2022年南京大学强基计划数学试题 · 参考解答

沿用初试 10 题的编号。参考材料中第 2、9 题的数值答案有误，第 10 题的焦准距计算也有误，以下按题面独立推导。

答案速览

题号	答案	题号	答案
1	$[1,2]$	6	$(3-\sqrt5)/2$
2	$2\sqrt3/9$	7	$(3/2,+\infty)$
3	$36/49$	8	$1/5$
4	$1$	9	$81$
5	$(-\infty,0]\cup[4,+\infty)$	10	$(\sqrt{(5-\sqrt{13})/3},1)$

逐题解析

第 1 题

题目

求函数 $y=\sqrt{x-4}+\sqrt{15-3x}$ 的值域。

解答

定义域为 $4\le x\le5$。令 $t=x-4\in[0,1]$，则函数变为 $\sqrt t+\sqrt3\sqrt{1-t}$。柯西不等式给出上界 $\sqrt{(1+3)(t+1-t)}=2$，在 $t=1/4$ 时取等。

又 $\sqrt t\ge t$、$\sqrt3\sqrt{1-t}\ge1-t$，所以函数至少为 $1$，在 $t=1$ 时取到。连续性保证中间值全能取到，故值域为 $[1,2]$。

第 2 题

题目

$x\in(0,\frac\pi2)$，求 $y=\sin^2x\cos x$ 的最大值。

解答

令 $t=\cos x\in(0,1)$，则 $y=t-t^3$，导数 $1-3t^2$ 在 $t=1/\sqrt3$ 前正后负，故最大值为

$$\frac1{\sqrt3}-\frac1{3\sqrt3}=\frac{2\sqrt3}{9}.$$

答案校注： 源参考过程虽找到正确驻点，却把最后的代入值写成 $2\sqrt3/3$，大了三倍。

第 3 题

题目

已知 $x+y+z=1$，求 $x^2+4y^2+9z^2$ 的最小值。

解答

由柯西不等式，

$$1=(x+y+z)^2\le(x^2+4y^2+9z^2)\left(1+\frac14+\frac19\right).$$

故最小值至少为 $36/49$。等号要求 $x=4y=9z$，结合和为 $1$ 得 $(x,y,z)=(36,9,4)/49$，确能取到。

第 4 题

题目

在 $\triangle ABC$ 中，角 $A,B,C$ 的对边为 $a,b,c$，且 $a\cos C-b\cos^2A=a\sin A\sin B-c\sin A$，求 $\tan A$。

解答

用正弦定理消去边长的公共比例，移项得到

$$\sin A\cos C+\sin C\sin A =\sin B(\cos^2A+\sin^2A)=\sin B.$$

而 $\sin B=\sin(A+C)=\sin A\cos C+\cos A\sin C$。两式相减得 $\sin C(\sin A-\cos A)=0$。三角形中 $\sin C>0$，所以 $A=\pi/4$，$\tan A=1$。

第 5 题

题目

【明确非零条件】非零实数 $x,y$ 满足：$x,a_1,a_2,y$ 成等差数列，$x,b_1,b_2,y$ 成等比数列。求 $\dfrac{(a_1+a_2)^2}{b_1b_2}$ 的取值范围。

解答

题面校注： 明确端点为非零实数，避免等比数列或所求分式无定义。

等差性质给出 $a_1+a_2=x+y$，等比性质给出 $b_1b_2=xy$。令 $r=x/y\ne0$，所求为 $r+1/r+2$。当 $r>0$ 时至少为 $4$，在 $r=1$ 取到，且连续遍历 $[4,+\infty)$；当 $r<0$ 时至多为 $0$，在 $r=-1$ 取到，且连续遍历 $(-\infty,0]$。

任意非零 $x,y$ 均可取实公比 $q=\sqrt[3]{y/x}\ne0$ 构造所需等比数列，所以没有额外可实现性限制。值域为 $(-\infty,0]\cup[4,+\infty)$。

第 6 题

题目

向量 $\boldsymbol a,\boldsymbol b,\boldsymbol c$ 满足 $|\boldsymbol a|=3$，$|\boldsymbol b|=2\sqrt2$，$\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b=6$，且 $(\boldsymbol a+\boldsymbol c)\cdot(\boldsymbol b+2\boldsymbol c)=0$，求 $|\boldsymbol b+\boldsymbol c|$ 的最小值。

解答

展开条件并配方，有

$$\left|\boldsymbol c+\frac{2\boldsymbol a+\boldsymbol b}{4}\right|^2 =\frac{|2\boldsymbol a+\boldsymbol b|^2}{16}-3 =\frac{36+8+24}{16}-3=\frac54.$$

故 $\boldsymbol c$ 的终点在圆（空间情形为球面）上，圆心向量为 $-(2\boldsymbol a+\boldsymbol b)/4$，半径为 $\sqrt5/2$。所求是该点到 $-\boldsymbol b$ 的距离。目标点到圆心的距离为

$$\frac{|3\boldsymbol b-2\boldsymbol a|}{4} =\frac{\sqrt{9\cdot8+4\cdot9-12\cdot6}}4=\frac32.$$

