成 $z_1=3i+2e^{iu},z_2=8+e^{iv}$ 。差相对中心 $-8+3i$ 的模可以连续取遍 $[1,3]$ ，方向可以任意旋转，故图形是内外半径 $1,3$ 的圆环，面积为 $8\pi$ ，选 A。

第 5 题

题目

设 $a,b>0$ ，则不等式

\sqrt{x^2-\sqrt{2}ax+a^2}+\sqrt{x^2-\sqrt{2}bx+b^2}\leqslant\sqrt{a^2+b^2}

的解集为（　）

A. $\left(0,\dfrac{\sqrt{2}ab}{a+b}\right]$
B. $\left(0,\dfrac{2ab}{a+b}\right]$
C. $\left[\dfrac{\sqrt{2}ab}{a+b},\dfrac{2\sqrt{2}ab}{a+b}\right]$
D. 其他

解答

令 $P=(x,0)$ ， $A=(a/\sqrt2,a/\sqrt2)$ ， $B=(b/\sqrt2,b/\sqrt2)$ ，并把 $B$ 关于横轴反射成 $B'$ 。不等式左边为 $PA+PB'=PA+PB$ ，而

PA+PB'\ge AB'=\sqrt{a^2+b^2}.

因此题设不等式只在 $P$ 位于线段 $AB'$ 上时成立。该线段与横轴唯一相交于 $x=\sqrt2ab/(a+b)$ ，故解集只有此一点，选 D。

第 6 题

题目

在正方形 $ABCD$ 中，点 $K$ 在正方形内部，且 $\angle KDB=\angle KBC=10^\circ$ ，则 $\angle KAD$ 为（　）

A. $45^\circ$
B. $60^\circ$
C. $70^\circ$
D. 其他

解答

设正方形顶点为 $A=(0,0),B=(1,0),C=(1,1),D=(0,1)$ 。由内部条件，射线 $BK$ 的方向角为 $100^\circ$ ，可写成直线 $x=1-y\tan10^\circ$ 。

从 $D$ 出发与 $DB$ 成 $10^\circ$ 的两条射线方向角为 $-35^\circ,-55^\circ$ 。后一条与 $BK$ 相交时

x=\frac{1-\tan10^\circ}{1-\tan10^\circ\tan55^\circ}>1,

不在正方形内部，因此只能选前一条。点 $K=(\cos20^\circ,\sin20^\circ)$ 同时满足两条直线：

\frac{\sin20^\circ}{\cos20^\circ-1}=-\cot10^\circ,\qquad \frac{\sin20^\circ-1}{\cos20^\circ}=-\tan35^\circ.

两线唯一相交，故这就是 $K$ 。于是 $\angle KAD=90^\circ-20^\circ=70^\circ$ ，选 C。

第 7 题

题目

已知 $x,y\in\mathbb Z$ ，若 $(x^2+x+1)^2+(y^2+y+1)^2$ 是完全平方数，则整数对 $(x,y)$ 的个数为（　）

A. $0$
B. $1$
C. 无穷多个
D. 其他

解答

$x^2+x+1$ 与 $y^2+y+1$ 都是奇数，平方均模 $4$ 余 $1$ ，故两平方和模 $4$ 余 $2$ ，不可能为平方数。整数对为零个，选 A。

第 8 题

题目

方程 $\sin x=\dfrac{x}{13}$ 的根的个数为（　）

A. $3$
B. $7$
C. $1$
D. 其他

解答

所有根满足 $|x|\le13$ ，且关于原点对称。令 $g(x)=\sin x-x/13$ 。在 $(0,\pi)$ 内严格凹， $g'(0)>0,g(\pi)<0$ ，故恰有一个正根；在 $(2\pi,3\pi)$ 内严格凹，两端为负而中点 $5\pi/2$ 处为正，故恰有两个根。正弦非正的正半轴区间无根。

最后检查 $(4\pi,13]$ ：由 $\sin x=\sin(x-4\pi)\le x-4\pi\le13-4\pi<4\pi/13\le x/13$ ，这里最后的严格数值不等式由 $\pi>3.14$ 即得，故无根。三个正根、三个负根加上零，共七根，选 B。

第 9 题

题目

数列 $\{a_k\}$ 满足 $a_{k+1}+a_k=4k+3$ ，则 $a_1+a_{2020}$ 为（　）

A. $4040$
B. $4043$
C. $4046$
D. 其他

解答

相邻两式相减得 $a_{k+2}-a_k=4$ ，于是 $a_{2020}=a_2+4\cdot1009$ 。又 $a_1+a_2=7$ ，故所求为 $4043$ ，选 B。

第 10 题

题目

已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$ ， $a_{n+1}=a_n+\dfrac{1}{2^n\sqrt{a_n}}$ ，则（　）

A. $\{a_n\}$ 单调递增且有界
B. $\{a_n\}$ 单调递减且无界
C. $\{a_n\}$ 不具有单调性
D. 其他

解答

从 $a_1=1$ 出发，递推增量为正，故严格递增并始终 $a_n\ge1$ 。所以

a_n=1+\sum_{k=1}^{n-1}\frac1{2^k\sqrt{a_k}}\le1+\sum_{k=1}^{n-1}2^{-k}<2.

