2016年北京大学综合营数学试题 · 参考解答

答案速览

题号	1	2	3	4	5	6	7
答案	$[-5/4,1]$	是	见证明	$-1+i$	见证明	$\pi/2$	$8/27$，$(x,y,z)=(1/3,2/3,2/3)$

逐题解析

第 1 题

题目

关于 $x$ 的方程

$$\sin^2x+\cos x+a=0$$

在实数范围内有解，求实数 $a$ 的取值范围。

解答

令 $t=\cos x\in[-1,1]$，则 $a=t^2-t-1=(t-1/2)^2-5/4$。在所给闭区间上，此式最小值为 $-5/4$，最大值在 $t=-1$ 处为 $1$，连续性保证全部中间值可达。

第 2 题

题目

设 $a,b,c$ 均为正数，且 $a,b,c$ 成等差数列。判断

$$\frac1{\sqrt b+\sqrt c},\qquad \frac1{\sqrt c+\sqrt a},\qquad \frac1{\sqrt a+\sqrt b}$$

是否成等差数列，并说明理由。

解答

设公差为 $d$。若 $d=0$，三项相等。若 $d\ne0$，有

$$\frac1{\sqrt a+\sqrt b}=\frac{\sqrt b-\sqrt a}{d},\quad \frac1{\sqrt a+\sqrt c}=\frac{\sqrt c-\sqrt a}{2d},\quad \frac1{\sqrt b+\sqrt c}=\frac{\sqrt c-\sqrt b}{d}.$$

首尾之和等于中项的两倍，所以成等差数列；倒序排列仍然如此。

第 3 题

题目

设 $a,b,c$ 为实数。证明：对任意实数 $x$ 都有

$$(x-a)^2+(x-b)^2\ge c$$

当且仅当 $(a-b)^2\ge2c$。

解答

配方得到 $(x-a)^2+(x-b)^2=2(x-(a+b)/2)^2+(a-b)^2/2$。最小值为 $(a-b)^2/2$，在 $x=(a+b)/2$ 处取得。因此恒大于等于 $c$，当且仅当 $(a-b)^2\ge2c$。

第 4 题

题目

已知复数 $z_1,z_2$ 满足 $z_1$ 与 $z_1+z_2$ 有相同的模，且

$$\overline{z_1}z_2=a(1-i),$$

其中 $a$ 为非零实数，求 $\dfrac{z_2}{z_1}$ 的值。

解答

题面校注：同题独立来源明确规定 $a\ne0$，据此补回，以排除 $z_1=z_2=0$ 时商无定义的情况。设 $w=z_2/z_1$，因 $a\ne0$，有 $z_1\ne0$，且

$$w=\frac{a}{|z_1|^2}(1-i)=t(1-i),\qquad t\in\mathbb R\setminus\{0\}.$$

模长条件给出 $|1+w|^2=(1+t)^2+t^2=1$，即 $2t(t+1)=0$，所以 $t=-1$、$w=-1+i$。若保留汇编中 $a=0$ 的情形且额外要求 $z_1\ne0$，还会得到 $w=0$，不能漏掉。

第 5 题

题目

一条直线与双曲线交于 $A,B$ 两点，与这条双曲线的渐近线交于 $C,D$ 两点。证明：线段 $AC$ 与 $BD$ 的长度相等。

解答

以双曲线中心为原点，可把双曲线及其两条渐近线分别写成 $Q(x,y)=1$、$Q(x,y)=0$，其中 $Q$ 为非退化齐次二次式。在所给割线上取等速参数 $t$，则 $Q$ 限制为 $\alpha t^2+\beta t+\gamma$，且题设的有限交点保证 $\alpha\ne0$。交点 $A,B$ 的参数为方程 $\alpha t^2+\beta t+\gamma-1=0$ 的两根；$C,D$ 的参数为 $\alpha t^2+\beta t+\gamma=0$ 的两根。两组根和相同，故 $t_A+t_B=t_C+t_D$，于是 $|t_A-t_C|=|t_B-t_D|$。参数等速，故 $AC=BD$。

第 6 题

题目

设 $\alpha,\beta$ 均为锐角，满足

$$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\sin(\alpha+\beta),$$

求 $\alpha+\beta$ 的值。

解答

记 $s=\alpha+\beta\in(0,\pi)$、$d=\alpha-\beta\in(-\pi/2,\pi/2)$。和差公式将条件化为 $\cos s\cos d=1-\sin s$。若 $s>\pi/2$，左侧为负、右侧非负，矛盾。若 $s<\pi/2$，则 $|d|<s$，所以 $\cos d>\cos s$；但方程给出 $\cos d=\cos s/(1+\sin s)<\cos s$，仍矛盾。因此只能 $s=\pi/2$，此时原式确实成立。

第 7 题

题目

已知 $\triangle ABC$ 的面积为 $1$，$D,E$ 分别是边 $AB,AC$ 上的点，$F$ 为线段 $DE$ 上的一点。设

$$\frac{AD}{AB}=x,\qquad \frac{AE}{AC}=y,\qquad \frac{DF}{DE}=z,\qquad y+z-x=1.$$

求 $\triangle BDF$ 面积的最大值，并求此时 $x,y,z$ 的值。

解答

三角形 $BDF$ 以 $BD$ 为底，高为 $F$ 到 $AB$ 的距离，故其面积为 $(1-x)yz$。约束给出 $y+z=1+x$，所以

$$[BDF]\le\frac{(1-x)(1+x)^2}{4},\qquad0\le x\le1.$$

右侧导数为 $(1+x)(1-3x)/4$，在 $x=1/3$ 取得最大值 $8/27$。均值不等式等号要求 $y=z$，于是 $y=z=2/3$。这些值对应合法的边上点，最大值确能取得。