目标点在圆外，沿圆心至目标点方向取圆上的最近点即可取等，因此最小值为 $(3-\sqrt5)/2$。

第 7 题

题目

直线 $y=ax+2$ 与三次曲线 $y=x^3-ax$ 有三个不同交点，求 $a$ 的取值范围。

解答

交点对应 $h(x)=x^3-2ax-2=0$ 的不同实根。若 $a\le0$，函数严格递增，不可能有三根。若 $a>0$，令 $t=\sqrt{2a/3}$，局部最大点为 $-t$，局部最小点为 $t$，且

$$h(-t)=2t^3-2,\qquad h(t)=-2t^3-2<0.$$

结合两端趋向无穷的符号，恰有三不同实根当且仅当局部最大值严格为正，即 $t>1$，等价于 $a>3/2$。等号时有重根，应排除。

第 8 题

题目

棱长为 $6$ 的正四面体 $ABCD$ 中，$M$ 为面 $BCD$ 上一点且 $|AM|=5$。异面直线 $AM$ 与 $BC$ 所成角为 $\alpha$，求 $|\cos\alpha|$ 的最大值。

解答

设 $H$ 为正四面体顶点 $A$ 在底面上的垂足，也是底面等边三角形的中心。底面外接圆半径为 $2\sqrt3$，所以 $AH=\sqrt{36-12}=2\sqrt6$。由 $AM=5$ 得 $HM=1$。

取沿 $BC$ 的单位向量 $\boldsymbol u$，则

$$|\cos\alpha|=\frac{|\overrightarrow{AM}\cdot\boldsymbol u|}{5} =\frac{|\overrightarrow{HM}\cdot\boldsymbol u|}{5}\le\frac15.$$

取 $HM\parallel BC$ 可取等。底面内切圆半径为 $\sqrt3>1$，故以 $H$ 为心、半径 $1$ 的整圆都在底面内部，取等位置确实允许；$AM$ 也确与 $BC$ 异面。最大值为 $1/5$。

第 9 题

题目

方程 $x_1+x_2+x_3+3x_4+3x_5+5x_6=7$ 有多少组非负整数解？

解答

令 $b=x_4+x_5,c=x_6$，固定它们后，前三项之和为 $r=7-3b-5c$。对应 $(x_4,x_5)$ 有 $b+1$ 种，前三个非负整数有 $\binom{r+2}{2}$ 种。全部情况如下：

$c$	$b$	$r$	贡献
0	0	7	$36$
0	1	4	$2\cdot15=30$
0	2	1	$3\cdot3=9$
1	0	2	$6$

总数为 $36+30+9+6=81$。

答案校注： 源答案的 $42$ 错误；其将前三项和为 $7$ 的情况只计为 $3$，并漏计了 $x_4+x_5=2$ 的分配。

第 10 题

题目

$F,l$ 分别为双曲线 $\frac{(x-4)^2}{12}-\frac{y^2}{12}=1$ 的右焦点与右准线。椭圆 $\Gamma$ 以 $F,l$ 为其对应焦点和准线。过 $F$ 作平行于 $y=\sqrt3x$ 的直线，交 $\Gamma$ 于 $A,B$。若 $\Gamma$ 的中心位于以 $AB$ 为直径的圆外，求椭圆离心率 $e$ 的范围。

解答

双曲线右焦点为 $(4+2\sqrt6,0)$，右准线为 $x=4+\sqrt6$，二者距离 $\delta=\sqrt6$。源参考过程误算成 $3$，但最终离心率条件与该距离的具体数值无关。

把椭圆中心移至原点，记长、短半轴为 $A,B$，半焦距为 $c$；取给定焦点为 $(-c,0)$，弦所在直线为 $y=\sqrt3(x+c)$。联立椭圆，得到

$$(B^2+3A^2)x^2+6A^2cx+3A^2c^2-A^2B^2=0.$$

记两交点横坐标为 $x_1,x_2$，令 $D=B^2+3A^2$，则 $x_1+x_2=-6A^2c/D$，$x_1x_2=A^2(3c^2-B^2)/D$。

中心在直径圆外等价于 $\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}>0$；用交点坐标表示，该点积为

$$4x_1x_2+3c(x_1+x_2)+3c^2 =\frac{10A^2c^2-4A^4-3c^4}{D}.$$

令 $e=c/A\in(0,1)$，条件化为 $3e^4-10e^2+4<0$，故

$$\sqrt{\frac{5-\sqrt{13}}3}<e<1.$$

每个这样的 $e$ 都可实现：取 $A=\delta e/(1-e^2)$、$B=A\sqrt{1-e^2}$，则焦准距为 $B^2/c=\delta$，再平移使焦点和准线与题设重合。过焦点的弦必有两个不同交点，因此充分性也成立。