2009年北京大学自主招生测试 · 参考解答

答案速览

题号	1	2	3	4	5
答案	$\sqrt{2310}/24$	见证明	不存在	$2$	不及格者不少于优秀者，可能相等

逐题解析

第 1 题

题目

圆内接四边形 $ABCD$ 中，$AB=1$，$BC=2$，$CD=3$，$DA=4$，求 $ABCD$ 的外接圆半径。

解答

令 $\theta=\angle ABC$，则 $\angle ADC=\pi-\theta$。对角线 $AC$ 的两次余弦定理给出 $5-4\cos\theta=25+24\cos\theta$，故 $\cos\theta=-5/7$、$\sin\theta=2\sqrt6/7$，且 $AC^2=5-4(-5/7)=55/7$。因此由正弦定理，

$$R=\frac{\sqrt{55/7}}{4\sqrt6/7}=\frac{\sqrt{2310}}{24}.$$

第 2 题

题目

已知一公差为正的无穷项等差数列，其中有 $3$ 项：$13,25,41$。求证：$2009$ 为数列中一项。

解答

设公差为 $d>0$，$13,25,41$ 的项号依次为 $i,j,k$。有 $12/d=j-i$、$28/d=k-i$，从而 $4/d=(k-i)-2(j-i)$ 是正整数，记为 $h$。于是 $2009=13+499\cdot4=a_{i+499h}$，确为该数列的一项。

第 3 题

题目

是否存在实数 $x$，使 $\tan x+\sqrt3$、$\cot x+\sqrt3$ 均为有理数？

解答

假设两数为有理数 $r,s$。因为 $\tan x\cot x=1$，有 $(r-\sqrt3)(s-\sqrt3)=1$，即 $rs+2=(r+s)\sqrt3$。有理性迫使 $r+s=0$、$rs=-2$，于是 $r^2=2$，与 $r$ 为有理数矛盾。

第 4 题

题目

已知对任意 $x\in\mathbb R$，$a\cos x+b\cos2x\geq-1$ 恒成立，求 $a+b$ 的最大值。

解答

取 $x=2\pi/3$，得到 $-(a+b)/2\ge-1$，即 $a+b\le2$。取 $a=4/3,b=2/3$ 时，

$$a\cos x+b\cos2x+1=\frac43\left(\cos x+\frac12\right)^2\ge0,$$

且 $a+b=2$，所以最大值为 $2$。

第 5 题

题目

某次考试共有 $333$ 名学生做对了 $1000$ 道题，做对 $3$ 道及以下为不及格，$6$ 道及以上为优秀，考场中每人做对题数目不全相同。问：不及格者与优秀者哪个多？

解答

设不及格、优秀人数分别为 $u,v$，其余为 $333-u-v$ 人。总答对题数满足

$$1000\ge6v+4(333-u-v),\qquad v\le\left\lfloor\frac{1000}{6}\right\rfloor=166.$$

前式给出 $2u-v\ge166\ge v$，所以 $u\ge v$。等号可能出现：$166$ 人各答对 $0$ 题，$166$ 人各答对 $6$ 题，另 $1$ 人答对 $4$ 题，恰好总计 $1000$ 题。因此不能断言不及格者严格更多；准确结论为“不及格者不少于优秀者”。若人数相等，上述不等式迫使 $u=v=166$，也就唯一确定这种答题数分布。