2011年北京大学北约自主招生测试 · 参考解答

答案速览

题号	1	2	3	4	5	6	7
答案	$4\sqrt2$	$y=(-6x+1)/7$	$S_6=-66$	见证明	不存在	椭圆、双曲线及退化情形的部分或并集	$592043/711$

逐题解析

第 1 题

题目

已知平行四边形的其中两条边长为 $3$ 和 $5$，一条对角线长为 $6$，求另一条对角线长。

解答

平行四边形两对角线平方和等于四边平方和，故另一条对角线长为 $\sqrt{2(3^2+5^2)-6^2}=4\sqrt2$。

第 2 题

题目

求过抛物线 $y=2x^2-2x-1$ 和 $y=-5x^2+2x+3$ 的交点的直线方程。

解答

交点满足 $7x^2-4x-4=0$，故将 $x^2=(4x+4)/7$ 代入第一条抛物线，得到 $y=(-6x+1)/7$。两曲线有两个不同交点，因此这就是所求直线。

第 3 题

题目

在等差数列 $\{a_n\}$ 中，$a_3=-13$，$a_7=3$，数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，求数列 $\{S_n\}$ 的最小项，并指出其值为何。

解答

公差 $d=(3+13)/4=4$，首项 $a_1=-21$，所以 $S_n=2n^2-23n$。其对称轴为 $n=23/4$，在正整数中距其最近的是 $6$，故最小项为 $S_6=-66$。

第 4 题

题目

在 $\triangle ABC$ 中，$a+b\geq2c$，求证：$\angle C\leq60^\circ$。

解答

由余弦定理及题设，

$$\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} \ge\frac{a^2+b^2-(a+b)^2/4}{2ab} =\frac12+\frac{3(a-b)^2}{8ab}\ge\frac12.$$

因 $C\in(0,\pi)$，所以 $C\le\pi/3$。等号当且仅当 $a=b=c$。

第 5 题

题目

是否存在四个正实数，使得它们的两两乘积为 $2,3,5,6,10,16$？

解答

设四数从小到大为 $a\le b\le c\le d$。最小的两两乘积为 $ab=2$，最大的为 $cd=16$，故四数之积为 $32$。余下四个乘积必须分成两对，每对之积为 $32$，但余下的 $3,5,6,10$ 中任何两个之积都不是 $32$，矛盾。

第 6 题

题目

$C_1$ 和 $C_2$ 是平面上两个不重合的固定圆，$C$ 是平面上的一个动圆，$C$ 与 $C_1,C_2$ 都相切，则 $C$ 的圆心的轨迹是何种曲线？说明理由。

解答

题面没有限制内切、外切方式，因而不能笼统回答为单独一条双曲线。设两定圆圆心为 $O_1,O_2$，半径为 $R_1,R_2$，动圆圆心为 $X$、半径为 $r>0$，并记 $d_i=XO_i$。相切条件是

$$d_i=r+R_i\quad\text{或}\quad d_i=|r-R_i|.$$

消去 $r$，轨迹包含在下列曲线的并集中：

$$d_1+d_2=R_1+R_2,\quad d_1+d_2=|R_1-R_2|,\quad |d_1-d_2|=R_1+R_2,\quad |d_1-d_2|=|R_1-R_2|.$$

前两类为以两圆心为焦点的椭圆，后两类为双曲线；根据常数与焦距的关系，可能为空集、线段、直线或射线等退化情况。若两定圆同心，则相应轨迹为圆。

精确筛选办法也由相切条件给出：对每个 $i$，保留集合 $\{d_i-R_i,d_i+R_i,R_i-d_i\}$ 中的正数；两集合有共同值 $r$，且所得圆不与任一定圆重合，当且仅当该点是合法圆心。这同时排除了消元后可能引入的无效部分，完整处理了各种相切方式。

第 7 题

题目

求 $f(x)=\lvert x-1\rvert+\lvert2x-1\rvert+\cdots+\lvert2011x-1\rvert$ 的最小值。

解答

写成 $f(x)=\sum_{i=1}^{2011}i|x-1/i|$。在折点之间斜率恒定，并在折点处向上跳跃。记总权重 $W=2011\cdot2012/2=2023066$。因

$$\frac{1421\cdot1422}{2}=1010331<\frac W2< 1011753=\frac{1422\cdot1423}{2},$$

在 $x=1/1422$ 两侧斜率分别为负、正，故此处为唯一最小点。分段求和得到

$$f(1/1422)=\sum_{i=1}^{1422}(1-i/1422)+ \sum_{i=1423}^{2011}(i/1422-1) =833-\frac{440}{1422}=\frac{592043}{711}.$$