未提供对应原始材料，本卷只作现有题面的合理性审查与独立求解。路径、随机模型和算法计数按教学版中明示的条件解释。
答案速览
题号
答案
1
27 3 / 8 27\sqrt3/8 27 3 /8
2
2 2 2
3
（1）132 132 132 264 264 264
4
5 5 5
5
T ( n ) = 2 n − S 2 ( n ) T(n)=2n-S_2(n) T ( n ) = 2 n − S 2 ( n ) Θ ( n ) \Theta(n) Θ ( n )
6
1 − 4 / ( 3 π ) 1-4/(3\pi) 1 − 4/ ( 3 π )
7
k n ∑ j = k n − 1 1 j \dfrac{k}{n}\displaystyle\sum_{j=k}^{n-1}\dfrac1j n k j = k ∑ n − 1 j 1
逐题解析
第 1 题
题目
已知复数 z A , z B z_A,z_B z A , z B
∣ z A ∣ = 3 , 9 z A 2 − 6 z A z B + 4 z B 2 = 0 , |z_A|=3,\qquad 9z_A^2-6z_Az_B+4z_B^2=0, ∣ z A ∣ = 3 , 9 z A 2 − 6 z A z B + 4 z B 2 = 0 , 求复平面中 △ A O B \triangle AOB △ A O B
解答
z A ≠ 0 z_A\ne0 z A = 0 w = z B / z A w=z_B/z_A w = z B / z A 4 w 2 − 6 w + 9 = 0 4w^2-6w+9=0 4 w 2 − 6 w + 9 = 0 w = ( 3 ± 3 i 3 ) / 4 w=(3\pm3i\sqrt3)/4 w = ( 3 ± 3 i 3 ) /4 O A OA O A B B B ∣ z A ∣ ∣ Im w ∣ \lvert z_A\rvert\lvert\operatorname{Im}w\rvert ∣ z A ∣ ∣ Im w ∣
1 2 ∣ z A ∣ 2 ∣ Im w ∣ = 1 2 ⋅ 9 ⋅ 3 3 4 = 27 3 8 . \frac12\lvert z_A\rvert^2\lvert\operatorname{Im}w\rvert
=\frac12\cdot9\cdot\frac{3\sqrt3}{4}=\frac{27\sqrt3}{8}. 2 1 ∣ z A ∣ 2 ∣ Im w ∣ = 2 1 ⋅ 9 ⋅ 4 3 3 = 8 27 3 . 第 2 题
题目
求
2022 2023 2024 2025 2022^{\,2023^{\,2024^{2025}}} 202 2 202 3 202 4 2025 的个位数字。
解答
末位为 2 2 2 2 , 4 , 8 , 6 2,4,8,6 2 , 4 , 8 , 6 4 4 4 K = 2024 2025 K=2024^{2025} K = 202 4 2025 2023 K ≡ ( − 1 ) K = 1 ( m o d 4 ) 2023^K\equiv(-1)^K=1\pmod4 202 3 K ≡ ( − 1 ) K = 1 ( mod 4 ) 2 2 2
第 3 题
题目
【明确路径条件】从 ( 0 , 0 ) (0,0) ( 0 , 0 ) ( 6 , 6 ) (6,6) ( 6 , 6 ) y ≤ x y\le x y ≤ x y = x y=x y = x
解答
（1）不加限制的路径有 ( 12 6 ) \binom{12}{6} ( 6 12 ) y > x y>x y > x y = x + 1 y=x+1 y = x + 1 y = x y=x y = x ( 7 , 5 ) (7,5) ( 7 , 5 ) ( 7 , 5 ) (7,5) ( 7 , 5 ) x = y + 1 x=y+1 x = y + 1 ( 12 5 ) \binom{12}{5} ( 5 12 )
( 12 6 ) − ( 12 5 ) = 924 − 792 = 132. \binom{12}{6}-\binom{12}{5}=924-792=132. ( 6 12 ) − ( 5 12 ) = 924 − 792 = 132. （2）关于对角线对称，上方也有 132 132 132 264 264 264
题面校注： “不穿过直线”没有明确指定一侧时会产生两种计数；教学版将两种含义分开，并明确允许接触直线。
第 4 题
题目
记 S m ( n ) S_m(n) S m ( n ) n n n m m m 7 = ( 111 ) 2 7=(111)_2 7 = ( 111 ) 2 S 2 ( 7 ) = 1 + 1 + 1 = 3 S_2(7)=1+1+1=3 S 2 ( 7 ) = 1 + 1 + 1 = 3 n ∈ [ 1 , 100 ] n\in[1,100] n ∈ [ 1 , 100 ]
S 2 ( n ) = 2 , S 3 ( n ) = 2. S_2(n)=2,\qquad S_3(n)=2. S 2 ( n ) = 2 , S 3 ( n ) = 2. 解答
三进制数位和为 2 2 2 2 2 2 1 1 1 n = 2 ⋅ 3 r n=2\cdot3^r n = 2 ⋅ 3 r n = 3 r + 3 s n=3^r+3^s n = 3 r + 3 s 0 ≤ r < s 0\le r<s 0 ≤ r < s 1 ≤ n ≤ 100 1\le n\le100 1 ≤ n ≤ 100
