2013年北京大学保送生测试数学试题 · 参考解答

答案速览

题号	1	2	3	4	5
答案	$20^\circ$	见证明	不存在	$256$	见证明

逐题解析

第 1 题

题目

$\triangle ABC$ 内一点 $M$ 满足 $\angle CMB=100^\circ$。线段 $BM$ 的中垂线交边 $AB$ 于 $P$，线段 $CM$ 的中垂线交边 $AC$ 于 $Q$。已知 $P,M,Q$ 三点共线，求 $\angle CAB$。

解答

由中垂线条件，$PB=PM,QC=QM$。设 $\angle PBM=\angle BMP=u$，$\angle MCQ=\angle QMC=v$。因 $P,M,Q$ 共线且 $M$ 在三角形内，$u+100^\circ+v=180^\circ$，故 $u+v=80^\circ$。在 $\triangle BMC$ 中，$\angle MBC+\angle BCM=80^\circ$。相加得到 $B+C=160^\circ$，所以 $A=20^\circ$。

第 2 题

题目

正数 $a,b,c$ 满足 $a<b+c$。求证：

$$\frac{a}{1+a}<\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}.$$

解答

函数 $t/(1+t)$ 在 $t>0$ 上严格递增。因此

$$\frac a{1+a}<\frac{b+c}{1+b+c} =\frac b{1+b+c}+\frac c{1+b+c} <\frac b{1+b}+\frac c{1+c}.$$

第 3 题

题目

是否存在两两不同的实数 $a,b,c$，使直角坐标系中的三条直线

$$y=ax+b,\qquad y=bx+c,\qquad y=cx+a$$

共点？

解答

若共点，消去交点横坐标得到 $(c-b)/(a-b)=(a-c)/(b-c)$。分母非零，整理为

$$a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0.$$

左侧为 $((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)/2$，只能 $a=b=c$，与两两不同矛盾。

第 4 题

题目

对集合 $\{1,2,\ldots,9\}$ 的非空子集，若其中所有元素的和为奇数，则称为奇子集。问奇子集的个数。

解答

把任意子集与“增删元素 $1$ 后的子集”配对，两者元素和奇偶相反。因此全部 $2^9$ 个子集中恰有一半为奇子集，共 $2^8=256$ 个。空集为偶子集，不影响结果。

第 5 题

题目

在一个 $2013\times2013$ 的正数数表中，每行都成等差数列，每列平方后都成等差数列。求证：左上角的数与右下角的数之积，等于左下角的数与右上角的数之积。

解答

记四角依次为左上 $a$、右上 $b$、左下 $c$、右下 $d$，均为正数。因为行数、列数都是奇数，中央元素沿中央行计算为

$$\frac12\left(\sqrt{\frac{a^2+c^2}{2}}+\sqrt{\frac{b^2+d^2}{2}}\right);$$

沿中央列计算则为 $\sqrt{((a+b)^2+(c+d)^2)/8}$。两者相等，消去公共系数得

$$\sqrt{a^2+c^2}+\sqrt{b^2+d^2} =\sqrt{(a+b)^2+(c+d)^2}.$$

这是欧氏三角不等式的等号情形，因此正向量 $(a,c)$、$(b,d)$ 同向，故 $ad=bc$。