因此递增且有界，选 A。

第 11 题

题目

从 $1,2,\ldots,9$ 中任取 $4$ 个不同的数 $a,b,c,d$ ，则 $a+b$ 与 $c+d$ 奇偶性相同的概率为（　）

A. $\dfrac{10}{21}$
B. $\dfrac{11}{21}$
C. $\dfrac12$
D. 其他

解答

两组和同奇偶等价于四数总和为偶数，即选四数中奇数有 $0,2,4$ 个。九数中五奇四偶，所求概率为

\frac{\binom44+\binom52\binom42+\binom54}{\binom94}=\frac{66}{126}=\frac{11}{21},

选 B。

第 12 题

题目

平面内 $10$ 个圆最多将平面分成（　）个部分。

A. $92$
B. $90$
C. $88$
D. 其他

解答

第一个圆产生两个区域；第 $k$ 个圆与前面至多有 $2(k-1)$ 个交点，被分成至多同样多段圆弧，每段至多增加一个区域。因此上界为 $2+\sum_{k=2}^{10}2(k-1)=92$ 。取半径相等、圆心彼此很近且处于一般位置的十个圆，可保证每两圆交于两点且无三圆共点，达到上界，选 A。

第 13 题

题目

已知 $x_1,x_2,x_3$ 是方程 $x^3+2x^2+x+4=0$ 的三个根，则

\frac1{x_1-2}+\frac1{x_2-2}+\frac1{x_3-2}

的值为（　）

A. $-\dfrac{23}{24}$
B. $-\dfrac{21}{22}$
C. $-\dfrac{20}{21}$
D. 其他

解答

令 $P(t)=t^3+2t^2+t+4=\prod_{j=1}^3(t-x_j)$ 。对数求导给出

\sum_{j=1}^3\frac1{x_j-2}=-\frac{P'(2)}{P(2)}=-\frac{21}{22},

选 B。

题面已与校内历史汇编对应两页核对。第 1、5 题的正确结果不在前三个选项中，应选“其他”，不强行改成某个错误选项。

答案速览

D（ $83980$ ）；2. B；3. C；4. A；5. D（单点集 $\{\sqrt2ab/(a+b)\}$ ）；6. C；7. A；8. B；9. B；10. A；11. B；12. A；13. B。

逐题解析

第 1 题

题目

从 $1,2,\ldots,20$ 中任取 $4$ 个数，这 $4$ 个数的最小公倍数的最大值为（　）

A. $73760$
B. $83890$
C. $96900$
D. 其他

解答

第 2 题

题目

A. $\sqrt{3}$
B. $\sqrt{5}$
C. $2$
D. 其他

解答

半角公式给出

\sin^2\frac{\angle F_1PF_2}{2}=\frac{(s-p)(s-q)}{pq}=\frac{64-80+20}{20}=\frac15.

内心到两腰距离为 $1$ ，所以 $PI=1/\sin(\angle P/2)=\sqrt5$ ，选 B。

第 3 题

题目

函数 $y=\sin 2\alpha\cos\alpha$ ， $\alpha\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right]$ 的值域为（　）

A. $\left(0,\dfrac{4\sqrt{3}}9\right]$
B. $\left(0,\dfrac{3\sqrt{3}}8\right]$
C. $\left[0,\dfrac{4\sqrt{3}}9\right]$
D. 其他

解答

置 $t=\sin\alpha\in(0,1]$ ，则 $y=2t(1-t^2)$ 。导数 $2-6t^2$ 在 $t=1/\sqrt3$ 变号，最大值为 $4\sqrt3/9$ ； $t=1$ 时取最小值 $0$ 。故选 C。

第 4 题

题目

已知复数 $z_1,z_2$ 满足 $|z_1-3\mathrm{i}|=2$ ， $|z_2-8|=1$ ，则复数 $z_1-z_2$ 在复平面上所构成图形的面积为（　）

A. $8\pi$
B. $4\pi$
C. $10\pi$
D. 其他

解答

写成 $z_1=3i+2e^{iu},z_2=8+e^{iv}$ 。差相对中心 $-8+3i$ 的模可以连续取遍 $[1,3]$ ，方向可以任意旋转，故图形是内外半径 $1,3$ 的圆环，面积为 $8\pi$ ，选 A。

第 5 题

题目

设 $a,b>0$ ，则不等式

\sqrt{x^2-\sqrt{2}ax+a^2}+\sqrt{x^2-\sqrt{2}bx+b^2}\leqslant\sqrt{a^2+b^2}

的解集为（　）

A. $\left(0,\dfrac{\sqrt{2}ab}{a+b}\right]$
B. $\left(0,\dfrac{2ab}{a+b}\right]$
C. $\left[\dfrac{\sqrt{2}ab}{a+b},\dfrac{2\sqrt{2}ab}{a+b}\right]$
D. 其他

解答

令 $P=(x,0)$ ， $A=(a/\sqrt2,a/\sqrt2)$ ， $B=(b/\sqrt2,b/\sqrt2)$ ，并把 $B$ 关于横轴反射成 $B'$ 。不等式左边为 $PA+PB'=PA+PB$ ，而

PA+PB'\ge AB'=\sqrt{a^2+b^2}.

