2016年北京大学自主招生测试 · 参考解答

答案速览

题号	1	2	3	4	5
答案	$[1/2,2)$	$170$	$2+2\sqrt6$	$0$	$1$
题号	6	7	8	9	10
答案	$4/7$	$1017072$	仅 B	$2002$	$3$
题号	11	12	13	14	15
答案	$5$	$15$	$1/5$	$0$	$(3\pi/2,2\pi)$

逐题解析

第 1 题

题目

求 $\log_{1/2}(-x^2+x+2)$ 的单调增区间。

解答

真数正要求 $-1<x<2$。真数在 $[1/2,2)$ 上严格递减，而底数 $1/2$ 的对数函数严格递减，复合后在此区间严格递增；其余半区间则递减，故所求为 $[1/2,2)$。

第 2 题

题目

圆内接四边形 $ABCD$ 满足 $AB=80,BC=102,CD=136,DA=150$，求直径。

解答

令 $\theta=\angle ABC$，则圆内接四边形的对角 $\angle ADC=\pi-\theta$。对角线 $AC$ 的两次余弦定理给出

$$80^2+102^2-2\cdot80\cdot102\cos\theta =136^2+150^2+2\cdot136\cdot150\cos\theta.$$

解得 $\cos\theta=-36/85,\sin\theta=77/85$，并且 $AC^2=23716=154^2$。由正弦定理，直径 $2R=AC/\sin\theta=170$。

第 3 题

题目

四个半径为 $1$ 的球两两相切，置于一个正四面体内，每个球分别与靠近同一顶点的三个面相切。求该外切正四面体的棱长。

解答

题面采用四球分别靠近正四面体四个顶点、各球与相邻三个面相切的标准外切配置。四球球心组成棱长 $2$ 的正四面体。球心四面体的每个面向外平移距离 $1$，得到所求外切正四面体的对应面。正四面体的内切球半径为棱长的 $\sqrt6/12$ 倍，所以所求棱长 $L$ 满足

$$\frac{\sqrt6}{12}L=\frac{\sqrt6}{12}\cdot2+1.$$

故 $L=2+2\sqrt6$。

第 4 题

题目

实数 $x,y,z$ 满足 $x+y+z=2016$，$\dfrac1x+\dfrac1y+\dfrac1z=\dfrac1{2016}$，求 $(x-2016)(y-2016)(z-2016)$ 的值。

解答

记 $s=x+y+z=2016$、$q=xy+yz+zx$、$r=xyz\ne0$。倒数条件给出 $q/r=1/s$，即 $r=sq$。展开所求乘积为 $r-sq+s^2(x+y+z)-s^3=0$。

第 5 题

题目

设 $(x,y,z)\in\mathbb R^3$，求不等式 $3\lvert x\rvert^n+\lvert8y\rvert^n+\lvert z\rvert^n\leq1$ 所确定几何体的体积在 $n\to+\infty$ 时的极限。

解答

变量是空间点 $(x,y,z)\in\mathbb R^3$。当 $n\to\infty$，约束体的闭包趋于长方体 $|x|\le1,|y|\le1/8,|z|\le1$。具体地，任意严格位于此长方体内部的点最终满足约束；任何外部点最终不满足约束。边界不影响体积。故极限体积为 $2\cdot(1/4)\cdot2=1$。

第 6 题

题目

正方体八个顶点中任取 $3$ 个，求能构成等腰三角形的概率。

解答

把正方体棱长设为 $1$，任意两顶点间距离平方只可能为 $1,2,3$。三角形不等腰当且仅当这三个值各出现一次，也就是包含一条体对角线。四条体对角线各可配另外六个顶点，得到 $24$ 个不等腰三角形；同一个三角形不可能含两条体对角线，不会重复。总数为 $\binom83=56$，故等腰概率为 $(56-24)/56=4/7$，其中包含等边三角形。

第 7 题

题目

设 $a_n$ 是最接近 $\sqrt n$ 的整数，若 $\displaystyle\sum_{k=1}^n\frac1{a_k}=2016$，求 $n$。

解答

$a_k=m$ 当且仅当 $m-1/2<\sqrt k<m+1/2$，整数 $k$ 对应区间为 $m^2-m+1,\ldots,m^2+m$，恰有 $2m$ 项。每个完整区间对倒数和贡献 $2$。因此 $1008$ 个完整区间的和为 $2016$，最后项下标为 $n=1008^2+1008=1017072$。因每个加数严格为正，此下标唯一。

