2010年北京大学北约自主招生测试 · 参考解答

答案速览

题号	1	2	3	4	5
答案	见证明	$(1+\sqrt5)/2$	$8\sqrt3/9$	$(\pi/2,2\pi/3)$	不存在

逐题解析

第 1 题

题目

（仅文科做）$0<\alpha<\dfrac{\pi}{2}$，求证：$\sin\alpha<\alpha<\tan\alpha$。

解答

单位圆中，以圆心角 $\alpha$ 构成的内接直角三角形、扇形、外切直角三角形面积严格递增，分别为 $\sin\alpha/2,\alpha/2,\tan\alpha/2$。乘以 $2$ 即得结论。这里角度须用弧度表示。

第 2 题

题目

$A,B$ 为边长为 $1$ 的正五边形边上的点。证明：$AB$ 最长为 $\dfrac{\sqrt5+1}{2}$。

解答

固定 $B$，当 $A$ 沿一条边移动时，距离 $AB$ 不超过它到该边两端点的距离最大值（由三角不等式的凸组合形式）。故可把 $A$ 移至某个顶点而不减距离，再对 $B$ 同样操作。最大距离必由两个顶点取得，也就是对角线长 $d$。圆内接四边形的托勒密定理给出 $d^2=1+d$，故 $d=(1+\sqrt5)/2$。

第 3 题

题目

$A,B$ 为 $y=1-x^2$ 上在 $y$ 轴两侧的点，求过 $AB$ 的切线与 $x$ 轴围成面积的最小值。

解答

设 $A$、$B$ 横坐标为 $-u,v$，其中 $u,v>0$。两切线为 $y=2ux+1+u^2$、$y=-2vx+1+v^2$，交点纵坐标为 $1+uv$，与 $x$ 轴的截距差为 $(u+v)(1+1/(uv))/2$。所以面积

$$S=\frac{(u+v)(1+uv)^2}{4uv}\ge\frac{(1+t)^2}{2\sqrt t},\qquad t=uv.$$

令 $s=\sqrt t$，右侧为 $(s^3+2s+s^{-1})/2$，导数为 $(3s^2+2-s^{-2})/2$，在 $s=1/\sqrt3$ 处由负变正。故最小值为 $8\sqrt3/9$，且 $u=v=1/\sqrt3$ 时取得。

第 4 题

题目

向量 $\overrightarrow{OA}$ 与 $\overrightarrow{OB}$ 已知夹角，$\lvert\overrightarrow{OA}\rvert=1$，$\lvert\overrightarrow{OB}\rvert=2$，$\overrightarrow{OP}=(1-t)\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OQ}=t\overrightarrow{OB}$，$0\leq t\leq1$。$\lvert\overrightarrow{PQ}\rvert$ 在 $t_0$ 时取得最小值，问当 $0<t_0<\dfrac15$ 时，夹角的取值范围。

解答

记夹角为 $\theta\in[0,\pi]$、$c=\cos\theta$。有

$$PQ^2=(5+4c)t^2-(2+4c)t+1.$$

二次项系数恒正。要使最小点位于 $(0,1/5)$，等价于 $0<(1+2c)/(5+4c)<1/5$，解得 $-1/2<c<0$。因此 $\pi/2<\theta<2\pi/3$。

第 5 题

题目

（仅理科做）存不存在 $0<x<\dfrac\pi2$，使得 $\sin x,\cos x,\tan x,\cot x$ 为等差数列？

解答

若四数按题示顺序成等差数列，首尾之和等于中间两项之和。令 $s=\sin x,c=\cos x$，得到

$$s+c/s=c+s/c,\qquad (s-c)(sc-s-c)=0.$$

因 $s,c>0$ 且 $sc<s+c$，只能 $s=c=1/\sqrt2$。这时前两项相等而第三项为 $1$，仍不成等差数列，故不存在。