因此题设不等式只在 $P$ 位于线段 $AB'$ 上时成立。该线段与横轴唯一相交于 $x=\sqrt2ab/(a+b)$ ，故解集只有此一点，选 D。

第 6 题

题目

在正方形 $ABCD$ 中，点 $K$ 在正方形内部，且 $\angle KDB=\angle KBC=10^\circ$ ，则 $\angle KAD$ 为（　）

A. $45^\circ$
B. $60^\circ$
C. $70^\circ$
D. 其他

解答

设正方形顶点为 $A=(0,0),B=(1,0),C=(1,1),D=(0,1)$ 。由内部条件，射线 $BK$ 的方向角为 $100^\circ$ ，可写成直线 $x=1-y\tan10^\circ$ 。

从 $D$ 出发与 $DB$ 成 $10^\circ$ 的两条射线方向角为 $-35^\circ,-55^\circ$ 。后一条与 $BK$ 相交时

x=\frac{1-\tan10^\circ}{1-\tan10^\circ\tan55^\circ}>1,

不在正方形内部，因此只能选前一条。点 $K=(\cos20^\circ,\sin20^\circ)$ 同时满足两条直线：

\frac{\sin20^\circ}{\cos20^\circ-1}=-\cot10^\circ,\qquad \frac{\sin20^\circ-1}{\cos20^\circ}=-\tan35^\circ.

两线唯一相交，故这就是 $K$ 。于是 $\angle KAD=90^\circ-20^\circ=70^\circ$ ，选 C。

第 7 题

题目

已知 $x,y\in\mathbb Z$ ，若 $(x^2+x+1)^2+(y^2+y+1)^2$ 是完全平方数，则整数对 $(x,y)$ 的个数为（　）

A. $0$
B. $1$
C. 无穷多个
D. 其他

解答

$x^2+x+1$ 与 $y^2+y+1$ 都是奇数，平方均模 $4$ 余 $1$ ，故两平方和模 $4$ 余 $2$ ，不可能为平方数。整数对为零个，选 A。

第 8 题

题目

方程 $\sin x=\dfrac{x}{13}$ 的根的个数为（　）

A. $3$
B. $7$
C. $1$
D. 其他

解答

第 9 题

题目

数列 $\{a_k\}$ 满足 $a_{k+1}+a_k=4k+3$ ，则 $a_1+a_{2020}$ 为（　）

A. $4040$
B. $4043$
C. $4046$
D. 其他

解答

相邻两式相减得 $a_{k+2}-a_k=4$ ，于是 $a_{2020}=a_2+4\cdot1009$ 。又 $a_1+a_2=7$ ，故所求为 $4043$ ，选 B。

第 10 题

题目

已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$ ， $a_{n+1}=a_n+\dfrac{1}{2^n\sqrt{a_n}}$ ，则（　）

A. $\{a_n\}$ 单调递增且有界
B. $\{a_n\}$ 单调递减且无界
C. $\{a_n\}$ 不具有单调性
D. 其他

解答

从 $a_1=1$ 出发，递推增量为正，故严格递增并始终 $a_n\ge1$ 。所以

a_n=1+\sum_{k=1}^{n-1}\frac1{2^k\sqrt{a_k}}\le1+\sum_{k=1}^{n-1}2^{-k}<2.

因此递增且有界，选 A。

第 11 题

题目

从 $1,2,\ldots,9$ 中任取 $4$ 个不同的数 $a,b,c,d$ ，则 $a+b$ 与 $c+d$ 奇偶性相同的概率为（　）

A. $\dfrac{10}{21}$
B. $\dfrac{11}{21}$
C. $\dfrac12$
D. 其他

解答

两组和同奇偶等价于四数总和为偶数，即选四数中奇数有 $0,2,4$ 个。九数中五奇四偶，所求概率为

\frac{\binom44+\binom52\binom42+\binom54}{\binom94}=\frac{66}{126}=\frac{11}{21},

选 B。

第 12 题

题目

平面内 $10$ 个圆最多将平面分成（　）个部分。

A. $92$
B. $90$
C. $88$
D. 其他

解答

第 13 题

题目

已知 $x_1,x_2,x_3$ 是方程 $x^3+2x^2+x+4=0$ 的三个根，则

\frac1{x_1-2}+\frac1{x_2-2}+\frac1{x_3-2}

的值为（　）

A. $-\dfrac{23}{24}$
B. $-\dfrac{21}{22}$
C. $-\dfrac{20}{21}$
D. 其他

解答

令 $P(t)=t^3+2t^2+t+4=\prod_{j=1}^3(t-x_j)$ 。对数求导给出

\sum_{j=1}^3\frac1{x_j-2}=-\frac{P'(2)}{P(2)}=-\frac{21}{22},

选 B。