第 8 题

题目

若方程 $x^2+ax+1=b$ 有两个不同的非零整数根，则 $a^2+b^2$ 可能为：A. 素数；B. $2$ 的非负整数次幂；C. $3$ 的非负整数次幂。

解答

设两个不同非零整数根为 $u,v$，则 $a=-(u+v),b=1-uv$，从而

$$a^2+b^2=(u^2+1)(v^2+1).$$

两因子均大于 $1$，所以不是素数。若为 $2$ 的幂，每个因子也是 $2$ 的幂。$u$ 必为奇数，进而 $u^2+1\equiv2\pmod8$，只能等于 $2$，故 $u=\pm1$，同理 $v=\pm1$。取 $u=1,v=-1$ 得值 $4$，可行。若为 $3$ 的幂，则因 $u^2+1$ 从不被 $3$ 整除，不可能。故仅 B。

第 9 题

题目

$2002\left[n\sqrt{1001^2+1}\right]=n\left[2002\sqrt{1001^2+1}\right]$ 有（　）个正整数解。

解答

令 $N=1001$、$\sqrt{N^2+1}=N+\delta$，则 $0<\delta<1/(2N)$ 且 $1/\delta=2N+\delta$。方程变为 $2N\lfloor n\delta\rfloor=0$，即 $n\delta<1$。所以正整数 $n<2002+\delta$，恰为 $1,\ldots,2002$，共 $2002$ 个。

第 10 题

题目

实数 $a,b,c$ 满足 $a^3-b^3-c^3=3abc$，$a^2=2(b+c)$，这样的 $a$ 有（　）个。

解答

第一式分解为

$$(a-b-c)(a^2+b^2+c^2+ab+ac-bc)=0.$$

第二因子为 $((a+b)^2+(a+c)^2+(b-c)^2)/2$，故或 $a=b+c$，或 $b=c=-a$。前一种结合 $a^2=2(b+c)$ 给出 $a=0,2$；后一种给出 $a^2=-4a$，即 $a=0,-4$。这些值都可实现，例如 $(a,b,c)=(0,0,0),(2,1,1),(-4,4,4)$，共三个。

第 11 题

题目

$(2+1)(2^2+1)(2^{2016}+1)$ 的个位数字是（　）。

解答

$2^{2016}$ 的个位数为 $6$，所以三个因子的个位数依次为 $3,5,7$，乘积个位数为 $5$。

第 12 题

题目

实系数方程 $x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0$ 有四个非实数根，其中两个之和为 $2+i$，另外两个之积为 $5+6i$，求 $b$ 的值。

解答

实系数多项式的非实根成共轭对。和为 $2+i$ 的两根不能互为共轭，故另两根恰为它们各自的共轭。前一对的积因此为 $5-6i$，多项式分解为

$$[x^2-(2+i)x+(5-6i)]\,[x^2-(2-i)x+(5+6i)].$$

$x^2$ 系数为 $(5-6i)+(5+6i)+(2+i)(2-i)=15$。

第 13 题

题目

若 $\triangle ABC$ 的三个顶点对应复数为 $z_1,z_2,z_3$，且满足 $\dfrac{z_2-z_1}{z_3-z_1}=1+2i$，则 $\triangle ABC$ 的面积与其最长边的平方之比为（　）。

解答

通过平移、旋转、缩放，可取 $z_1=0,z_3=1,z_2=1+2i$。三角形面积为 $1$，三边平方分别为 $1,4,5$，所以比值为 $1/5$；相似变换不改变此比。

第 14 题

题目

将 $\{1,2,\ldots,100\}$ 分为三组，各组之和分别是 $102,203,304$ 的倍数，共有（　）种分法。

解答

若三组和分别为 $102u,203v,304w$，其中 $u,v,w$ 为非负整数，则 $102u+203v+304w=5050$。模 $101$ 得 $u+v+w\equiv0\pmod{101}$，但另一方面 $0<u+v+w\le5050/102<50$，矛盾。故无任何分法，答案为 $0$。

第 15 题

题目

若 $x\in(0,2\pi)$ 且满足 $\dfrac{\cos x}{\sqrt{1-\sin^2x}}-\dfrac{\sin x}{\sqrt{1-\cos^2x}}=2$，求 $x$ 的取值范围。

解答

根式分母分别为 $|\cos x|,|\sin x|$，且二者都不能为零。因此左侧为 $\operatorname{sgn}(\cos x)-\operatorname{sgn}(\sin x)$，等于 $2$ 当且仅当 $\cos x>0,\sin x<0$。在指定区间中恰为 $(3\pi/2,2\pi)$。