2 , 4 , 6 , 10 , 12 , 18 , 28 , 30 , 36 , 54 , 82 , 84 , 90. 2,4,6,10,12,18,28,30,36,54,82,84,90. 2 , 4 , 6 , 10 , 12 , 18 , 28 , 30 , 36 , 54 , 82 , 84 , 90. 再要求二进制恰有两个 1 1 1 2 2 2
6 = 4 + 2 , 10 = 8 + 2 , 12 = 8 + 4 , 18 = 16 + 2 , 36 = 32 + 4. 6=4+2,\quad10=8+2,\quad12=8+4,\quad18=16+2,\quad36=32+4. 6 = 4 + 2 , 10 = 8 + 2 , 12 = 8 + 4 , 18 = 16 + 2 , 36 = 32 + 4. 因此共有 5 5 5
第 5 题
题目
【明确计数并补充精确式】从整数 0 0 0 1 1 1 n n n T ( n ) T(n) T ( n ) T ( n ) T(n) T ( n )
解答
把最低位记为第 0 0 0 2 j 2^j 2 j j j j 0 0 0 n n n ⌊ n / 2 j ⌋ \lfloor n/2^j\rfloor ⌊ n / 2 j ⌋ n = ∑ i b i 2 i n=\sum_i b_i2^i n = ∑ i b i 2 i b i ∈ { 0 , 1 } b_i\in\{0,1\} b i ∈ { 0 , 1 }
T ( n ) = ∑ j ≥ 0 ⌊ n 2 j ⌋ = ∑ i b i ∑ j = 0 i 2 i − j = ∑ i b i ( 2 i + 1 − 1 ) = 2 n − ∑ i b i = 2 n − S 2 ( n ) . \begin{aligned}
T(n)&=\sum_{j\ge0}\left\lfloor\frac n{2^j}\right\rfloor
=\sum_i b_i\sum_{j=0}^i2^{i-j}\\
&=\sum_i b_i(2^{i+1}-1)=2n-\sum_i b_i=2n-S_2(n).
\end{aligned} T ( n ) = j ≥ 0 ∑ ⌊ 2 j n ⌋ = i ∑ b i j = 0 ∑ i 2 i − j = i ∑ b i ( 2 i + 1 − 1 ) = 2 n − i ∑ b i = 2 n − S 2 ( n ) . 这里 S 2 ( n ) S_2(n) S 2 ( n ) n ≥ 1 n\ge1 n ≥ 1 S 2 ( n ) ≥ 1 S_2(n)\ge1 S 2 ( n ) ≥ 1 n ≤ T ( n ) ≤ 2 n − 1 n\le T(n)\le2n-1 n ≤ T ( n ) ≤ 2 n − 1 Θ ( n ) \Theta(n) Θ ( n )
第 6 题
题目
【明确随机模型】平面上有间距为 d d d 2 d / 3 2d/3 2 d /3 [ 0 , π ) [0,\pi) [ 0 , π )
解答
设针长为 l = 2 d / 3 l=2d/3 l = 2 d /3 U U U U U U [ 0 , d / 2 ] [0,d/2] [ 0 , d /2 ] θ ∈ [ 0 , π / 2 ] \theta\in[0,\pi/2] θ ∈ [ 0 , π /2 ] U U U l < d l<d l < d U ≤ ( l / 2 ) sin θ U\le(l/2)\sin\theta U ≤ ( l /2 ) sin θ
固定方向时相交概率为 l sin θ / d l\sin\theta/d l sin θ / d
P ( 相交 ) = 2 π ∫ 0 π / 2 l d sin θ d θ = 2 l π d = 4 3 π . P(\text{相交})=\frac2\pi\int_0^{\pi/2}\frac ld\sin\theta\,d\theta
=\frac{2l}{\pi d}=\frac4{3\pi}. P ( 相交 ) = π 2 ∫ 0 π /2 d l sin θ d θ = π d 2 l = 3 π 4 . 所求不相交概率为 1 − 4 / ( 3 π ) 1-4/(3\pi) 1 − 4/ ( 3 π )
第 7 题
题目
【明确选择规则】设整数 1 ≤ k < n 1\le k<n 1 ≤ k < n n n n 1 , … , n 1,\ldots,n 1 , … , n k k k M M M M M M
解答
设最强者出现在第 r r r 1 / n 1/n 1/ n r ≤ k r\le k r ≤ k
若 r > k r>k r > k r r r r − 1 r-1 r − 1 k k k k k k r − 1 r-1 r − 1 r r r k / ( r − 1 ) k/(r-1) k / ( r − 1 )
按 r = k + 1 , … , n r=k+1,\ldots,n r = k + 1 , … , n
1 n ∑ r = k + 1 n k r − 1 = k n ∑ j = k n − 1 1 j . \frac1n\sum_{r=k+1}^n\frac{k}{r-1}
=\frac{k}{n}\sum_{j=k}^{n-1}\frac1j. n 1 r = k + 1 ∑ n r − 1 k = n k j = k ∑ n − 1 j 1 . 这一推导对应题面中先放弃 k k k